Đang tải... (xem toàn văn)
UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8, CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG 1 DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023 2024 Môn thi Toán Thời gian 150 phút (không[.]
UBND HUYỆN N ĐỊNH PHỊNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO Mơn thi: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1.(4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: ( A= KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8, CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2023 - 2024 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang; gồm 05 câu) ) 2 2 x + x −x x + x x + x−1 x x≠±1,x≠ − : + với 2 2 x−1 x −1 x −1 x −1 Cho ba số khác 1 1 + + = thoả mãn: x y z x + y + z Tính giá trị biểu thức Bài (4,0 điểm) Giải phương trình Tìm x y thỏa mãn đồng thời hai hệ thức sau: + y3 = (1) x2 + 2y2 = x + 4y (2) x Bài (4,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: Cho số nguyên thỏa mãn đẳng thức Chứng minh chia hết cho 40 Bài (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Bx vng góc với AB B Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B) Kẻ BH vng góc với AC ( điểm H thuộc AC) Gọi M trung điểm AB Chứng minh rằng: HA.HC = HB2 Kẻ HD vng góc với BC ( D thuộc BC) Gọi I giao điểm AD BH Chứng minh ba điểm C, I, M thẳng hàng MI CH AB =1 Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi tia Bx Biết IC HA BM Tìm vị trí điểm C tia Bx cho diện tích tam giác ABI lớn Bài (2,0 điểm) Cho số không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức ………Hết…… HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Hướng dẫn chấm - Với Điểm , biểu thức A xác định nên ta có : 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy : ( với ) 0,5 Ta có: 0,5 0,5 ĐKXĐ: x ≠ 0,5 0,25 0,5 ( ( ) ) x x2 x2 x2 ⇔ x+ − −40=0⇔ −6 −40=0 x−3 x−3 x−3 x −3 ⇔¿ [ t=10 [ ¿ ta có phương trình t2 – 6t – 40 =0 [t=−4 Đặt 0,25 x2 t=10 ⇔ =10⇔ x2 −10 x +30=0 x −3 vô nghiệm; 0,5 0,25 x =−4 ⇔ x +4 x −12=0 ⇔¿ [ x=2 [ ¿ x −3 [ x=−6 Vậy tập nghiệm phương trình S= {−6 ;2 } t=−4 ⇔ Nhân hai vế phương trình (2) với 3, ta Trừ hai phương trình (1) (3) vế theo vế, ta được: vào (3), ta Thế Với Với Vậy ( x; y) = (2; 1), (1; 2) (3) Ta có: Mà x , y ∈ Z +⇒ 0< xy ≤ ⇒ xy=1 ⇒ x= y =1 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (x, y) = (1;1) Ta có 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 Th1: Trước hết ta chứng minh Ta có : Do từ (*) ta có : 0,5 Th2: Chứng minh Ta có Do từ ta có : Từ (1) (2) kết hợp với 0,5 0,5 x C H K D I A M B 1.Xét Δ AHB Δ BHC có: AHB = ^ BHC (do BH¿ AC) +) ^ HAB = ^ HBA ) HBC ( phụ với ^ +) ^ Δ BHC (g.g) ⇒ Δ AHB HA HB = ⇒ HA HC =HB ⇒ HB HC Giả sử đường thẳng CI cắt HD AB điểm M’ 2,0 K *Áp dụng hệ định lý Ta lét vào tam giác: CAM’, CM’B với HD // AB, ta có: HK CK KD CK HK KD = = = ' ' ' ' ' AM CM , BM CM ⇒ AM BM ' (1) 0,5 HK KI KD KI HK KD = ' = = ' ' , ' M B IM , AM IM ⇒ M B AM ' (2) 0,5 *Áp dụng hệ định lý Ta lét vào tam giác: IAM’, IM’B với HD // AB, ta có: Từ (1) (2) suy ra: HK HK KD KD M ' B AM ' ' : = : ⇒ = ⇒ AM =M ' B ⇒ AM ' =BM ' ' ' ' ' ' ' AM M B M B AM AM M B ⇒ M’ ⇒ trung điểm AB Mà M trung điểm AB (gt) ’ M trùng với M Vậy điểm C, I, M thẳng hàng MI CH AB MI HA BM HA AB HA =1 ⇒ = = = IC CH AB CH AB CH Ta có: IC HA BM HA CH HB AB = = BM = 2 ; Theo câu a: HA CH=HB ) CH 2CH (1) ( Vì : HB AB = Δ BHC nên HC BC (2) Mà Δ AHB Từ (1) (2) suy MI AB a2 MI a2 = = ⇒ = IC BC 2 x MC a2 +2 x 0,5 0,5 0,5 0,5 S IAB Suy S CAB = IM a2 ax = S = AB BC= MC a +2 x Mà CAB 2 a x ⇒ S IAB = = a +2 x a a a 0,5 a ≤ = = √ a √2 a2 a +2 x x x x 2 a a a =2 x ⇔ x = ⇔ x= √2 Dấu „=” xảy khi: x ( √ ) BC= Vậy Khi C tia Bx cho Với số không âm thỏa mãn 0,5 a a S IAB = √2 √ giá trị lớn Ta có : 0,5 0,25 Cộng theo vế (1), (2) (3) ta : 0,5 Dấu xảy : 0,5 Vậy hoán vị 0,25