Đang tải... (xem toàn văn)
PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 (VÒNG II) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đ[.]
PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2022 – 2023 (VỊNG II) Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) P a2 b2 a2 b a b 1 b a b 1 a 1 a b Rút gọn biểu thức x y z x2 y2 z2 1 0 y z z x x y y z z x x y Cho Chứng minh rằng: Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: x x x x 4043 1 1 4043 Cho số thực x khác thỏa mãn x x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ Câu (4,0 điểm) 3 Tìm tất số nguyên x y cho x y xy 2 n x y Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng , x, y A S A S số nguyên Chứng minh A số chẵn A chia hết cho Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB AC Vẽ NH vng góc với CM H, HE vng góc với AB E Trên tia NH lấy điểm K cho NK = CM a) Chứng minh tứ giác ABKC hình vng b) Chứng minh HM tia phân giác góc BHE 2 c) Giả sử AHC 135 Chứng minh 2HA HB HC Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm GTNN a b3 b3 c c3 a3 P a ab b b bc c c ca a -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm PGD&ĐT TP THANH HỐ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH Biểu chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỐN (VỊNG II) NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu Câu Hướng dẫn giải 4.0điểm P Rút gọn biểu thức P a a b b 1 a b3 a b a b a b a b b a 1.a 2.0điểm a2 a b2 b a2 b2 a b Ta có a b ab a b 1 b a b a a b 2 a b a ab b a b a b a b b 1 a a b a 2 a3 a b b a b a b a b 1 b 1 a ab b2 a b a b a b a b a b 1 b 1 a a a b a ab b b 1 b 1 a a2 b b a b b b a ba 2 2 0.5 0.5 2 1 a 0.5 b a b a a b 1 b 1 a 1 b 1 a a b a a a b b a a 1 b a 1 a 1 1 a 2 0.5 1 a a 1 a ab b a ab b 1 a x y z x2 y2 z2 1 0 Cho y z z x x y Chứng minh rằng: y z z x x y x y z 1 x y z 0 y z z x x y Nếu x + y + z = 2.0 điểm 0.5 x y z 1 yz zx x y 1.b Ta có: 2.0điểm Nếu x + y + z = 0.25 x y z 1 x y z yz zx x y x y z ( x y z) x y z yz zx x y x2 y2 z2 z y x x y z yz z x xy 0.75 0.5 x2 y2 z2 0 yz zx xy Câu Tìm x biết : x x x x 4043 1 1 4043 2x 2x 2x 4043 2.3 3.4 4043.4044 1 2x 4041 4043.4044 1.2 2.3 3.4 0,5 1 1 x 4043 4043 4044 Ta có: 2 x 4043 4044 4043 x 4043 2022 x 2022 x 2022 Vậy 0.25 x 2.0điểm 4.0điểm 2.0 điểm Cho số thực x khác thỏa mãn minh x số hữu tỉ x x x số hữu tỉ Chứng 0,5 0,5 0,25 2.0 điểm 2b 2.0điểm x x Ta có suy 2 4 2 x x x x x x x x x x x x Mặt khác x suy x suy 4 x x2 x2 x x x Do nên suy 0,5 2 2 2x x x x x Vậy suy x (điều phải chứng minh) Câu 3 Tìm tất số nguyên x y cho x y xy 2.0điểm 0,75 0,75 4.0 điểm 2.0 điểm 3 3 Theo đề bài, ta có: x y xy (*) x xy y ( x 1)( x x x 1) y ( x 1) ( x 1)( x x x y ) 0 x 0 x x x y x 1 3 x x x 1 y +/ Xét x=1, thay vào (*) y y y k với k Z 3 +/ Xét x x x 1 y 0.5 0.5 1 x x x 4 x3 x x x Vì 3 (1) 2 Vì x 11x x x x x x x x 11x 3 x3 x x x3 x 12 x x x x ( x 2) 3 3 Từ (1) (2) x x x x ( x 2) x y ( x 2) (2) 3 3 Mà x,y nguyên y ( x 1) x x x ( x 1) 0.75 x 0 x3 x x x x x x x 0 x Xét x = y = (tmđk) Xét x = - y = (tmđk) Vậy cặp số nguyên (x;y) 0; 1 ; 1; ; 1; k với k Z 0.25 2 Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng n x y , x, y số nguyên Chứng minh A S A số chẵn A A S chia hết cho 2 Do A S nên tồn số nguyên x, y thỏa mãn A x y Mà A số chẵn nên x, y tính chẵn lẻ 2.0điểm Xét trường hợp sau: +) TH1: x, y chẵn 2.0 điểm 0,5 A x y x y S 2 ; x 4; y 4 A4 2 (vì số nguyên 2 +) TH2: x, y lẻ Khi x ; y chia dư nên A chia hết cho * Nếu x, y có số dư chia cho ta có: A 4( x y ) ( x y ) 3.( x y ) 2 0,5 A x 3y x y x 3y x y ; Z S Vì Do đó: * Nếu x, y khơng số dư chia cho ta có: 0,5 A 4( x y ) ( x y ) 3.( x y ) 2 A x 3y x y S 4 Do đó: x 3y ; Vì xy Z 0,5 A S Vậy trường hợp, ta có A chia hết cho Câu điểm A E N M H B C F I K a 2.0điểm +) Chứng minh AMC = CNK (C G C) 0.5 MAC NCK AB = CK 0 Mà MAC 90 NCK 90 KC AC C 0.25 +) Chứng minh tứ giác ABKC hình chữ nhật 0.5 +) Chứng minh tứ giác ABKC hình vuông 0.25 Gọi I trung điểm CK, F giao điểm BI KN +) Chứng minh tứ giác BMCI hình bình hành 0.5 MC / / BI +) Xét BHK có BF vừa đường cao vừa trung tuyến BHK cân B 0.5 b BKH BHK 2.0điểm Lại có : BKH EHN ( hai góc đồng vị EH//BK) 0.5 (1) (2) 0.25 Từ (1) (2) EHN BHK Mà EHN MHE BHK MHB 90 MHE MHB Suy HM tia phân giác góc BHE 0.5 0.25 A G H B C Trên tia CH lấy điểm G cho HAG 90 0 Vì AHC 135 AHG 45 Mà HAG 90 AHG vuông cân A AG AH GH AH AG 2 AH c Xét AGB AHC có: 2.0điểm AG AH GAB HAC ( 90 BAH ) AB AC ( ABC vng cân A) AGB AHC (c.g.c) AGB AHC 0.25 0.5 ( góc tương ứng) AGB 1350 Vì AGB AHC GB HC Mà AHG vng cân A AGH 450 (2 cạnh tương ứng) 0.5 0.5 BGH AGB AGH 900 BGH vng G Xét BGH vng G có: BG GH HB HC GH HB HC AH HB HB HC 2 AH (đpcm) Câu 0.25 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTNN a b3 b3 c3 c3 a3 P a ab b b bc c c ca a 2.0 điểm a ab b (a ab b ) Chứng minh bất đẳng thức 3a 3ab 3b2 a ab b 2.0điểm 0.5 2a 4ab 2b 0 2(a b) 0 (luôn đúng) a b3 (a b)(a ab b ) (a b)(a ab b ) Ta có: 0.5 ( a b)( a ab b2 ) a b a b 3 2 a ab b a ab b 3 b3 c b c c3 a3 c a 2 2 c ca a Tương tự, b bc c a b b c c a P (a b c ) 3 3 Do Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương a,b,c, ta có: a b c 3 abc 3 (vì abc = 1) P 2 Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy GTNN P a = b = c = Điểm toàn 0,5 0,25 0,25 20 điểm