KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có: 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 3 −3 Câu Giá trị biểu thức − + − + 5 4 5 A −2 B C −1 D 13 15 −3 20 −4 20 Câu Giá trị biểu thức + : + + : 21 21 A −2 B Câu Giá trị x tỉ lệ thức A 16 B C −1 D 21 = x − 16 23 C −23 D −16 x y z Câu Bộ số ( x; y; z ) thỏa mãn = = x − y + z = 36 A ( 30;36; 42 ) Câu Cho tỉ lệ thức A B ( 30; −36; 42 ) C ( 30;36; −42 ) D ( −30;36; 42 ) a c = với a, b, c, d ≠ b d 3a 2d = 2c 3b B 3b 3d = a c C 5a b = 5d c D a d = 2b 2c Câu Cho x + y + z = = x ( x − 1) + y ( x − 1) + z ( x − 1) − Giá trị biểu thức A A −2 B C D −1 Câu Cho hai đa thức f ( x )= x + x − g ( x) =−3 x − x + f ( x ) + g ( x ) A −6 x − x − B Câu Rút gọn biểu thức A = ( x + 3)( − x ) − ( − 3x )( x + ) A A = B A = −28 x C x + D −1 ta C A = 28 x D.= A 24 x − 28 x Câu Xác suất gieo xúc xắc sáu mặt để mặt chấm A B ⋅ C ⋅ D ⋅ Câu 10 Cho tam giác ABC = có A 80 = , B 70 Đường phân giác AD CE cắt I ( D ∈ BC , E ∈ AB ) DIE A 125 B 115 C 65 D 55 Trang 1/3 15 cm MN − MP = cm Khi MN ∆MNP biết AB + AC = Câu 11 Cho ∆ABC = A 13 cm B 12 cm C 11 cm D cm Câu 12 Cho ∆DEF , ∆PQR có DE = PQ Điều kiện để ∆DEF = ∆PQR P DF QR = ;D A.= P DF PR = ;D B.= R = P E ;D C.= P EF QR = ;E D.= 60 = , C 50 Kẻ tia phân giác BD ( D ∈ AC ) Khẳng định sau đúng? có B Câu 13 Cho ∆ABC = A AD > AB B AB > BD C BD > BC D BD > AB Câu 14 Cho ∆ABC có AB < AC Kẻ BD vng góc với AC D , kẻ CE vng góc với AB E Kết luận sau đúng? < ECB B DBC > ECB A DBC Câu 15 Cho D = = ECB C DBC ≤ ECB D DBC x−6 Tổng giá trị nguyên x để D có giá trị nguyên x+3 A −18 B −24 C 12 Câu 16 Anh đọc sách hai ngày Ngày thứ Anh đọc D −14 sách Ngày thứ hai 7 số trang sách lại sách Hỏi sau hai ngày Anh đọc 12 phần sách? Anh đọc A 61 ⋅ 84 B ⋅ C ⋅ 14 D 11 ⋅ 14 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm x biết x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 + − − = 2021 2022 2023 2024 b) Thực phép tính: 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 − (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 c) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: xy + x − y − x = Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c, d ≠ 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d thỏa mãn = b ac = , c bd Chứng minh rằng: a + b3 − c a + b − c = ⋅ b3 + c − d b + c − d b) Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d a b c a − b − Tính giá trị biểu thức: A =− 1 1 − 1 + b c a d c) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + x − Tìm a, b để f ( x) chia cho x − dư 14 f ( x) chia cho x + dư −16 Trang 2/3 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE , CF ( E ∈ AC , F ∈ AB ) Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MF lấy điểm D cho MF = MD a) Chứng minh CD = BF CD / / BF b) Lấy điểm P nằm B F , tia đối tia MP lấy điểm Q cho MP = MQ Chứng minh D, Q, C thẳng hàng c) Trên tia đối tia EF lấy điểm K , tia đối tia FE lấy điểm I cho EK = FI Chứng minh tam giác MIK cân Câu (1,0 điểm) Xét số thực a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a, b, c ≤ 2; a + b + c =0 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c ………… HẾT ………… Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Trang 3/3 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (HDC có: 06 trang) I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu ĐA C B B Câu 10 11 ĐA C A C A 12 B B 13 B D 14 A D 15 A B 16 C II PHẦN TỰ LUẬN Câu (3,0 điểm) a) Tìm x biết x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 + − − = 2021 2022 2023 2024 b) Thực phép tính: 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 − (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 c) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn : xy + x − y − x = Phần a) Tìm x biết Nội dung Điểm x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 + − − = 2021 2022 2023 2024 1, x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 + − − = 2021 2022 2023 2024 x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 => + 1 + + 1 − + 1 − + 1 = 2021 2022 2023 2024 x + 2044 x + 2044 x + 2044 x + 2044 + − − = => 2021 2022 2023 2024 1 => ( x + 2044 ) + − − = 2021 2022 2023 2024 1 1 => x + 2044 = (vì + − − ≠0) 2021 2022 2023 2024 => x = −2044 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 Thực phép tính: − b) (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 Ta có : − (2 3) + (125.7)3 + 59.143 212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 = 12 12 − 9 3 + + 12 ( − 1) 510.73 (1 − ) = 12 − ( + 1) 59.73 (1 + ) 0,25 0,25 0.25 0,25 1,0 0,25 0,5 Trang 1/3 c) ( −6 ) 21 = − = = ⋅ Giải phương trình nghiệm nguyên xy + x − y − x = 0,25 1,0 2 xy + x − y − x = ⇒ ( x − 1) y + x ( x − 1) = 0,25 ⇒ ( x − 1)( y + x ) = Vì x, y ∈ nên 2x − 1, y + 3x ∈ Mà = 1.7 = ( −1) ( −7 ) nên ta có bảng 0,25 2x-1 y+3x x y -1 -7 4 -11 -7 (tm) (tm) (tm) Vậy ( x;= y ) {(1; ) ; ( 4; −11) ; ( 0; −7 ) ; ( −3;8 )} -7 -1 -3 (tm) 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm) = b ac = , c bd Chứng minh rằng: a) Cho a, b, c, d ≠ 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d thỏa mãn a + b3 − c a + b − c = ⋅ b3 + c − d b + c − d b) Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d a b c a − b Tính giá trị biểu thức: A =− − 1 1 − 1 + b c a d c) Cho f ( x) = ax3 + bx + x − Tìm a, b để f ( x) chia cho x − dư 14 f ( x) chia cho x + dư −16 Phần Nội dung Điểm Cho a, b, c, d khác 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d thỏa mãn a) 3 3 a +b −c a+b−c b ac , c bd Chứng minh rằng: = = = ⋅ 3 b +c −d b+c−d b c a b Ta có b = ac ⇒ = ; c = bd ⇒ = c d b c a b Do = a b Đặt = a b c3 b c ⇒ = = = b c3 d c d 1,5 0,25 0,25 a b c3 b c = = k ⇒ = = = k3 b c d c d 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c3 a + b − c3 = = = = k3 3 3 3 b c d b +c −d 0,25 (1) Mặt khác, theo tính chất dãy tỉ số ta có a b c a +b−c a +b−c k3 ( 2) = = = = k ⇒ = b c d b+c−d b+c−d 0,25 Trang 2/3 a + b3 − c a + b − c Từ (1) ( ) ta có 3 = (đpcm) b +c −d b+c−d b) Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d Tính giá trị biểu a b c a −b a b c a −b thức: A =− − 1 1 − 1 + b c a d Ta có A =− − 4 1 1 − 1 + b c a d b − a c − b a + c a − b = − 4 b c a d Mà a − b + c = ⇒ b − a = c Tương tự, ta có c − b =−a; a + c =b; a − b =−c c − a b −c Ta có A = − b c a d −abc −5d − 4 abc d = =( −1) ( −9 ) =9 c) Cho f ( x) = ax3 + bx + x − Tìm a, b để f ( x) chia cho x − dư 14 f ( x) chia cho x + dư −16 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Vì f ( x) = ax3 + bx + x − chia cho x − dư 14 nên f ( x) có dạng: f ( x) = ( x − 2) g ( x ) + Ta có f (2) = ( − ) g ( ) + 14 0,25 14 ⇒ a.23 + b.22 + 8.2 − = (1) ⇒ 8a + 4b = Vì f ( x) = ax3 + bx + x − chia cho x + dư −16 nên f ( x) có dạng: f ( x) = ( x + 1) h ( x ) − 16 Ta có f (−1) = ( −1 + 1) h ( −1) − 16 0,25 ⇒ a ( −1) + b ( −1) + ( −1) − = −16 ⇒ −a + b = −2 ⇒ b = a − (2) Thay ( ) vào (1) ta có 8a + ( a − ) = ⇒ 12a − = 0,25 ⇒a= 1 =−1 Thay a = vào ( ) ta có b =− Vậy a = 1; b = −1 0,25 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE , CF ( E ∈ AC , F ∈ AB ) Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MF lấy điểm D cho MF = MD a) Chứng minh CD = BF CD / / BF Trang 3/3 b) Lấy điểm P nằm B F , tia đối tia MP lấy điểm Q cho MP = MQ Chứng minh D, Q, C thẳng hàng c) Trên tia đối tia EF lấy điểm K , tia đối tia FE lấy điểm I cho EK = FI Chứng minh tam giác MIK cân Phần Hình vẽ Nội dung Điểm A E F I K P B C M Q D a) Chứng minh CD = BF CD / / BF Xét ∆BMF ∆CMD Có: BM = CM ( Vì M trung điểm BC ) = CMD (Hai góc đối đỉnh) BMF 2,0 0,75 MF = MD ( gt ) b) ⇒ ∆BMF = ∆CMD ( c − g − c ) 0,25 ⇒ CD = BF = MCD mà chúng vị trí so le Và MBF ⇒ CD / / BF 0,25 0,5 0,25 Lấy điểm P nằm B F tia đối tia MP lấy điểm Q cho MP = MQ Chứng minh D, Q, C thẳng hàng 1,0 Xét ∆BMP ∆CMQ Có: MB = MC (Vì M trung điểm BC ) 0,5 = CMQ ( hai góc đối đỉnh) BMP Trang 4/3 MP = MQ ( gt ) ⇒ ∆BMP = ∆CMQ ( c − g − c ) mà chúng vị trí so le ⇒ BP / / CQ = ⇒ MBP MCQ Mà CD / / BF theo tiên đề ơclit ⇒ C , Q, D thẳng hàng c) Trên tia đối tia EF lấy điểm K , tia đối tia FE lấy điểm I cho EK = FI Chứng minh tam giác MIK cân 0,25 0,25 1,0 Xét ∆BFC ∆DCF Có: BF = CD ( theo a)) BFC = DCF = 90 ( Vì BF / / CD BF ⊥ CF ) 0,25 CF cạnh chung ⇒ ∆BFC = ∆DCF ( c − g − c ) ⇒ BC = DF Mà DF = FM (Vì M trung điểm FD ) ⇒ FM = BC (1) BC (2) Từ (1) (2) ⇒ MF = ME ⇒ ∆MFE cân M ⇒ MFI = MEK (kề bù) ⇒ MFE = MEF Chứng minh tương tự: ME = 0,25 0,25 Xét ∆MFI ∆MEK Có: MF = ME (chứng minh trên) = MEK (chứng minh trên) MFI 0,25 FI = EK ( gt ) ⇒ ∆MFI = ∆MEK ( c − g − c ) ⇒ MI = MK ⇒ ∆MIK cân M Câu (1,0 điểm) Xét số thực a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a, b, c ≤ 2; a + b + c =0 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c Phần Nội dung a + ≥ Vì −1 ≤ a, b, c ≤ ⇒ a − ≤ ⇒ ( a + 1)( a − ) ≤ ⇒ a − 2a + a − ≤ ⇒ a ≤ a + Điểm 0,25 0,25 Chứng minh tương tự: b ≤ b + ⇒ a + b2 + c2 ≤ a + b + c + = c ≤ c + 0,25 Trang 5/3 Dấu đẳng thức sảy khi: ( a; b; c ) = ( −1; −1; ) hoán vị Vậy Max P = ⇔ ( a; b; c ) = ( −1; −1; ) hoán vị 0,25 Trang 6/3