ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ (ĐỀ CHÍNH THỨC) x2 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A = x 1 3x a Rút gọn biểu thức A b Tìm x để A có giá trị 671 c Tìm x Z để x 1 3x x 1 3 3x 4x Z A Bài 2: (2 điểm) a Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = b Phân tích thành nhân tử P = a8 + a4b4 + b8 Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 B = 2x3yn b Xác định giá trị a,b c để đa thức P(x) = x + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Bài 4: (2 điểm) a Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x, y, z 0 b.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = 4x x 1 Bài 5: (3,5 điểm) Khi xây dựng bể bơi, để thay nước thường xuyên cho bể người ta đặt vòi nước chảy vào bể vòi chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nước Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 30 phút đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy a Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy b Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể bao nhiêu? Bài 6: (6 điểm) Từ đỉnh A ABC ta hạ đường vng góc AM, AN với phân giác ngồi tương ứng góc B Hạ đường vng góc AP, AQ với phân giác ngồi tương ứng góc C a Chứng minh điểm MNPQ thẳng hàng b Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC c Cho điểm O chuyển động BC tìm vị trí O cho tích khoảng cách từ O đến AB AC đạt giá trị lớn Hết UBND HUYỆN N MƠ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN KHỐI - NĂM 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức x2 x 1 3 A= x 1 x 3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A có giá trị 671 c) Tìm x Z để 3x x 1 3x Z A Giải: ( x 2)( x 1) x x( x 1) x 1 3x x 1 x 3x x 1 x Ta có 3x( x 1) 2(1 x) 3x 3x 3x x 671 x 2014 (thỏa mãn) b) Ta có A = 671 2 Z x -1 phải ước c) Ta có A x x Với x Z để A Hay x -1 { 1; 2; 3; 6} Kết hợp với ĐKXĐ ta có x {-5; 2; 3; 4; 7} a) ĐKXĐ x 0, -1, (0,5 đ) (0,5 đ) (1 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 2: (2 điểm) a) Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = b) Phân tích thành nhân tử P = a8 + a4b4 + b8 Giải: a) Thay x + ta có A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + – (x + 1)x2 + (x+1)x + = x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 + – x3 – x2 + x2 + x + = x + = +1 = (1 đ) b) P= a8 + a4b4 + b8 = (a4)2 + 2a4b4 + (b4)2 – a4b4 = (a4 + b4)2 – (a2b2)2 = (a4 + b4 + a2b2)(a4 + b4 – a2b2) (0,5 đ) 4 2 2 2 Làm tương tự với a + b + a b = (a + b + ab)(a + b - ab) Vậy ta có P = (a4 + b4 – a2b2)(a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab) (0,5 đ) Bài 3: (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 B = 2x3yn b) Xác định giá trị a,b c để đa thức P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Giải: a) Điểu kiện để A chia hết cho B n 3 n 3 6 n n n 4 n 4 n 4 (1 đ) Vậy với n = đa thức A chia hết cho đơn thức B Khi A:B = (3x3y6 – 5x5y4) : (2x3y4) = y x 2 (0,5 đ) b) Chia P(x) cho (x – 3)3 ta thương x + dư (0,5 đ) R(x) = (a + 54)x + (b-216)x + 243 + c P(x) (x - 3)3 R (x) cho ta (0,5 đ) a + 54 = a = -54; b – 216 = b = 216; c + 243 = c = -243 (0,5 đ) Bài 4: (2 điểm) a) Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x,y,z 0 b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = 4x x 1 Giải: a) Cộng vế với vế đẳng thức x + 5y = 21 2x + 3z =51 ta 3(x + y + z) + 2y = 72 (0,5 đ) Như 3(x + y + z) lớn 2y nhỏ Mặt khác y nên 2y nhỏ y = x = 21 z = Do 3(x + y + z) lớn 72 x + y + z lớn 24 x = 21; y = z =3 (0,5 đ) b) Ta có 4x x x x ( x 2) minB = -1 với x = -2 = x 1 x2 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ B B = -1 x = -2 (0,5 đ) 4x x x x 4( x 1) (4 x x 1) (2 x 1) 4 4 Mặt khác ta lại có = x 1 x2 1 x2 1 x2 1 maxB = với x = Vậy giá trị lớn B B = x = (0,5 đ) Bài 5: (4 điểm) Khi xây dựng bể bơi, để thay nước thường xuyên cho bể người ta đặt vòi nước chảy vào bể vòi chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nước Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 30 phút đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy a) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy b) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể bao nhiêu? Giải: a) Gọi thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc mực nước ngang chỗ đặt vòi chảy x Trong vòi chảy vào bể 1,5 bể (0,5 đ) Trong vòi chảy : bể 3 Nếu mở hai vòi, lượng nước chảy vào bể (0,5 đ) 1 3 Trong x đầu, có vịi chảy vào làm việc nên lược nước chảy vào bể (0,5 đ) x bể Trong 42 phút – x (tức 2,7 - x giờ) lại, hai vòi làm việc nên lượng nước chảy vào bể (2, x) Ta có phương trình: x (2, x) 1 3 (0,5 đ) (0,5 đ) Do x = 0,3 Thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc mực nước ngang chỗ đặt vòi chảy 0,3 (0,5 đ) b) Theo đề bài, riêng vòi chảy vào làm việc 1,5 mực nước cao 2m Vậy riêng vịi chảy vào làm việc 0,3 mực nước cao 2m.0,3 0, 4m 1,5 Khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể 0,4 m (0,5 đ) Bài 6: (6 điểm) Từ đỉnh A ABC ta hạ đường vng góc AM, AN với phân giác tương ứng góc B Hạ đường vng góc AP, AQ với phân giác ngồi tương ứng góc C a) Chứng minh điểm MNPQ thẳng hàng b) Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC c) Cho điểm O chuyển động BC tìm vị trí O cho tích khoảng cách từ O đến AB AC đạt giá trị lớn Giải: a) Gọi E = AB MN F = AC PQ ta thấy tứ giác AQCP AMBN hình chữ nhật E, F trung điểm AB AC EF // BC (vì C ) nên PQ // BC PQ thuộc EF (1) C Mà QPC (0,5 đ) Tương tự M,N thuộc đường thẳng EF (2) Từ (1) (2) suy M, N, P, Q thẳng hàng (0,5 đ) b) Ta có QN = QF + EF + EN (1) (0,5 đ) Theo tính chất hình chữ nhật ta có AC (tính chất) (2) NE = BC (tính chất) (3) EF = BC (Tính chất đường trung bình tam giác) (4) Từ (1) (2) (3) (4) ta có QN = (AB + BC + CA) Vậy QN = 10 cm chu vi ABC = 2QN = 20 cm QF = C) Kẻ BI vng góc với AC CJ vng góc với AB Vì OH // CJ, OK // BI nên theo định lí ta lét ta có OH OK BO CO 1 CJ BI BC BC (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Đặt OH = x, BI = p CJ = q x OK Ta có x q ; OK p q p 1 q Do OH OK x(q x) x qx p OH OK (0,5 đ) q q2 q2 x 2 4 (0,5 đ) pq Vậy OH OK đạt giá trị lớn pq q x = hay O trung điểm BC (0,5 đ) A J Q M F P N E H I K C O B Hết -Chú ý: - Các cách giải khác cho điểm tương tự - Riêng khơng vẽ hình vẽ hình sai không chấm