ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC 6, 7, 8 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán 8 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a ) A = x2 – x – 6 b) B =[.]
ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC 6, 7, CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ) A = x2 – x – b) B = x3 – 5x2 + 8x – Câu 2: (3 điểm) a) Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương x−214 x −132 x−54 + + =6 84 82 b) Giải phương trình: 86 Câu 3: (5 điểm) a Chứng minh bất đẳng thức : , với a, b số dương Áp dụng tìm giá trị nhỏ M = với x, y dương x + y = b Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho thương x dư đa thức bậc nhất, f(x) chia cho x+3 dư 8, f(x) chia cho x-3 dư Câu 4: (8 điểm) Cho hình vng ABCD có M, N, P lầ n lượt trung điểm cạnh BC, CD, DA Gọi H giao điểm AN DM Chứng minh rằng: a/ AN BP b/ BA = BH Cho có góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF đồng quy H Cm: AEB AFC a/ b/ AEF ABC c/ BH.BE CH.CF BC Câu 5: (1 điểm) Trong tam giác cạnh 1, ta đặt 17 điểm Chứng minh rằng, tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ - Hết - Họ tên thí sinh: ……………………………………………… Số BD: ………… HƯỚNG DẪN CHÁM Câu 1: a) Ta có : A = x2 – x – = x2 – – x – = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – - 1) = (x + )(x - 3) b) x - 5x + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 Câu a) Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + =( Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ 0.5đ Đặt (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n+ 3) + số phương x−214 x −132 x−54 + + =6 84 82 b) 86 x −214 x −132 x−54 ( −1 )+( −2)+( −3 )=0 84 82 ⇔ 86 x−300 x−300 x−300 + + =0 84 82 ⇔ 86 1 + + =0 ⇔ (x-300) 86 84 82 ( ) 0,5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0,5đ Vì ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 0.5đ VËy S ={ 300 } Câu 3: a) Ta có (1) 0,5đ với a, b dương Suy BĐT (1) Dấu “=” xẩy a = b 0.5đ Áp dụng: Ta có M = 0.5đ = Mặt khác (1) Và hay 0.5đ (2) Từ (1) (2) M 4.1 + 5.1 = hay M 9+ M Vậy GTNN M = a = b = b) f(x) chia cho 0.5đ 0.5đ a=b=1 thương x dư Khi đó: ; 0.5đ Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: 0.5đ Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: Câu (7 điểm) 0.5đ M C B N H Q D A 1.a P 1đ (c – g – c) Nên Vì Do mà vuông Q nên AN ( Do BP ) 0.5đ 1.b Chứng minh tứ giác BMDP hình bình hành Xét tam giác ADH Ta có P trung điểm AD mà PQ //DH Nên theo tính chất đường trung bình ta có Q trung điểm AH(1) Theo câu a, BP AN => BQ AH (2) Từ (1) (2) Tam giác ABH cân B ( Vì BQ vừa đường cao vừa trung tuyến) Nên AB = BH 0.5đ 0,5đ 0,5đ A E F H B 2.a Xét D C ta có chung ( 2.b Do ) (g –g) Vì (g –g) 0,5đ Nên Góc Do 2.c 0.5đ chung (c- g- c) Vì Vì 0,5đ 0,5đ 0.5đ (g –g) nên (g –g) nên Vì Do BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC2 Chia tam giác cho thành 16 tam giác nhỏ Theo nguyên tắc Dirichlet tồn hai điểm nằm hình tam giác nhỏ Hai điểm có khoảng cách bé 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ