ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 ( Thời gian 150 phút) Câu 1(4,0 điểm) 1 Cho biểu thức với Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị lớn nhất của A biết x, y thỏa mãn đẳng thức 2 Cho a, b, c, d là các[.]
ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN NĂM HỌC 2022 – 2023 ( Thời gian 150 phút) Câu 1(4,0 điểm) : Cho biểu thức với Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị lớn A biết x, y thỏa mãn đẳng thức : 2.Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn đẳng thức : minh a = b = c = d Câu 2(4,0 điểm) : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2.Tìm a, b cho chia hết cho đa thức Chứng 3.Cho Chứng minh với số nguyên dương n ta có : xn + yn = an + bn Câu 3(4,0 điểm) : 1.Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn : Chứng minh 2023 ( a + b + c ) chia hết cho 27 Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : Câu (6 điểm): Cho hình vng ABCD E, K trung điểm AB CD Hạ Chứng minh Gọi N giao điểm AK BM Tính số đo góc ANB Phân giác góc DCE cắt cạnh AD F Chứng minh DF + BE = CE Chứng minh Câu (2,0 điểm): Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : ………………………… Hết ………………………… Câu Câu (4,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung cần đạt Điểm 1(3đ) 0,5đ = 0,5đ 0,5đ 0,25đ Vậy A = 0,25đ với Ta có : 0,25đ 0,25đ 0,25đ A = Vậy GTLN A = Khi 2(1đ) 0,25đ ; 0,25đ Từ lập luận để suy : 0,25đ 0,5đ ( Do a, b, c, d số dương) Vậy a = b = c = d 1)( 1,5 điểm ) phân tích đa thức thành nhân tử : Ta có : x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1= (x4 + 6x3 + 9x2) – 2x2 – 6x + = (x2 +3x)2 – 2(x2 + 3x) + = (x2 +3x - 1)2 2)( 1,5 điểm ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Ta có : Vì chia hết cho đa thức Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) 0,25đ Với 0,25đ Với 0,25đ Thay (1) vào (2) Ta có : 2a – (- a – 6) + = Câu 3a = -12 (4,0đ) a=-4 Vậy a = - 4; b = - 3)( 1,0điểm ) Từ: Vì 2a + a + + = 0,25đ thay vào ta có : -Nếu y = b kết hợp với x + y = a + b x = a xn + yn = an + bn -Nếu x + a = y + b x – y = a – b kết hợp với x + y = a + b n x = a, y = b x + yn = an + bn Vậy x + y = a + b x2 + y2 = a2 + b2 xn + yn = an + bn với n nguyên dương 1(2đ).Theo đề : 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Biến đổi : Xét số dư a, b, c chia cho - Nếu số a, b, c có số dư khác ( 0; 1; 2) hiệu a – b ; b – c; c – a không chia hết cho không chia hết cho ( vơ lí ) Câu -Nếu có số dư a + b + c khơng chia hết cho cịn (4,0đ) hiệu a – b ; b – c; c – a chia hết cho ( vô 0,5đ 0,5đ lí ) Suy cịn trường hợp số a, b, c có số dư chia cho 0,5đ Mà ( ĐPCM) 2(2 điểm) Ta có: 0,25đ 0,25đ -Nếu x – 1= x = ta có + y2 = + y2 với y nguyên Các cặp (x,y) nguyên thỏa mãn (1 ; y ) với -Nếu x4 + x3 + x2 +x +1 = y2 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + = ( 2y) (⁎) Ta có : ( 2y )2 – ( 2x2 +x )2 = 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + - 4x4 - 4x3 - x2 0,25đ = 3x +4x + = với x Suy ( 2x +x ) < ( 2y ) (1) Lại có : ( 2x2 + x + 2)2 – (2y)2 = 4x4 + x2 + + 4x3+8x2 + 4x - 4x4 - 4x3 - 4x2 2 4x - (2) Từ (1) (2) suy ra : + Với : ( 2y )2 = ( 2x2 + x + 1)2 thay vào (⁎) ta có : 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + = ( 2x2 + x + 1)2 = 4x4+x2 +1+4x3 + 4x2 +2x x2 -2x - = (x + 1)(x – 3) = x = -1 x = 0,25đ 0,25đ 0,25đ Nếu x = -1 y2 = Nếu x = y2 = 121 2 + Với : ( 2y ) = ( 2x + x + 2) thay vào (⁎) ta có : 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + = ( 2x2 + x + 2)2 = 4x4+x2 +4 + 4x3 + 8x2 +4x 5x2 = x2 = x = y2 =1 0,25đ 0,25đ Vậy cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn là : (1 ; y ) với ;(-1 ;1) ;(-1 ;-1) ;(3 ;11) ; (3 ;-11) ; (0 ;1) ; (0 ;-1) E A F B O M H Q D P C K N 1(1,5 đ) Chứng minh AEKD hình chữ nhật Gọi O giao điểm đường chéo Từ suy ra: Câu4 (6,0đ) vng K (ĐPCM) 0,5 đ 1,0 đ 2( 1,5 đ) Gọi H giao điểm AK DM Chứng minh AECK hình bình hành Từ suy AK // CE mà KD = KC cân A Do cân A Do cân A kết hợp với cân A 0,5đ = = 0,5 đ Lại có góc ngồi tam giác vng HMN từ tính 0,5đ Vậy 3(1,5đ).Trên tia đối tia BA lấy điểm P cho BP = DF từ chứng minh mà Mà vuông B nên 0,5đ nên Kết hợp với ( gt) Suy cân E (ĐPCM) 4(1,5đ) Qua E vẽ đường vng góc với CF cắt CD Q Xêt hình vng ABCD có EK đường trung bình 0,5đ 0,5đ Suy EK = AD = CD, EK //AD Xét có : ( phụ với góc EQC); CD = EK; ( Hai cạnh tương ứng) Xét có CF đường phân giác đồng thời đường cao Suy cân C CF đường trung trực FE = FQ ( tính chất đường trung trực) EF + FQ = 2EF - Nếu điểm E, F, Q thẳng hàng EQ = EF + FQ - Nếu điểm E, F, Q khơng thẳng hang thì: Xét có EQ < EF + FQ Mà EQ = FC 0,5đ 0,25đ 0,25đ ( ĐPCM) Câu Ta có a + b2 =a (a + b + c) + b2 = a2 + ab + ac + b2= ( a2 + b2) + ab + ac 2ab (2,0đ) + ab + ac = 3ab + ac Áp dụng bất đẳng thức : xảy x = y ta có : 0,5đ ( với x, y số dương ) Dấu 0,5đ Chứng minh tương tự ta có : 1đ ; Cộng theo vế bất đẳng thức chiều ta có: 0,25đ (ĐPCM) 0,25đ Dấu “=” xảy - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm