PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 2023 Môn TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài 150 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,.
UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2022-2023 Mơn: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( b − c ) + b4 ( c − a ) + c ( a − b ) 2) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c b a c + + = + + Tính giá trị b c a a c b biểu thức sau: P = ( a − b )( b − c )( c − a )( a + 2b + 3c ) 2022 + 2023 Câu 2: (2,0 điểm) x −1 x − 2x + =0 1) Giải phương trình: − + x−3 x+2 x−3 2 2) Đa thức f ( x ) chia cho x + dư 4, chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia đa thức f ( x ) cho ( x + 1) ( x + 1) Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn: x + y + xy − x − y = 2) Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n + n2 + 16 số nguyên tố n chia hết cho Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Các đường cao AD, BE, CF cắt điểm H AH BH CH 1) Chứng minh: + + =2 AD BE CF 2) Gọi M trung điểm AC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với HM, đường thẳng cắt AB, BC P, Q Chứng minh AM.BQ = AH.BH 3) Chứng minh MPQ tam giác cân Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b2 + c abc a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P = + + a + bc b + ca c + ab Hết -* Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2022-2023 Mơn: TỐN - LỚP (Hướng dẫn gồm 05 câu, 05 trang) Đáp án Ý Điểm = a ( b − c ) − b4 ( a − b + b − c ) + c ( a − b ) = a ( b − c ) − b4 ( a − b ) − b4 (b − c ) + c ( a − b ) = ( b − c ) ( a − b4 ) − ( a − b ) (b4 − c ) = ( b − c )( a − b )( a + b ) ( a + b ) − ( a − b )( b − c )( b + c ) ( b + c ) = ( a − b )( b − c ) ( a + ab + a 2b + b3 − b3 − bc − b 2c − c ) = ( a − b )( b − c ) ( a − c ) ( a + ac + c ) + b ( a − c ) + b ( a − c )( a + c ) = ( a − b )( b − c )( a − c ) ( a + b + c + ab + bc + ca ) Câu (2 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Với a, b, c , ta có: a b c b a c + + = + + b c a a c b a b c b a c a − c a2 − c2 b ( a − c ) + + − − − =0 − + =0 b c a a c b b ac ac 1 a+c b + = (a − c) ( ac − ab − bc + b ) = (a − c) − ac ac b ( a − c ) a ( c − b ) − b ( c − b ) = ( a − c )( c − b )( a − b ) = P = ( a − b )( b − c )( c − a )( a + 2b + 3c ) 0,25 0,25 0,25 2022 = + 2023 = 2023 + 2023 0,25 ĐKXĐ: x −2 , x x −1 x + x −1 = x + x −3 x −3 Câu2 Đặt a = x − ; b = x + ab = x − (2điểm) x+2 x −3 x −3 Ta có : 0,25 Khi ta có phương trình : a − ( 2b ) + 3ab = a + 3ab − 4b = 0,25 a = b ( a − b )( a + 4b ) = a = −4b Trường hợp 1: x −1 x + 2 a=b = x − x + = ( x + ) −4 x + = x + x+2 x−3 −1 8x + = x = (t / m) Trường hợp 2: x − −4 x − a = −4b = x − x + = −4 x − 16 x − 16 x+2 x−3 0,25 59 x + 12 x + 19 = x + + =0 5 2 59 59 x R phương trình Do 5. x + + 5 0,25 59 = vô nghiệm x+ + 5 −1 Vậy PT có nghiệm x = x + y + xy − x − y = ( x + y − 1) + y = Do y 4; ( x + y − 1) 0;4 y x, y; ( x + y − 1) ,4 y số 2 4 y = phương nên ( x + y − 1) = y =1 y = y = + TH1: x + y − = x + = x = (t/m) ) ) x = −2 ( ( +) TH2: y = −1 y = −1 y = −1 x = 2 ( x + y − 1) = ( x − 3) = x = (t/m) Vậy cặp số nguyên ( x; y ) ( 0;1) ; ( −2;1) ; ( 2; −1) ; ( 4; −1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Theo định lí Bê-du ta có: f(x) chia x+1 dư f(-1)=4 Câu3 Do bậc đa thức chia ( x + 1) ( x + 1) nên đa thức dư có dạng (2điểm) ax2 + bx+c 0,25 Gọi thương phép chia f(x) cho ( x + 1) ( x + 1) Q(x), ta có: f(x) = (x+1)(x2 +1).Q(x) + ax2 + bx+c =(x+1)(x2 +1).Q(x) + ax2 +a - a + bx+c =(x+1)(x2 +1).Q(x) + a(x2 +1) - a + bx+c = [(x+1).Q(x) + a](x2 +1) + bx+ c - a b = Vì f(x) chia cho x2 +1 dư 2x+3 (1) c − a = 0,25 Mặt khác f(-1)=4 a - b+ c = (2) Từ (1) (2) a = ; b = 2; c = 2 Vậy đa thức dư là: x2 +2x + 2 Ta có với số nguyên m m chia cho dư ; + Nếu n chia cho dư n = 5k + n + = 5k + 5; k * nên n + không số nguyên tố ( loại) + Nếu n chia cho dư n = 5k + n + 16 = 5k + 20 5; k * 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 nên n2 + 16 không số nguyên tố ( loại) Vậy n hay n chia hết cho (đpcm) -Vẽ hình phần a) 0,25 A E P Câu4 (3điểm) M F B 0,25 H C D Q 1 BC AH ( BD + DC ) AH AH 2 = = AD BC AD BC AD 2 1 BD AH + CD AH S + S ACH =2 = ABH S ABC BC AD BH S ABH + S BCH CH S ACH + S BCH = ; = BE S ABC CF S ABC AH BH CH S ABH + S ACH S ABH + S BCH S ACH + S BCH + + = + + AD BE CF S ABC S ABC S ABC ( S ABH + S ACH + S BCH ) = = ( DPCM ) S ABC 0,25 0,25 0,25 Ta có AHM + AHP = PHM = 900 (Vì PH ⊥ MH ) BQH + DHQ = 900 ( Vì DHQ vng D) 0,25 Mà AHP = DHQ (2 đối đỉnh) AHM = BQH Ta có: HBQ + BCA = 900 (Vì tam giác BEC vuông E) HAM + BCA = 90 (Vì tam giác ADC vng D) HBQ = HAM Xét AMH BQH có: HBQ = HAM AHM = BQH (cmt) AMH ∽ BHQ( g.g ) AM AH = AM BQ = AH BH (đpcm) BH BQ BQH = AMH Vì AMH ∽ BHQ(cmt ) AM MH mà AM =CM BH = QH CM MH BH QH = = (1) BH QH CM MH CMTT: BHP ∽ CMH ( g.g ) BH PH = (2) CM MH PH QH = MH MH PH = QH H trung điểm PQ Từ (1) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét PMQ có MH đường trung tuyến đồng thời đường cao PMQ cân M 0,25 Ta có với x, y > thì: ( x+y)2 4xy 1 11 + + (*) x y x+ y x + y 4 x y Dấu "=" xảy x = y Áp dụng bất đẳng thức ta được: a a 1 a a2 + = + = + a + bc a bc a bc a abc Kết hợp với giải thiết a + b2 + c abc ta được: a a2 a2 + + 2 2 a + bc a abc a a + b + c Câu5 (1điểm) Tương tự ta có: b 11 b2 c 11 c2 + ; + 2 2 2 b + ca b a + b + c c + ab c a + b + c 0,25 0,25 0,25 a b c 1 1 + + + + + 1 a + bc b + ca c + ab a b c Mặt khác dễ chứng minh được: a + b + c ab + bc + ac ab + bc + ac ab + bc + ac 1 = + + a + b2 + c abc a b c 0,25 a b c 1 1 1 P= + + + + + 1 = a + bc b + ca c + ab a b c Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy GTLN biểu thức P a = b = c = Chú ý: Nếu học sinh giải cách khác chấm điểm phần tương ứng 1