PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 2 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CỤM Năm học 2022 2023 Môn Toán 8 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1[.]
PHỊNG GD&ĐT N THÀNH CỤM CHUN MƠN SỐ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CỤM Năm học 2022-2023 Mơn Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5,0 điểm) a) Tìm a,b để đa thức F(x) = ax3 + bx2 + 10x –4 chia hết cho đa thức g(x) = x2+x - b) Tìm số tự nhiên n để p = n3 – 3n2 + n – số nguyên tố c) Cho biểu thức: (Với ) Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : b) Tìm x, y nguyên thõa mãn: x2 – y2 + y = Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho số a,b,c khác thõa mãn Tính giá trị biểu thức: b) Với n số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh: 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 chia hết cho 80 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số thõa mãn |a| < 1; |b| < 1; |c| < ab + bc + ca = Chứng minh Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Gồm 04 trang) Câu 1(5đ) Nội dung Điểm Câu 1: (5,0 điểm) a) Tìm a,b để đa thức F(x) = ax3 + bx2 + 10x – chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x -2 b) Tìm số tự nhiên n để p = n3 – 3n2 + n – số nguyên tố c) Cho biểu thức: (Với ) Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A a) Gọi đa thức thương chia F(x) cho g(x) Q(x), ta có: ax3 + bx2 + 10x – = (x2 + x – 2) Q(x) với giá trị x ax3 + bx2 + 10x – = (x – 1)(x + 2) Q(x) với giá trị x - Xét x = ta có: a+ b + 10 – = a+b = - (1) - Xét x = -2 ta có: -8a + 4b – 20 – = -8a + 4b = 24 (2) Từ (1) (2) tìm a = -4; b = -2 b) Ta có p = (n2+1)(n-3) Mà n2+1 nên để p nguyên tố ta có TH sau: TH1: n2 + = n – nguyên tố n2+1 = n = 0, n – = -3 không nguyên tố TH2: n – = n2 + nguyên tố n – = n = , n2+1 = 17 nguyên tố Vậy n = c) Rút gọn A = 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 Tìm max A: A= Dấu ‘=” xảy x = (T/m) 1,0 Vậy maxA = x = 2(4đ) Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : b) Tìm x, y nguyên thõa mãn: x2 – y2 + y = a) (1) ĐK : x -4 ;x -5 ;x -6 ;x -7 (1) (x+13)(x-2) = 0,5 0,5 0,5 x = -13 (t/m) ; x = (t/m) Vậy S = {-13 ; 2} 0,5 b) (2,0) 1.0 Gi¶i TH ta đợc nghiệm (0; 0); (1; 0) 3(6) 1.0 Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho số a,b,c khác thõa mãn Tính giá trị biểu thức: b) Với n số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh: 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 chia hết cho 80 a) (2,0đ) Ta có 0,75 0,75 Nếu a+b = A = Nếu b – c = A = Nếu a – c = A = Vậy A = b) Ta có 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 = (n4 – 1) + (2n5 – 10n3 + 8n) = (n4-1) + 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) Ta thấy Với n lẻ 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 16 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 80 (1) Với n không chia hết cho n4 – = n5-1 – chia hết cho (Fecma) Với n lẻ nên n4 – = (n2 + 1)(n-1)(n+1) chia hết cho 16 n4 – chia hết cho 80 (2) Từ (1) (2) đpcm 4(6đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng A E N F H K B C D I M a) Xét AEB AFC có : chung Do Xét AEB AEF 0,5 0,5 AFC( g.g) ABC có : chung (vì Do AEF 0,5 ) 0,5 ABC (c.g.c) b) Chứng minh tương tự câu a ta được : Do đó : Vì giác góc DEF nên Tam giác NED có EH tia phân giác Vì EA EB tia phân nên: EH nên EA tia phân giác đỉnh E (1) DEN (2) Từ ( 1) (2) suy ra : qua D) 0,5 0,5 0,5 , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng H Nên 0,5 c) 0,5 có HF//MI( Mà ) (định lí Ta lét) nên (định lí Ta lét đảo) (3) có HE//MK (cùng ) có (định lí Ta lét), ( Định lí Ta lét đảo) (4) Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng Câu 5(1,0 ) 0,5 0,5 0,5 Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số thực thõa mãn |a| < 1; |b| < 1; |c| < ab + bc + ca = Chứng minh Chứng minh BĐT: Với a,b,c x,y,z số dương ta có: (*) Dấu ‘=’ xảy 0,25 Vì |a| < 1; |b| < 1; |c| < nên – b ; – c ; – a số dương Áp dụng 2 BĐT(*) ta có: 0,25 Lại có Dấu ‘=’ xảy a = b = c Vì |a| < 1; |b| < 1; |c| < nên (do ab+bc+ca = 2) 0,25 Mà Nên (do ab+bc+ca = 2) Dấu ‘=’ xảy Vậy Ghi chú: Dấu ‘=’ xảy - Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa - Câu học sinh khơng vẽ vẽ hình sai khơng chấm 0,25