http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN - LỚP 10 PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4 điểm) Cho hàm số y = f(x) = x2 - 2(m - 1)x + m 1) Tìm m để bất phương trình f(x) ≥ nhận x nghiệm 2) Tìm m để phương trình f(x) = có hai nghiệm x1, x2 lớn hớn Câu (4 điểm) 1) Giải phương trình x − + x − = x − x + + 6, (x ∈ ℝ ) 2) Giải hệ phương trình 2 x + x y − y = x y + xy − x x − + y − = x + y − 1, (x,y ∈ ℝ ) Câu (4 điểm) 1) Giải bất phương trình x − + x + ≥ x3 + x − 1, (x ∈ ℝ ) 2) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = cos x − sin x + 2sin x 3(sin x + cos x) − 2(sin x + cos x) Câu (6 điểm) 1) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có GA.GB + GB.GC + GC.GA = − ( AB + BC + CA2 ) 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(1;2) Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + = Tìm toạ độ B C, biết AB = 2AC 3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 = (C2): (x - 2)2 + (y + 2)2 = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt đường tròn (C1) (C2) M, N (M, N không trùng A) cho AM = 2AN Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≤ a + b + c b + c + a c + a2 + b Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN LỚP 10 PHỔ THƠNG NGÀY THI 31/3/2013 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Câu I Điểm 0,5 0,5 Phương pháp – Kết 1) Ta có ∆ ’ = m – 3m + f(x) ≥ 0, ∀x ⇔ ∆ ’ ≤ ⇔ m2 – 3m + ≤ 3+ m ≥ ⇔ 3− m ≤ 3− 3+ KL m ∈ −∞; ; +∞ ∪ 0,5 0,5 2) Yêu cầu toán tương đương với ∆ ' > ( x1 − 1)( x2 − 1) > ( x1 − 1) + ( x2 − 1) > 3− 3+ )∪( ; +∞) m ∈ (−∞; ∆ ' > 2 ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > ⇔ 3 − m > 2m − > x1 + x2 − > 3+ Tìm < m < 1) Điều kiện x ≥ 1 0,5 Phương trình cho tương đương với x −1 − = ( x − − 3)( x − − 2) = ⇔ x − − = Giải x = 10 x = 2) Điều kiện x, y ≥ 0,5 0,5 Phương trình thứ hệ tương đương với (x - y)(x2 + 2xy + 2) = Do x, y ≥ nên x2 + 2xy + > Vì vậy, (*) ⇔ x – y = ⇔ y = x, thay vào phương trình thứ hai hệ: x ≥ 2 x − = 3x − ⇔ 4(2 x − 1) = (3 x − 1) DeThiMau.vn (*) 0,5 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Giải ta x = 1, x = 0,5 Từ suy nghiệm hệ Câu III 1) Điều kiện x ≥ 0,5 Bất phương trình cho tương đương với ( x − − 1) + ( x + − 2) ≥ x3 + x − ⇔ 3( x − 1) x −1 + ≥ ( x − 1)( x + x + 4) 3x − + x+3+2 ⇔ ( x − 1) x + x + − − ≤0 3x − + x+3 +2 0,5 (*) Ta có x + +1 3 3x − 2 − = x2 + x + + > 0,∀ x ≥ x+3+2 x+3+2 3x − + 3x − + Do (*) ⇔ x – ≤ ⇔ x ≤ Vậy ≤ x ≤ x2 + x + − 0,5 0,5 2) Ta có A = cos x − sin x + sin x 3(1 − 2sin x cos x) − 2(1 − 3sin x cos x) = cos x − sin x + sin x 3 − 6sin x cos x − + sin x cos x = cos x − sin x + sin x = 1 Câu IV a b 4m 4m + − AB GA2 + GB − AB = 1) Ta có GA.GB = 2 Tương tự có đẳng thức cịn lại, sau cộng ba đẳng thức ta 8(ma2 + mb2 + mc2 ) − ( AB + BC + CA2 ) GA.GB + GB.GC + GC.GA = Sử dụng công thức trung tuyến suy điều phải chứng minh 2) Ta có d(A; BC) = 2 1 0,5 1 1 + = = Tam giác ABC vuông tai A nên 2 AB AC d ( A; BC ) 0,5 Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta AC = 10 Mà C ∈ BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 ⇔ 2a + 4a +10 = 10 ⇔ a = a = - Với a = suy C(0; -1) Phương trình AB qua A, vectơ pháp tuyến AC = (−1; −3) x + 3y -7 = Từ tìm toạ độ B(-5; 4) Với a = -2 suy C(-2; 1) DeThiMau.vn 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Phương trình AB qua A, vectơ pháp tuyến AC = (−3; −1) 3x + y - = Từ tìm toạ độ B(3; -4) Chú ý: Học sinh lấy B(a; -1 - a), C(b; -1 - b) Nếu lập hệ hai ẩn chưa giải cho điểm 3) (C1) có tâm I1(1; 3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2(2; -2), R2 = Ta có A điểm chung hai đường tròn Gọi n = (a; b) ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆ : ax+ by – a = | 3b | d ( I1 ; ∆) = a + b2 Ta có d ( I ; ∆) = | a − 2b | a2 + b2 0,5 0,5 0,5 Từ suy 36a 2 MA R d I = − ∆ = 4( ( ; )) 1 a + b2 2 MB = 4( R − d ( I ; ∆)) = 16a + 16ab + 4b 2 a + b2 Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a2 = 4(16a2 + 16ab + 4b2) 7a ⇔ a = -2b b = − +) Với a = -2b, ta chọn b = -1, a = Phương trình ∆ : 2x – y - = 7a , ta chon a = 2, b = - Phương trình ∆ : 2x – 7y – = 1 Ta có + + c ( a + b + c ) ≥ (a + b + c) = a a ( + + c) a + a + ac ⇔ ≤ a = a +b +c 9 +) Với b = − Câu V 0,5 0,5 Do ta chứng minh a b c + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) + + ≤ 2 a +b +c c +a +b a +b +c Mà 3(ab +bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = Từ có điều phải chứng minh 0,5 0,5 Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương DeThiMau.vn ... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN LỚP 10 PHỔ THƠNG NGÀY THI 31/3/2013 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Câu... AB AC d ( A; BC ) 0,5 Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta AC = 10 Mà C ∈ BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 ⇔ 2a + 4a +10 = 10 ⇔ a = a = - Với a = suy C(0; -1) Phương trình AB qua A,... Với a = -2 suy C(-2; 1) DeThiMau.vn 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Phương trình AB qua A, vectơ pháp tuyến AC = (−3; −1) 3x + y - = Từ tìm toạ độ B(3; -4) Chú ý: Học sinh lấy B(a; -1 - a),