Dự án word đề hsg Toán THCS 2023 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA Đề gồm 5 câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2022 – 2023 Môn thi Toán Thời gian làm bài 150 phút (kh[.]
Dự án word đề hsg Tốn THCS - 2023 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA Đề gồm câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học: 2022 – 2023 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/02/2023 Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4.0 điểm) 1) Giải phương trình sau: 2) Cho Chứng minh: Câu 3: (4.0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2) Cho số tự nhiên số nguyên tố p thỏa mãn p – chia hết cho n đồng thời chia hết cho p Chứng minh n + p số phương Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B,C), qua điểm A kẻ tia Ax vng góc với AM cắt tia CD điểm F 1) Chứng minh AM = AF 2) Trên cạnh CD lấy điểm M cho , gọi giao điểm AM,AN với BD Q P ; gọi I giao điểm MP NQ Chứng minh H 3) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN M,N thay đổi Câu 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 ĐÁP ÁN Câ u Nội dung Điểm 1) (2 điểm) 0,25đ Ta có: ĐKXĐ: 0,5đ Khi đó: 0,5đ 0,5 KL:Vậy 2) (2 điểm) 0,25 với với 0,5 Ta có: Để A có giá trị nguyên Vì +) nguyên, suy 0,5 nên (loại) +) 0,5 0,5 Vậy 1) (2 điểm) Giải phương trình sau: ĐKXĐ: khơng phải nghiệm phương trình nên phương trình tương đương với: 0,25 0,5 Đặt , phương trình trở thành: 0,5 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 Với (thỏa mãn đk) 0,25 Vậy tập nghiệm phương trình là: 2) (2 điểm) Cho Với và ta có: 0,5 Chứng minh: 0,5 (Vì (Vì (Vì Vậy ) ) 0,5 0,5 ) với 0,5 1) (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 0,5 +) Xét y = 2: PT vơ nghiệm +) Xét Vì Ta có: nên 0,25 0,25 0,25 0,25 Do số phương nên +) Với y = (vơ lí) +) Với y = Vậy 2) (2 điểm) Cho số tự nhiên số nguyên tố p thỏa mãn p – chia hết cho n đồng thời chia hết cho p Chứng minh n + p số 0,25 0,25 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 phương Ta có: 0,25 Vì Do đó: 0,5 Từ 0,25 Suy ra: 0,5 Vì 0,25 Nên suy Từ (1) (2) suy ra: k = n + Khi (đpcm) A 0,25 B 1 I P F D N M H C 1) Chứng minh rằng: AM = AF Xét vuông B; D có: AB = AD (cạnh hình vng) 2,0 (cùng phụ ) Suy ra: = (cgv-gn) (đpcm) 2) Chứng minh: H Ta có: kết hợp (đối đỉnh) 0,75 Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 Suy ra: kết hợp Suy ra: Từ (1) (2) suy ra: (vì tam giác AND vng D) Suy ra: Q Cmtt: P Khi có hai đường cao NQ MP cắt I I trực tâm Suy AI đường cao thứ ba tam giác H (đpcm) 3) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN M, N thay đổi Gọi BM = x; DN = y (0 < x; y < a) Khi đó: 0,75 0,5 0,75 Lại có: Suy ra: Đặt MN = t Mà Khi đó: , thay 0,75 Vì Suy ra: 0,5 Dấu “=” xảy Vậy Cho a, b, c ba cạnh tam giác Dự án word đề hsg Toán THCS - 2023 Chứng minh: 2đ Vì a,b,c cạnh tam giác nên: Đặt: Ta có: 0,5 Mà Suy ra: 0,5