PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán Lớp 8 –(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức a Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán - Lớp –(Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (3 điểm) x 4x2 x x 3x A Cho biểu thức: : x x x 2x x a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b Tìm x để A = -1 Câu 2: (6 điểm) a Cho số nguyên a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 2 Chứng minh A a b c số phương b Giải phương trình nghiệm ngun: x xy 2012 x 2013 y 2014 0 c Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho nhị thức (x - 1), (x – 2), (x- 3) có số dư x = -1 đa thức nhận giá trị -18 Câu 3: (3 điểm) x x 10 a Tìm x để biểu thức: E với x 1 đạt giá trị lớn x x 1 1 b Cho x > 0, y > 0, z > x y z 4 1 Chứng minh răng: x y z x y z x y z 1 Câu 4: (6 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M, N a Chứng minh rằng: Tứ giác AEMD hình cữ nhật b Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chúng minh rằng: AC = 2EF c Chứng minh rằng: 1 2 AD AM AN Câu 5: (2 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu …………………Hết……………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2020-2021 Câu Ý Đáp án Điểm 2 x 4x x x 3x : x x x 2x x Cho biểu thức: A a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b Tìm x để A = -1 a 2đ x 0 x 0 +) Điều kiện xác định: 2 x 0 x x 0 x x 0 x 0 x 2 x 3 0,5 x x2 x x 3x A : x x x 2x x 2 x x x x x x x 3 x x x x 4x2 8x x x x 4x x 2 x x x x x 3 b 1đ a 2đ 0,5 0,25 4x2 x 0,25 x2 x x x x x 0 x 1 x 3 0 A x ; x 0,5 0,25 0,5 0,25 a)Cho số nguyên a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 2 Chứng minh A a b c số phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2012 x 2013 y 2014 0 c ) Cho đa thức f(x) = ax + bx2 + cx + d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho nhị thức (x - 1), (x – 2), (x- 3) có số dư x = -1 đa thức nhận giá trị -18 Ta có: ab + bc + ca = 0,5 a ab bc ca a a a b c a b a b a c ; 0,5 b2 ab bc ca b b a b c a b a b b c ; 0,5 2 c ab bc ca c b a c c a c a c b c 2 A a b c a b b c 2 a c a b b c a c Vì a, b, c số nguyên nên a b b c c a Z 2 Suy A a b c số phương b 2đ 0,25 0,25 0,25 x x y 1 2013 x y 1 1 x 2013 x y 1 1 x 2014 y 2014 x 2012 y 2014 0,5 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm ngun 0,25 x; y 2014; 2014 x; y 2012; 2014 c 2đ +) Từ đề ta suy f(x) – chia hết cho x – 1; x – 2; x – +) Vì f(x) đa thức bậc nên ta có: f(x) – = m(x-1)(x-2)(x-3), m số khác +) Lại có f(-1) = -18 => -18 - = m.(-2).(-3).(-4) => m =1 +) Vậy f(x) -6 = (x-1)(x-2)(x-3) => f(x) = x3 – 6x2 +11x =>a = 1; b = -6; c = 11; d = 0,5 0,5 0,5 0,5 x x 10 với x 1 đạt giá trị lớn x x 1 1 b Cho x > 0, y > 0, z > x y z 4 1 Chứng minh răng: x y z x y z x y z 1 a.Tìm x để biểu thức: E a E x x x 1 10 1,5đ Đặt t x 1 0,25 0,25 x xy 2012 x 2013 y 2014 0 x xy x 2013x 2013 y 2013 1 x 2013 1 x y 1 x 2013 x y 10 x x 1 0,5 1 2 , ta có : E 10t t 1 10 t 2t 20 20 400 x 39 39 E 10 t với t 20 40 40 39 t x 19 Vậy max E 40 20 0,5 0,25 0,25 1 b Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x, y dương) 1,5đ Ta có: 1 1 1 ; 2x y z 2x y z y z y 4z 1 1 (1) 2x y z 2x y 4z 1 1 Tương tự ta có: x y z 4x y z 0,5 1 1 x y 2z 4x y 2z 0,25 (2) 0,25 (3) Từ (1), (2), (3) ta có : 1 11 1 2x y z x y z x y 2z x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z Dấu “ = ” xảy x y z 4 0,25 0,25 Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M, N a.Chứng minh rằng: Tứ giác AEMD hình cữ nhật b.Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF c Chứng minh rằng: a 2đ E A F D 1 2 AD AM AN B H C M N Ta có DAM ABF ( phụ với góc BAH) AB = AD ( giả thiết) 0,5 BAF ADM 90 ADM BAF g c.g 0,5 => DM = AF, mà AF = AE ( giả thiết ) b 2đ =>AE = DM Lại có AE DM ( AB song song DC) => AEMD hình bình hành, mặt khác DAE 900 (GT) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có ABH FAH g.g 0,5 0,5 0,25 AB BH BC BH hay AB BC ; AE AF AF AH AE AH Lại có HAB HBC ( phụ với góc ABH ) CBH EAH c.g c => 0,25 0,25 S S CBH BC BC CBH 4 GT mà 4 SEAH AE S EAH AE 0,5 Nên BC AE BC 2 AE =>E trung điểm AB, F trung điểm AD Do BD = 2EF hay AC = 2EF ( đpcm) c 2đ 0,25 0,5 Do AD CN ( giả thiết), áp dụng hệ định lí Ta –lét, ta có 0,5 AD AM AD CN ; CN MN AM MN Lại có MC AB ( GT), Áp dụng hệ định lí Ta-lét, ta có MN MC AB MC AD MC Hay AN AB AN MN AN MN 2 2 AD AD CN CM AM AN MN MN CN CM MN 1 (Định lí Pitago) MN MN 2 0,5 0,5 1 AD AD 1 AM AN AD ( đpcm) AM AN 0,5 Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu B A C E D +) Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân +) Do tơ đỉnh A, B, C, D, E màu xanh , đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều hai màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân +) Vậy trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tơ màu đôi khác màu 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa