http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN - LỚP 10 CHUN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4 điểm) Cho hàm số f ( x) = x − x − + m 1) Tìm m để phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm m để bất phương trình f(x) > nhận x ≥ nghiệm Câu (4 điểm) 1) Giải bất phương trình x − + x − ≥ x2 − x + + , (x ∈ ℝ ) 2) Giải hệ phương trình 2 x + x y − y = x y + xy − x x − + y − = x + y − 1, (x,y ∈ ℝ ) Câu (4 điểm) Giải phương trình 3x − + x + = x3 + 3x − , (x ∈ ℝ ) Câu (6 điểm) 1) Cho ∆ABC (BA ≠ BC ) Giả sử đường trịn tâm O bán kính R qua hai điểm A, C cắt cạnh BA BC K , N Các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆BKN cắt hai điểm phân biệt B, M Chứng minh OM ⊥ BM 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(1; 2) Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + = Tìm toạ độ B C, biết AB = 2AC 3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 = (C2): (x - 2)2 + (y + 2)2 = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1; 0), cắt (C1) (C2) M, N cho AM = 2AN Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≤ a + b + c b + c + a c + a2 + b Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MƠN THI: TỐN LỚP: 10 CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Điểm Câu Phương pháp – Kết Câu I 1) f(x) = ⇔ x − x − + m =0 (1) Đặt x − = t , t ≥ Khi (1) thành t2 – 2t + m + = (2) (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm khơng âm phân biệt ∆ ' = −m > ⇔ t1 + t2 = > ⇔ −1 ≤ m < t t = m + ≥ 12 2) f(x) > ⇔ x − x − + m > Đặt x − = t , t ≥ Khi (3) thành t2 – 2t + m + > ⇔ m > -t2 + 2t – 1= g(t) 0,5 0,5 (3) 1 (4) Tìm Max (g(t)) = g (1) = t ≥0 Suy m > giá trị cần tìm 1) Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với 0,5 ( x − − 3)( x − − 2) ≤ ⇔ 0,5 x −1 − ≥ x−3 −2 ≤ x −1 − ≤ 0,5 x−3 −2 ≥ Giải ta ≤ x ≤ 10 2) Điều kiện x, y ≥ 0,5 0,5 Phương trình thứ hệ tương đương với (x - y)(x2 + 2xy + 2) = (*) 0,5 Do x, y ≥ nên x2 + 2xy + > Vì (*) ⇔ x – y = ⇔ y = x, thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 0,5 DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn x ≥ 2 x − = 3x − ⇔ 4(2 x − 1) = (3 x − 1) Giải ta x = 1, x = 0,5 Từ suy nghiệm hệ Câu III 1) Điều kiện x ≥ 0,5 Phương trình cho tương đương với ( x − − 1) + ( x + − 2) = x + x − ⇔ 3( x − 1) x −1 + = ( x − 1)( x + x + 4) 3x − + x+3+2 0,5 ⇔ ( x − 1) x + x + − − =0 3x − + x+3 +2 (*) Ta có x + +1 3 3x − − = x2 + x + + >0 x+3+2 x+3+2 3x − + 3x − + Với x ≥ Do (*) ⇔ x – = ⇔ x = Câu IV x2 + x + − 0,5 Vậy x = 0,5 B 1) K M N O' A C O P Gọi O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ; ∆BKN Ta có AC khơng song song với KN AC // KN tứ giác ACNK hình thang cân Suy BA = BC (vơ lí) Gọi P giao điểm AC KN Ta có PP /( O ) = PP / ( O1 ) ; PP / ( O ) = PP / ( O2 ) ⇒ PP / ( O1 ) = PP / ( O2 ) ⇒ P, B, M thẳng hàng 0,5 (vì BM trục đẳng phương (O1) (O2)) Lại có PNC = BNK = BAC mà BAC = PMC ⇒ PMC = PNC Vậy tứ giác PMNC nội tiếp Lại có PM PB = PA.PC = PO − R BN BC = BM BP = BO − R 2 DeThiMau.vn 2 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Suy PO − BO = PB(PM − BM ) = PM − BM ( ) MO.BP = MO BO + OP = MO + BO − MB + MP − OM − OP = 0,5 Suy OM ⊥ BM 2) Ta có d(A; BC) = 2 Tam giác ABC vuông tai A nên 0,5 1 1 + = = 2 AB AC d ( A; BC ) 0,5 Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta AC2 = 10 Mà C ∈ BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 ⇔ 2a + 4a +10 = 10 ⇔ a = a = - Với a = suy C(0; -1) Phương trình AB qua A, vectơ pháp tuyến AC = (−1; −3) x + 3y -7 = Từ tìm toạ độ B(-5; 4) Với a = -2 suy C(-2; 1) Phương trình AB qua A, vectơ pháp tuyến AC = (−3; −1) 3x + y - = Từ tìm toạ độ B(3; -4) 3) (C1) có tâm I1(1; 3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2(2; -2), R2 = Ta có A điểm chung hai đường tròn Gọi n = (a; b) ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆ : ax+ by – a = | 3b | d ( I1 ; ∆ ) = a + b2 Ta có d ( I ; ∆ ) = | a − 2b | a2 + b2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ suy 36a 2 4( ( ; )) MA R d I = − ∆ = 1 a + b2 2 MB = 4( R − d ( I ; ∆)) = 16a + 16ab + 4b 2 a + b2 Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a2 = 4(16a2 + 16ab + 4b2) 7a ⇔ a = -2b b = − +) Với a = -2b, ta chọn b = -1, a = Phương trình ∆ : 2x – y - = 0,5 7a , ta chon a = 2, b = - Phương trình ∆ : 2x – 7y – = +) Với b = − 0,5 Câu V 1 Ta có + + c ( a + b + c ) ≥ (a + b + c) = a DeThiMau.vn http://toanhocmuonmau.violet.vn a ⇔ ≤ a +b +c a ( + + c) + a + ac a = 9 Do ta chứng minh a b c + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) + + ≤ 2 a +b +c c +a +b a +b +c Mà 3(ab +bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = 0,5 Từ có điều phải chứng minh 0,5 Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương DeThiMau.vn ...http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MƠN THI: TỐN LỚP: 10 CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Điểm Câu... AC d ( A; BC ) 0,5 Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta AC2 = 10 Mà C ∈ BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 ⇔ 2a + 4a +10 = 10 ⇔ a = a = - Với a = suy C(0; -1) Phương trình AB qua A,... chứng minh 0,5 Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương DeThiMau.vn