UBNH HUYỆN QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN BÁ NGỌC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN THI TOÁN Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điể[.]
UBNH HUYỆN QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN BÁ NGỌC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức 2) Tìm để 3) Tìm giá trị nhỏ Bài 2: (4,0 điểm) 1) Tìm đa thức chia cho 2) Cho biết rằng: chia cho thương dư , chia cho dư cịn dư đơi khác Tính giá trị biểu thức: Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm nguyên biết: 2) Cho hai số tự nhiên thỏa mãn: số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng Qua cắt a) Chứng minh b) và , cắt Chứng minh vẽ hai đường thẳng vng góc với tam giác cân cắt ; trung điểm hình chữ nhật c) Chứng minh trực tâm d) Chứng minh bốn điểm Bài 5: (2,0 điểm) Cho Chứng minh tứ giác thẳng hàng số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ biểu thức -HẾT - , HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN NỘI DUNG BÀI Bài (4,0 điểm) ĐIỂM Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức 2) Tìm để 3) Tìm giá trị nhỏ 0,25 1) ĐKXĐ 0,25 0,25 0,5 0,25 Vậy với 2) Để với thuộc ĐKXĐ 0,25 0,25 0,25 0,25 (TM ĐKXĐ) (không TM ĐKXĐ) 0,25 Vậy 0,25 3) 0,25 ì V nên hai số dương và Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ta có 0,25 0,25 ấu “=” xảy D (vì ) (TM) Vậy giá trị nhỏ Bài Bài 2: (4,0 điểm) (4,0 điểm) 1) Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư cho dư , chia cho thương 2) Cho 0,25 đơi khác , chia cịn dư Tính giá trị biểu thức: 1) Giả sử chia cho Khi Theo đề bài, ta có: Do Vậy đa thức cần tìm có dạng: 2) T Ta có ương tự: thương cong dư 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do 0,5 0,25 ến đổi tử: Bi Từ suy Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm ngun biết: 2) Cho hai số tự nhiên thỏa mãn: số phương Chứng minh 1) Ta có Vì 0,25 0,25 nguyên nên TH1: Bài ước lẻ Xảy TH sau: 0,25 Giải (4,0 điểm) TH3: 0,25 Giải TH4: Giải Vậy cặp nghiệm nguyên 2) Ta có Gọi 0,25 Giải TH2: 0,25 0,25 0,25 cần tìm 0,25 0,25 ước chung ( ) 0,5 Ta có Mà Lại có nên suy nên suy Do Từ (*) suy số phương Bài Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng Qua vẽ hai đường (6,0 điểm) thẳng vng góc với cắt , cắt 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Chứng minh tam giác cân b) cắt ; trung điểm minh tứ giác hình chữ nhật c) Chứng minh trực tâm d) Chứng minh bốn điểm thẳng hàng a) Vẽ hình đúng, cân đối đẹp Chứng 0,25 chúng hai tam giác vng (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) (cạnh hình vng) Suy nên tam giác vng cân Chứng minh tương tự ta có: Do tam giác cân b) đường trung tuyến tam giác vuông cân nên Mặt khác nên góc vng Vậy tứ giác có ba góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết nên hai đường cao Vậy trực tâm d) Trong tam giác vng cân trung tuyến nên Bài , nghĩa cách Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân tam giác vng , ta có , nghĩa cách Hay trung trực Vì hình vng nên cách Nói cách khác, bốn điểm cách nên chúng phải nằm đường trung trực , nghĩa chúng thẳng hàng Bài 5: (2,0 điểm) Cho số thực dương thay đổi thỏa 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có 0,25 0,25 Vì nên Mặt khác 0,25 dương nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho cặp số Vì khơng âm ta có: Suy 0,25 (2,0 điểm) 0,25 Do 0,25 0,25 Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ biểu thức 0,25 Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Bài hình khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm