Hsg toán 8 2022 2023 trần mai ninh thanh hoá

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 (VÒNG II) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đ[.]

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2022 – 2023 (VỊNG II) Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) P a2 b2 a2 b    a  b  1 b  a  b  1 a  1 a   b Rút gọn biểu thức x y z x2 y2 z2   1   0 y  z z  x x  y y  z z  x x  y Cho Chứng minh rằng: Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: x x x x    4043 1 1      4043 Cho số thực x khác thỏa mãn x x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ Câu (4,0 điểm) 3 Tìm tất số nguyên x y cho x  y  xy  2 n  x  y Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng , x, y A  S A  S số nguyên Chứng minh A số chẵn A chia hết cho Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB AC Vẽ NH vng góc với CM H, HE vng góc với AB E Trên tia NH lấy điểm K cho NK = CM a) Chứng minh tứ giác ABKC hình vng b) Chứng minh HM tia phân giác góc BHE 2  c) Giả sử AHC 135 Chứng minh 2HA HB  HC Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm GTNN a  b3 b3  c c3  a3 P   a  ab  b b  bc  c c  ca  a -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm PGD&ĐT TP THANH HỐ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH Biểu chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỐN (VỊNG II) NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu Câu Hướng dẫn giải 4.0điểm P Rút gọn biểu thức P a  a  b   b  1 a  b3  a  b  a b  a  b      a  b   b   a 1.a 2.0điểm a2   a   b2   b   a2 b2  a  b  Ta có  a b ab    a  b  1 b  a  b   a   a   b 2   a  b   a  ab  b  a  b  a b   a  b   b  1 a   a  b  a 2 a3  a  b  b  a b  a  b   a  b  1 b  1 a  ab  b2   a  b   a  b   a b  a  b    a  b  1 b 1  a   a  a b    a  ab    b  b  1 b  1 a a2   b    b   a   b   b   b  a ba  2 2 0.5 0.5 2 1 a 0.5   b  a b  a  a  b   1 b  1 a 1 b 1 a  a  b   a  a    a b  b  a  a  1  b  a  1  a  1   1 a   2 0.5 1 a  a  1  a  ab  b  a  ab  b  1 a x y z x2 y2 z2   1   0 Cho y  z z  x x  y Chứng minh rằng: y  z z  x x  y x y z   1  x  y  z 0 y  z z  x x  y Nếu x + y + z = 2.0 điểm 0.5 x y z   1 yz zx x y 1.b Ta có: 2.0điểm Nếu x + y + z = 0.25  x y z   1  x  y  z  yz zx x y  x y z   ( x  y  z)     x  y  z  yz zx x y  x2 y2 z2 z y  x x  y  z yz z x xy 0.75 0.5  x2 y2 z2   0 yz zx xy Câu Tìm x biết : x x x x    4043 1 1      4043 2x 2x 2x    4043 2.3 3.4 4043.4044 1   2x       4041 4043.4044   1.2 2.3 3.4 0,5 1   1 x         4043 4043 4044  Ta có:  2   x    4043  4044  4043 x 4043 2022 x 2022 x  2022 Vậy 0.25 x 2.0điểm 4.0điểm 2.0 điểm Cho số thực x khác thỏa mãn minh x số hữu tỉ x x x số hữu tỉ Chứng 0,5 0,5 0,25 2.0 điểm 2b 2.0điểm x   x Ta có suy  2 4 2  x  x  x  x     x  x        x   x    x        x  x  x  Mặt khác x   suy x suy 4 x   x2     x2     x x x Do nên suy 0,5  2  2 2x  x     x     x  x  Vậy suy x   (điều phải chứng minh) Câu 3 Tìm tất số nguyên x y cho x  y  xy  2.0điểm 0,75 0,75 4.0 điểm 2.0 điểm 3 3 Theo đề bài, ta có: x  y xy  (*)  x   xy  y  ( x  1)( x  x  x  1)  y ( x  1)  ( x  1)( x  x  x   y ) 0  x  0    x  x  x   y    x 1  3  x  x  x 1  y +/ Xét x=1, thay vào (*)   y  y   y k với k  Z 3 +/ Xét x  x  x 1  y 0.5 0.5 1  x  x   x     4   x3  x  x  x  Vì 3 (1) 2 Vì x 11x    x  x  x   x  x  x   x  11x  3  x3  x  x   x3  x  12 x   x  x  x   ( x  2) 3 3 Từ (1) (2)  x  x  x  x   ( x  2)  x  y  ( x  2) (2) 3 3 Mà x,y nguyên  y ( x  1)  x  x  x  ( x  1) 0.75  x 0  x3  x  x   x  x  x   x  x 0    x  Xét x =  y = (tmđk) Xét x = -  y = (tmđk) Vậy cặp số nguyên (x;y)    0; 1 ;   1;  ;  1; k   với k  Z 0.25 2 Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng n  x  y , x, y số nguyên Chứng minh A S A số chẵn A A  S chia hết cho 2 Do A  S nên tồn số nguyên x, y thỏa mãn A x  y Mà A số chẵn nên x, y tính chẵn lẻ 2.0điểm Xét trường hợp sau: +) TH1: x, y chẵn 2.0 điểm 0,5 A  x  y  x  y       S 2  ;    x 4; y 4  A4    2 (vì     số nguyên 2 +) TH2: x, y lẻ Khi x ; y chia dư nên A chia hết cho * Nếu x, y có số dư chia cho ta có: A 4( x  y ) ( x  y )  3.( x  y ) 2 0,5 A  x  3y   x y x  3y x  y  ; Z      S     Vì Do đó: * Nếu x, y khơng số dư chia cho ta có: 0,5 A 4( x  y ) ( x  y )  3.( x  y ) 2 A  x  3y   x y       S 4     Do đó: x  3y ; Vì xy Z 0,5 A  S Vậy trường hợp, ta có A chia hết cho Câu điểm A E N M H B C F I K a 2.0điểm +) Chứng minh AMC = CNK (C G C) 0.5    MAC NCK AB = CK 0   Mà MAC 90  NCK 90  KC  AC C 0.25 +) Chứng minh tứ giác ABKC hình chữ nhật 0.5 +) Chứng minh tứ giác ABKC hình vuông 0.25 Gọi I trung điểm CK, F giao điểm BI KN +) Chứng minh tứ giác BMCI hình bình hành 0.5  MC / / BI +) Xét BHK có BF vừa đường cao vừa trung tuyến  BHK cân B 0.5   b  BKH BHK 2.0điểm   Lại có : BKH EHN ( hai góc đồng vị EH//BK) 0.5 (1) (2) 0.25   Từ (1) (2)  EHN BHK     Mà EHN  MHE BHK  MHB 90    MHE MHB Suy HM tia phân giác góc BHE 0.5 0.25 A G H B C  Trên tia CH lấy điểm G cho HAG 90 0   Vì AHC 135  AHG 45  Mà HAG 90  AHG vuông cân A  AG  AH GH  AH  AG 2 AH c Xét AGB AHC có: 2.0điểm AG  AH    GAB HAC ( 90  BAH ) AB  AC ( ABC vng cân A)  AGB AHC (c.g.c)  AGB  AHC 0.25 0.5 ( góc tương ứng)  AGB 1350 Vì AGB AHC  GB HC Mà AHG vng cân A  AGH 450 (2 cạnh tương ứng) 0.5 0.5   BGH  AGB  AGH 900  BGH vng G Xét BGH vng G có: BG  GH HB  HC  GH HB  HC  AH HB  HB  HC 2 AH (đpcm) Câu 0.25 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTNN a  b3 b3  c3 c3  a3 P   a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2.0 điểm a  ab  b  (a  ab  b ) Chứng minh bất đẳng thức  3a  3ab  3b2 a  ab  b 2.0điểm 0.5  2a  4ab  2b 0  2(a  b) 0 (luôn đúng) a  b3 (a  b)(a  ab  b )  (a  b)(a  ab  b ) Ta có: 0.5 ( a  b)( a  ab  b2 ) a b a b  3  2 a  ab  b a  ab  b 3 b3  c b c c3  a3 c a   2 2 c  ca  a Tương tự, b  bc  c a b b c c a P    (a  b  c ) 3 3 Do Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương a,b,c, ta có: a  b  c 3 abc 3 (vì abc = 1)  P  2 Dấu “=” xảy  a b c 1 Vậy GTNN P a = b = c = Điểm toàn 0,5 0,25 0,25 20 điểm