177 đề hsg toán 8 yên mỗ 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) x   2x b)   5x   x   0     Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P  x   x    : x  1  với x   0;1;2 x  1  x  1  a) Rút gọn P b) Tìm x để P  x  1 Câu (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x y thỏa mãn x  y 4 xy 1 Tính giá trị biểu thức A  x  1  y     x    y  1 b) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn abc a  b  c 1   2 Tính giá a b c 1   a b2 c2 Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD c) Tứ giác BEDF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c abc Chứng minh trị biểu thức B   1 1 a  b  c 3     a b c b) Tìm nghiệm nguyên  x; y  phương trình x y  y  1  y    y  3 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Câu Đáp án a) (2,0 điểm) Nếu x  0 hay x 3 x  x  Nếu x   hay x  x  3  x Câu * TH1: Với x 3 , PT cho trở thành x   2x  x 4 (t/m) 10  x  2x  x  (loại) x  * TH2: Với , PT cho trở thành (4,0 điểm Vậy PT cho có nghiệm x 4 ) b) (2,0 điểm) Vì x   với x nên BPT cho tương đương với  5x 0 1  5x 0  5x 1  x  Vậy nghiệm BPT ban đầu x  5 a) (2,0 điểm)    x  4x  x  2x  P  x   x   :  : x  1  x  1  x  1 x1 x  Câu x  4x   x   x P x    x  2x x  x  2 x (4,0 điểm b) (2,0 điểm) Với điều kiện x   0;1;2 ta có ) x 2 P  x  1  1   1  0  x  x x x Vậy với x  P  x  1 a) (1,5 điểm) A  x  1  y     x    y  1 x y  2x  y   xy  x  2y  A xy  x  y    x  y    x  y   Câu A xy  x  y     x  y   2xy    x  y   Thay số, ta A 40 (3,0 b) (1,5 điểm) điểm 1 1 1 1   1 1  )   2      4         4 a b c a b c a b c  ab bc ca  1 1 1 a b c   B    4      4  4  2.1 2 a b c abc  ab bc ca  Vậy B = Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 1,0 1,0 K D C E F A B H a) (2,0 điểm) Ta có BE DF vng góc với AC Do BE // DF (1)   Xét hai tam giác vng AFD CEB có AD = BC DAF nên BCE Suy BE = DF (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BEDF hình bình hành b) (2,0 điểm) Câu Ta có       nên suy CBH  CBA 180o ; CDK  CDA 180o mà CBA CDA   (6,0 CBH CDK   nên đồng dạng với CDK điểm Xét hai tam giác vng CHB CKD có CBH CH CB )   CH.CD CB.CK Do ta có CK CD c) (2,0 điểm) Xét hai tam giác vng ACH ABE có góc A chung nên đồng dạng với AB AE   AB.AH AC.AE Suy AC AH Xét hai tam giác vuông AKC AFD có góc A chung nên đồng dạng với AD AF   AD.AK AC.AF Suy AC AK Vậy AB.AH  AD.AK AC  AE  AF  Mặt khác theo cmt AF = EC Do ta có AB.AH  AD.AK AC  AE  EC  AC.AC AC (đpcm)  1 1  bc  ac  ab  a  b  c 3     a  b  c 3  abc a b c    bc  ac  ab   a  b  c 3    a  b  c  3 bc  ac  ab  a  b  c    a  b  c bc  ac  ab Câu (3,0 điểm )    a  b  c 2 bc  ac  ab  2 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0.5   a  b    b  c    c  a  0 x y  y  1  y    y  3  x y  y  3  y  1  y    x  y  3y   y  3y   Đặt t y  3y  ta x  t  1  t  1  x t   x  t    x  t   x  t   Vì x, y số nguyên nên x  t x  t số nguyên Do ta có hai trường hợp sau: * TH1: x  t 1 x  t  Suy x 0 t  0,25 0,5 0,25 2 Với t  y  3y    y  3y  0   y  1  y   0  y  y  * TH2: x  t  x  t 1 Suy x 0 t 1 2 Với t 1 y  3y  1  y  3y 0  y  y   0  y 0 y  Vậy PT cho có nghiệm nguyên  x; y   0;  3 ,  0;   ,  0;  1 ,  0;0  0,25 0,5 Hết