PHÒNG GD&ĐT QUẬN SƠN TRÀ PHÒNG GD&ĐT KIM THÀNH TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 8 Năm học 2022 2023 Môn Toán Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thàn[.]
PHÒNG GD&ĐT KIM THÀNH TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP Năm học 2022-2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 2) Cho xyz = Tính giá trị biểu thức: Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử: Áp dụng tìm x biết: 2) Tìm số dư phép chia đa thức: cho đa thức Câu (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số tự nhiên Chứng minh A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 số phương (Số phương bình phương số tự nhiên) 2) Tìm số nguyên x y thỏa mãn 3xy + 2y – 2x + = Câu (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M N Chứng minh rằng: 1) AM = BF; 2) Tứ giác AEMD hình chữ nhật; 3) Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ với HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm a) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 0,25 = (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15 2 0,25 = [(x + 4x -1) – 4][(x + 4x – 1) + 4] + 15 Tổng điểm = (x + 4x – 1) – 16 + 15 0,25 1,00 = (x + 4x – 1) – 2 = (x + 4x – 2)(x + 4x) 0,25 = x(x + 4)(x + 4x – 2) 0,25 Thay xyz = biểu thức P ta có: 0,25 1,00 0,25 Vậy P = Phân tích đa thức thành nhân tử: 0,25 0,25 Ta có 0,25 (*) 1,00 Tìm x biết: 0,25 Ta có: Vì = 0; KL: x = -2 (Theo (*)) = vô nghiệm 0,25 0,25 1,00 Đặt x2 + 5x + = t Ta có P = (t – 13)(t - 1) + 2023 P = t2 – 14t +13 + 2023 0,25 0,25 P = t2 – 14t + 2036 Do chia P = t2 – 14t + 2036 cho t ta có số dư 2036 1) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 A = 4(a2 + ab + ac)(a2 + ac + ab + bc) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = t Ta có A = 4t(t + bc) + b2c2 A = 4t2 + 4t.bc + b2c2 A = (2t + bc)2 = [2(a2 + ab + ac) + bc]2 = (2a2 + 2ab + 2ac + bc)2 Vì a, b, c số tự nhiên nên A số phương 1) 3xy + 2y – 2x + = (3x + 2)y = 2x – 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 y số nguyên 3y số nguyên Để 3y nhận giá trị số nguyên chia hết cho 3x + 0,25 Hay Với x = -1 y = 3; với x = -3 y = Vậy A E B M C 1,00 0,25 H F D N 4.1 Xét ADM BAF có: AD = AB (cạnh hình vng) (cùng phụ với góc HAB) Do ADM = BAF (g.c.g) 0,25 0,25 0,25 1,00 Suy AM = BF (2 cạnh tương ứng) Do ADM = BAF (g.c.g) chứng minh câu a Suy DM = AF (2 cạnh tương ứng) Mà DM // AF (Do AB//CD, E thuộc AB, M thuộc CD) 4.2 Suy AEMD hình bình hành Mặt khác (Do E thuộc AB) Do tứ giác AEMD hình chữ nhật 4.3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì AD//CN 0,25 Vì MC//AB 0,25 Suy (Vì CM2 + CN2 = MN2 1,00 0,25 1,00 theo Định lý Pytago áp dụng tam giác vuông CMN) Suy 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Vậy P đạt giá trị nhỏ (thỏa mãn) 0,25