PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BỈM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi 02 tháng 4 năm 2023 Câu 1 (4,0 điểm) Ch[.]
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BỈM SƠN NĂM HỌC: 2022 - 2023 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi 02 tháng năm 2023 Câu 1: (4,0 điểm) P x 1 x2 x x2 : x2 2x 1 x x x2 x Cho biểu thức a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b Tìm x để P 1 Câu 2: (4,0 điểm) 2 x x ( x 1) a Giải phương trình: b Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai phương trình sau: a3 + 3a2 + = 5b a + = 5c Câu 3: (4,0 điểm) a Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x4 - 2y2 = b Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp (a < b) Chứng minh (ab – a – b +1) chia hết cho 192 Câu 4: (6,0 điểm) Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Từ H hạ HM vng góc với EF M HN vng góc với ED N a Chứng minh rằng: BDH BEC đồng dạng; BED BCH đồng dạng b Chứng minh HM HN c Gọi I , J , Q, K hình chiếu vng góc F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , Q, K thẳng hàng Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T a b c b 16 c 16 a 16 Hết Họ tên học sinh: Số báo danh: PHÒNG GD& ĐT THỊ XÃ BỈM SƠN Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP Năm học 2022 - 2023 Mơn: Tốn Ý Nội dung P Xét biểu thức ĐKXĐ: P Điểm x 1 x x 2 x : x 2x 1 x x x x x 0 x 1 x 0,5 Khơng có điều kiện x trừ 0, 25 điểm x 1 x2 x x2 : x2 x 1 x x x2 x 0,5 a (2,0 x( x 1) ( x 1) x 1 x x2 điểm) P x 1 : x x 1 x( x 1) x( x 1) P P x( x 1) x x x : x x 1 x 1 x( x 1) x 1 : x x 1 x x 1 x 1 x2 x( x 1) x 1 x 1 x Vậy Câu (4.0đ) x 0, x 1, P 1 x2 1 P x với x 0, x 1 x x x x 0 x x x 0 x 1 x 1 0 b (2,0đ) Câu (4,0đ) (TM ĐKXĐ) x ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x trừ 0,25 điểm) 1 P x 2 Vậy a Giải phương trình (2,0đ) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠−1 0,5 x x P x 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2 x x ( x 1) ( x 1) x ( x 1) 2x2 x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 0,5 ( x 1) x ( x 1) x 2 x ( x 1) x x 3x 3x x x x x 0 x x x 0 0,75 x (2 x 1) (2 x 1) 0 (2 x 1)(1 x3 ) 0 x 0 x x (TM ) x 1(TM ) 0,5 Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai phương trình sau : a3 + 3a2 + = 5b a + = 5c Vì a số nguyên dương nên a3 + 3a2 + = a2(a + 3) + > a + Hay 5b > 5c, mà b, c nguyên dương nên b > c 5b ⋮ 5c Suy (a3 + 3a2 + 5) ⋮ (a + 3) b Hay a2(a + 3) + ⋮ (a + 3) (2,0đ) Mà a2(a + 3) ⋮ a + nên ⋮ ( a + 3) Suy a + ¿ Ư(5) Lại có a nguyên dương nên a + > Do a + = 5, hay a = Từ tính b = 2, c = 0,5 0,5 0,5 0,5 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x4 - 2y2 = (1) Vì x; y có số mũ chẵn, giả sử x 0, y 0 Hiển nhiên x lẻ, x chia cho dư y chẵn, y chẵn 0,5 Đặt x = 2a+1, y = 2b với a,b thuộc N Thay biểu thức vào (1) ta Câu (4,0đ) a (2,0đ) (4a 4a 1) 8b (4 a 4a 2)(4 a 4a) 8b 0,5 (2a 2a 1)(a a) b 2 Đặt a a n Ta có: (2n 1)n b *) Với a= x= Thay vào (1) ta y = Với a 1 n 2n+1 số nguyên dương 0,5 Vì chúng nguyên tố tích chúng b Nên số số phương Đặt n k (k N ) 0,25 Ta có a2+a=k2 Điều khơng sảy a2 < a2+ a