Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm học 2014 2015 môn thi: Toán lớp 11 phổ thông30238

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI: TỐN LỚP 11 PHỔ THƠNG Ngày thi: 20/3/2015 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề + cot x = tan x sin x Câu ( 2, điểm) Giải phương trình Câu ( 2, điểm) Gọi S tập tất ước nguyên dương số 10800 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S , tính xác suất để số chia hết cho Câu ( 2, điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển nhị thức Niu-tơn n x  2−  , x > Biết n số nguyên dương thoả mãn điều kiện x  2C 3C 4C nC n Cn1 + 1n + 2n + 3n + ⋯ + n −n1 = 2016 Cn Cn Cn Cn Câu ( 2, điểm) Tính giới hạn ) ( lim x + x − 3 x3 + x + x x →+∞ Câu ( 4, điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA ' vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , đường thẳng BC ' hợp với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Gọi M N trung điểm AC BB ' a) Gọi ( P ) mặt phẳng qua B vng góc với A’C Xác định thiết diện ( P ) với hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính diện tích thiết diện b) Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng ( BA ' C ' ) Câu ( 2, điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O ' ) cắt hai điểm phân biệt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A M, cắt ( O ' ) A M’ Gọi P P’ trung điểm AM AM’ Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng PP’ trung điểm J đoạn thẳng MM’ Câu ( 2, điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng tan A C ⋅ tan = 2 Câu ( 2, điểm) Cho dãy số nguyên dương (an ) với a1 = 1, a2 = 2, an + = 4an +1 + an , n ≥ ( Chứng minh an an + + ( −1) ⋅ n ) số phương với số nguyên dương n Câu ( 2, điểm) Cho hai số thực dương x y thoả mãn điều kiện 32 x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P= ( ( 2x + y+3 ) ) x2 + y − ( x + y ) + HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) ThuVienDeThi.com http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2015 MƠN THI: TỐN LỚP 11 PHỔ THƠNG (Bản hướng dẫn chấm có trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu (2.0 điểm) Điểm (2đ) Hướng dẫn giải sin x − cos4 x Điều kiện: sin 2x ≠ PT tương đương với = sin 2x sin x cos3 x ⇔ = sin2 x − cos2x ⇔ = −cos2x sin2 x sin x 0.5 cos2x = −1 ⇔ cos2 2x − cos2x − = ⇔  cos2x = (l ) 0.5 Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình cho vơ nghiệm 0.5 Câu (2đ) Ta có 10800 = 24.33.52 Mỗi ước nguyên dương 10800 có dạng 2a.3b.5c , a ∈ {0,1, 2, 3, 4}, b ∈ {0,1,2, 3}, c ∈ {0,1, 2} (2.0 điểm) 0.5 Có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c nên theo quy tắc nhân suy số ước nguyên dương 10800 3.4.5 = 60 số Các ước nguyên dương 10800 chia hết cho có dạng 2a.3b.5c , a ∈ {0,1,2, 3, 4}, b ∈ {0,1,2, 3}, c ∈ {1,2} 0.5 0.5 0.5 Suy số ước nguyên dương chia hết cho của10800 5.4.2 = 40 số Gọi A = “Số chọn chia hết cho 5” ta có | Ω |=| S |= 60, | ΩA |= 40 Xác suất cần tìm P (A) = | ΩA | |Ω| = 0.5 40 = 60 Câu (2đ) = n − k + Khi từ giả thiết có C nk −1 n + (n − 1) + (n − 2) + + = 2016 n = 63 n(n + 1) ⇔ = 2016 ⇔ n + n − 4032 = ⇔  n = −64 (l ) Biến đổi k (2.0 điểm) C nk 0.5 0.5 k 63 −1 x ( ) k   = ∑ 63−k C 63 Với n = 63 ta có  −  k =0 x  63 126−3k ( x) 0.5 Số hạng chứa x 12 khai triển ứng với k thoả mãn 126 – 3k = 24 ⇔ k = 34 Vậy hệ số số hạng chứa x 12 khai triển C 6334 229 Câu = 1414697626 0.5 (2đ) ThuVienDeThi.com http://toanhocmuonmau.violet.vn ) ( (( lim x + x − 3 x3 + x + x = lim x →+∞ (2.0 điểm)    x = lim 4 −3 x →+∞   x + 2x + x      = lim  − x →+∞   + + x   x →+∞ ) ( x2 + 2x − x − 3 x3 + x − x )) 0.5   x   + x x + x + x   1.0      = − =  + + +  x  0.5 ( 3 x +x  1  1 +  x   ) Câu 5a (2đ) C B M H A O N E B' C' J I (2.0 điểm) A' ( ) Gọi I trung điểm A’B’ Chứng tỏ BC ';(ABB ' A ') = IBC ' = 300 Xét tam giác BIC’, tính BI = 3a Từ tính BB ' = a 0.5 0.5 Ta có BM ⊥ (ACC ' A ') ⇒ BM ⊥ A ' C Trong (ACC’A’) kẻ MH ⊥ A 'C , H ∈ CC ' Khi mp (BMH) qua B vng góc 0.5 với AC’ nên thiết diện cần tìm tam giác BMH Ta có MH = CM = cosCMH CM = sin ACA ' CM A 'C a = AA ' 0.5 Xét tam giác BMH vng M nên có diện tích S = 3a BM MH = 16 Câu 5b (2.0 điểm) (2đ) Gọi J trung điểm A’C’ ta có A 'C ' ⊥ (BMJB ') Gọi O = MN ∩ BJ Dựng ME vng góc BJ (E ∈ BJ ) suy ME ⊥ A 'C ' ⇒ ME ⊥ (BA 'C ') 0.5 Do OE hình chiếu MN mp(BA’C’) nên (MN ;(BA 'C ')) = (MN ;OE ) = MOE ThuVienDeThi.com 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có O trọng tâm tam giác BMB’ nên MO = a MN = 3 0.5 1 11 a Ta có = + = + = ⇒ ME = 2 ME MB MJ 3a 2a 6a 11 Ta có sin MOE = 54 55 ME = MO 54 , < α < 900 55 Vậy góc đường thẳng MN (BA’C’) α với sin α = Câu 0.5 (2đ) M P O J I A P' Q M' O' B (2.0 điểm) 0.5 Gọi Q trung điểm OO’, suy IQ // OP nên IQ ⊥ IA Suy điểm I nhìn đoạn thẳng cố định AQ góc vng nên quỹ tích điểm I đường trịn (C) đường kính AQ Do J trung điểm MM’ nên AM + AM ' = 2AJ ⇔ AP + AP ' = AJ 0.5 (1) 0.5 Mà I trung điểm PP’ nên AP + AP ' = 2AI (2) Từ (1) (2) suy AJ = 2AI nên J ảnh I qua phép vị tự tâm A, tỉ số Vậy quỹ tích điểm J đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm A, tỉ số Câu (2.0 điểm) (2đ) a, b, c theo thứ tự lập thành CSC a + c = 2b ⇔ 2R sin A + 2R sin C = 2R sin B ⇔ sin A + sin C = sin B (R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) A +C A −C B B A −C A +C ⇔ sin cos = sin cos ⇔ cos = 2cos 2 2 2   A C A C A C A C ⇔ cos cos + sin sin = cos cos − sin sin   2 2 2 2  ⇔ sin A C A C A C sin = cos cos ⇔ tan tan = 2 2 2 0.5 0.5 0.5 0.5 (đpcm) Câu8 (2đ) Với số nguyên dương n ta có (2.0 điểm) 0.5 anan +2 − an2+1 = an (4an +1 + an ) − an2 +1 ( = an +1 (4an − an +1 ) + an2 = an +1 (−an −1 ) + an2 = (−1) an −1an +1 − an2 ( ) n −1 = ⋯ = (−1)n −1 a1a − a 22 = (−1) Suy anan +2 + (−1)n = an2+1 số phương (đpcm) ThuVienDeThi.com ) 0.5 0.5 0.5 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Câu (2đ) Đặt z = 2x (z > 0) từ giả thiết có y + z = = y + z = (y + z )3 − 3yz (y + z ) ≥ (y + z )3 − (y + z )3 = (y + z )3 4 2 Suy y + z ≤ hay 2x + y ≤ Dấu “=” xảy 2x = y Ta có ( ) Từ ta có 2x + y + ≤ ⇒ 2x + y + ≤ 45 = 1024 0.5 0.5 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có (2.0 điểm)   1 1 x + y − (x + y ) + = x +  + y +  − 3(x + y ) +     1 ≥ 3x + 3y − 3(x + y ) + = 2 Dấu “=” xảy x = y =  2x = y 1024 Suy P ≤ ⇔x =y = = 2048 Dấu “=” xảy  x = y = 2  Vậy GTLN P 2048, đạt x = y = ( ) 0.5 0.5 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng Với tốn hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm ThuVienDeThi.com ...http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3 /2015 MƠN THI: TỐN LỚP 11 PHỔ THƠNG (Bản hướng dẫn chấm có trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu... học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng Với toán hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm ThuVienDeThi.com... ;OE ) = MOE ThuVienDeThi.com 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có O trọng tâm tam giác BMB’ nên MO = a MN = 3 0.5 1 11 a Ta có = + = + = ⇒ ME = 2 ME MB MJ 3a 2a 6a 11 Ta có sin MOE = 54