UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán Thời gian làm bài 180 phút, không tính thời gian phát đề Ngày thi 10 tháng 04 n[.]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút, khơng tính thời gian phát đề Ngày thi: 10 tháng 04 năm 2023 Đề thi có 01 trang UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị tham số m để hàm số y = 2x −1 x − 2mx + 3m − xác định 2) Một cổng hình parabol có chiều cao 8m khoảng cách hai chân cổng 12m hình vẽ Giả sử xe tải có chiều ngang 4m chiều cao 7m vào vị trí cổng Hỏi xe tải có qua cổng khơng? Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x − x − 3= x+3 2 xy − x + + = 2) Giải hệ phương trình: − 1) 2 x( y + − 1) ( x = Câu (2,0 điểm) 1) Một công ty cần thuê xe để chở 120 người 6,5 hàng Nơi thuê xe có hai loại xe A B , loại xe A có loại xe B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu đồng, xe loại B cho thuê với giá triệu đồng Biết xe loại A chở tối đa 20 người 0,5 hàng, xe loại B chở tối đa 10 người hàng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí bỏ thấp nhất? 2) Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho ln có ba chữ số 1, 2,3 tồn ba chữ số có tổng 8? Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh = BC a= , CA b= , AB c ; góc A = 600 b−c = 2(cos B − 1) Tính số đo góc B C a+c 2) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C (3; 4) , đường thẳng qua trung điểm cạnh CA CB có phương trình x − y + = Đường cao kẻ từ A tam giác ABC có phương trình x − y = Tìm tọa độ điểm A B 3) Cho hình chữ nhật > AD) Tìm vị trí điểm M cạnh hình chữ nhật ABCD (AB cho biểu thức T= MA.MC + MB + MD đạt giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b3 + c = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 5(a + b + c ) + 4( + + ) a b c Họ tên thí sinh………………………………… Số báo danh………………………………………… Cán coi thi số 1…………………………… Cán coi thi số 2……………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2022-2023 MƠN:TỐN (Hướng dẫn gồm 07 trang) Đáp án 1) Tìm giá trị tham số m để hàm số y = 2x −1 x − 2mx + 3m − Điểm xác định a) Hàm số xác định R x − 2mx + 3m − > 0, ∀x ∈ R ∆ < a= > 0.25đ 0.25đ 0.25đ m − 3m + < < m < Vậy < m < 0.25đ 2) Một cổng hình parabol có chiều cao 8m khoảng cách hai chân cổng 12m hình vẽ Giả sử xe tải có chiều ngang 4m chiều cao 7m vào vị trí cổng Hỏi xe tải có qua cổng không? Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Câu (2,0 điểm) 0,25 y ax + bx Parabol có phương trình dạng= Vì cổng hình parabol có chiều rộng 12 m chiều cao 8m, theo hình vẽ ta có parabol qua điểm M (12;0 ) đỉnh I ( 6;8 ) : a= − 144a + 12b = ⇔ 36a + 6b = b = − x2 + x Parabol có phương trình y = Do xe tải có chiều ngang 4m vào vị trí cổng nên xe chạm tường 0,25 0,25 điểm A(4; 64 64 ) B(4; ) 9 Mà xe có chiều 7m < 64 m nên xe tải qua 0,25 1) Giải phương trình x − x − = x + Điều kiện: x ≥ −3 1 1 1 PT (1): ⇔ x − x + = ( x + 3) + x + + ⇔ x − = x + + 4 2 2 2 x − = x + + x − = x + (2) ⇔ ⇔ x − = − x + − x = − x + (3) 2 x ≥ x ≥ + 17 ⇔ ⇔x= Giải (2): x − = x + ⇔ 2 x − 2x + = x + x − 3x − = Câu (2,0 điểm) x ≤ x ≤ − 13 ⇔ ⇔x= Giải (3): x = − x + ⇔ 2 x = x + x − x − = + 17 x = Vậy PT có nghiệm − 13 x = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 xy − x + + = 2) Giải hệ phương trình: − 1) 2 x( y + − 1) ( x = ĐKXĐ: x ≥ −3 PT (2) x − x= +1 2x y2 +1 − 2x x= + x y + (=> x > 0) x − x y + + y + =y ( x − y + 1) = y2 0,25 x − y + =y x − y + =− y TH1: x − y + =− y x + y= y + => ( x + y ) =y + => xy = − x Thay vào PT (1) => − x − x + + = x −1 = ( x − 1)( x + 1) + x+3 +2 ) =0 ( x − 1)( x + + x+3 +2 > => x = => y = Mà x > => x + + x+3 +2 TH2: x − y + =y x − y= 0,25 = x2 −1 y + => ( x − y ) =y + => xy Thay vào PT (1) => x − − x + + =0 x −1 = ( x − 1)( x + 1) − x+3 +2 ) =0 ( x − 1)( x + − x+3 +2 0,25 Mà x > => ( x + 1)( x + + 2) > 1.2 = > => x + > => x =1 => y = x+3 +2 Thử lại (x; y) = (1; 0) thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1; 0) Chú thích: Nếu học sinh dùng phép biến đổi tương đương kết hợp điều kiện không cần thử 0,25 lại 1) Một công ty cần thuê xe để chở 120 người 6,5 hàng Nơi thuê xe có hai loại xe A B , loại xe A có loại xe B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu đồng, xe loại B cho thuê với giá triệu đồng Biết xe loại A chở tối đa 20 người 0,5 hàng, xe loại B chở tối đa 10 người hàng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí bỏ thấp nhất? Gọi x (xe), y (xe) số xe loại A loại B cần phải thuê Số tiền cần bỏ để thuê xe là: f ( x; y= ) x + y (triệu đồng) Câu (2,0 điểm) Ta có x xe loại A y xe loại B chở 20 x + 10 y người 0,5 x + y hàng Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình: 0 ≤ x ≤ 0 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ ⇔ 20 x + 10 y ≥ 120 2 x + y ≥ 12 0,5 x + y ≥ 6,5 x + y ≥ 13 0,25 0,25 Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác ABCD (kể biên) với A ( 5; ) , B ( 9;1) , C ( 9;8 ) , D ( 2;8 ) hình vẽ 0,25 Ta có: f ( 5; ) = 26 ; f ( 9;1) = 39 ; f ( 9;8 ) = 60 ; f ( 2;8 ) = 32 Suy f ( x; y ) nhỏ ( x; y ) = ( 5; ) Vậy để chi phí thuê thấp cần thuê xe loại A xe loại B Chú thích: Nếu học sinh dùng bất đẳng thức đại số: 0,25 13 (4 x + 3= y) (2 x + y ) + ( x + y ) ≥ 26 điểm tối đa 7 2) Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho ln có ba chữ số 1, 2,3 tồn ba chữ số có tổng 8? Ta có = + + = + + Vì số cần lập ln có ba chữ số 1, 2,3 nên ba chữ số cịn lại cần có chữ số thuộc {4;5} Trường hợp 1: Số cần lập có chữ số thuộc {4;5} , có C12 ⋅ C24 ⋅ 6! = 8640 (số) 0,25 0,25 Trường hợp 2: Số cần lập có hai chữ số thuộc {4;5} , có C22 ⋅ C14 ⋅ 6! = 2880 (số) 0,25 11520 Vậy số số cần lập 8640 + 2880 = Câu (3 điểm) BC a= , CA 1) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là= b−c = 2(cos B − 1) Tính số đo góc B C a+c 0,25 b= , AB c ; góc A = 600 Có A 600 nên b c a bc a b c bc a c b bc Ta có b−c = 2(cos B − 1) a+c b − c a + c − b − 2ac ⇔ = a+c ac b − c 2c − b − a ⇔ = a+c a 0,25 (1) (2) 0,25 Do (b − c).a = (a + c)(2c − b − 2a ) => 2ab − ca= 2(c − a ) − cb 0,25 Thay c − a = bc − b vào biêu thức ta được: 2ab − ca = bc − 2b c = 2b (a + b)(2b − c) = Thay vào (1) a b c 30o Tam giác ABC vuông C B 0,25 2) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C (3; 4) , đường thẳng qua trung điểm cạnh CA CB có phương Đường cao kẻ từ A tam giác ABC trình x − y + = Tìm tọa độ điểm A B có phương trình x − y = Ta có CB vng góc AH => Đường thẳng CB (CB): x + y + c = Mà CB qua C(3;4) => c = -15 => (CB): x + y − 15 = x + 3y − 15 = => N( ; ) 2 2x − 4y + = Trung điểm N đoạn CB nghiệm hệ 0,25 0,25 B(6; 3) (m khác 5) Đường thẳng AB // MN => đường thẳng AB (AB): x − y + m = Mà AB qua B(6;3) => m = => (AB): x − y = x − 2y = => A(0;0) 3x − y = Tọa độ điểm A nghiệm hệ 0,25 3) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) Tìm vị trí điểm M cạnh hình chữ nhật cho biểu thức T= MA.MC + MB + MD đạt giá trị nhỏ A M B O D C ( MA2 + MC − AC ) Từ ( AC ) = ( MC − MA) = MC + MA2 − MC.MA => MA.MC= 0,25 1 ( MA2 + MC ) + ( MB + MD ) − AC Thay vào có T = 2 Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Có: MA2 + MC = ( MO + OA) + ( MO + OC ) = MO + OA2 + MO.OA + MO + OC + MO.OC 0,25 = 2OM + OA2 + OC + MO(OA + OC )= 2OM + OA2 + OC MB + MD = ( MO + OB) + ( MO + OD) = MO + OB + MO.OB + MO + OD + MO.OD = 2OM + OB + OD + MO(OB + OD)= 2OM + OB + OD 1 Thay vào T = OM + (OA2 + OC ) + 2OM + OB + OD − AC 2 = T 3OM + 0,25 AC Độ dài AC cố định, T nhỏ OM nhỏ => M hình chiếu O cạnh hình chữ nhật Do hình chữ nhật có AB > BC nên OM nhỏ M hình chiếu O AB CD, tức M trung điểm AB CD 0,25 Chú thích: Nếu học sinh dùng cơng thức đường trung tuyến điểm tối đa Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b3 + c = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 5(a + b + c ) + 4( + + ) a b c Câu (1.0 điểm) 4 Có P= (5a + ) + (5b + ) + (5c + ) a b c 0,25 Vì a + b3 + c = a, b, c > nên < a, b, c < 3 ≥ 2a + (1) a (1) 5a + ≥ 2a + a a − 5a + a − ≤ Ta chứng minh: 5a + 0,25 (a − 1) (2a − a − 4) ≤ Ta chứng minh 2a − a − < với < a < 3 Ta lập bảng biến thiên hàm số f (a )= 2a − a − ( 0; 3 ) a ¼ 0,25 f ( 3) f(a) -4 Có f (0) =−4 < f( ) Có f ( 3)= − 3 − < < 3 + 72 < + 3 3.4( 3 + 4) + 64 (luôn 3 > ) Như (1) chứng minh dấu “=” xảy a = 4 ≥ 2b3 + 5c + ≥ 2c + b c 3 27 Cộng theo vế ta P ≥ 2(a + b + c ) + 21 = Dấu “=” xảy a = b = c = Chứng minh tương tự với b c, ta có 5b + HS làm cách khác cho điểm tối đa 0,25