PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MƠN: TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 Bài (5,0 điểm): a) Cho Tính giá trị biểu thức b) Phân tích đa thức thành nhân tử c) Xác định số hữu tỷ p q để đa thức Bài (2,5 điểm): chia hết cho đa thức Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị biểu thức C Bài (3,0 điểm): a) Giải phương trình: b) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức Bài (3,0 điểm): a) Chứng minh chia hết cho với b) Trong 43 học sinh làm kiểm tra, khơng có học sinh bị điểm 2, có học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) c) Cho hai số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Bài (5,0 điểm): Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGK Chứng minh rằng: a) AK = BC b) AK BC c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui Bài (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự AB = CD Cho M điểm khơng nằm đường thẳng AB Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .Số báo danh Chữ ký giám thị PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP I Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác mà đủ bước cho điểm tối đa 2) Điểm toàn tổng điểm ý, câu không làm tròn II Đáp án thang điểm: Bài Câu Nội dung trình bày Điểm Bài (5,0 điểm): a) Cho Tính giá trị biểu thức b) Phân tích đa thức thành nhân tử c) Xác định số hữu tỷ p q để đa thức chia hết cho đa thức a) 0,5x3 (1.5đ) 1,0 b) (2.0đ) 0,5x2 0,5 Gọi thương chia có: (5.0đ) cho Q(x) Do dư nên ta 0,25 c) (1.5đ) Hay Vì đẳng thức với x nên cho ta được: 0,75 Vậy với p= -7; q= -6 Bài (2,5 điểm): chia hết cho Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị biểu thức C ĐKXĐ: 0,25 a) 1.25 (1.5đ) (2.5đ) Ta có b) Với 0,25 , ta có: (1.0đ) 0,25x2 Vậy 0,25 Bài (3,0 điểm): a) Giải phương trình: b) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức Bài a) (3.0đ) (1,5đ) 0,5 0,5 mà 0,25x2 Vậy tập hợp nghiệm phương trình 0,25 0,25x2 b) (1,5đ) (Vì x nguyên dương nên 2x + ≥ 3) 0,25x2 Vậy cặp số nguyên dương (x; y) = (2; 1) 0,25 Bài (3,0 điểm): a) Chứng minh chia hết cho với b) Trong 43 học sinh làm kiểm tra, học sinh bị điểm 2, có học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) c) Cho (3.0đ) hai số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có a) (1.0đ) Vì Nên 0,5 0,25 hay Vì có 43 học sinh làm kiểm tra, khơng có học sinh bị điểm (1.0đ) 2, có học sinh đạt điểm 10 Nên có 41 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) 0,25 b) Giả sử loại điểm điểm khơng q học sinh lớp có: 0,5 0,25 5.8 = 40 học sinh, học sinh so với 41 Theo nguyên lý Dirichlet tồn học sinh có điểm kiểm tra 0,25 0,5 c) (1.0đ) Vì Nên GTLN P 32, đạt 0,5 Bài (5,0 điểm): Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGK Chứng minh rằng: a) AK = BC b) AK BC c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui (5,0đ) HV Chứng minh: AK = BC Xét AEK BAC, có: a) (2.0đ) 0,75 EA = AB (gt); EK = AC (=AG) (vì bù với ) 0,75 AEK = BAC (c.g.c) AK = BC (hai cạnh tương ứng) (đpcm) b) (2.0đ) 0,5 Chứng minh: AK BC Gọi H giao điểm AK BC 0,75 Ta có (so le trong, EK // AG) (vì AEK = BAC) Mặt khác: 0.75 Vì AHC, có (cmt) AHC vng H AH BC hay AK BC (đpcm) 0,5 Chứng minh: Các đường KA, BF, CD đồng qui Gọi I giao điểm CK BF Chứng minh: AKC = CBF (c.g.c) c) (1.0đ) mà 0,5 ICF vuông I BF KC Chứng minh tương tự: CD KB 0,25 Vì KA, BF, CD ba đường thẳng chứa ba cao KBC nên ba đường thẳng đồng qui (đpcm) 0,25 Bài (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự AB = CD Cho M điểm khơng nằm đường thẳng AB Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC (1.5đ) HV Chứng minh: MA + MD > MB + MC Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Ta có AB = CD (gt) I trung điểm đoạn thẳng AD Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua I NA = MD, NB = MC 0,5 0,5 MA + MD = MA + NA = MA + EA + EN mà MEA có MA + EA > ME (BĐT tam giác) ME = MB + BE 0,25 MA + MD > MB + BE + EN mà BEN có BE + EN > NB (BĐT tam giác) MA + MD > MB + NB 0,25 MA + MD > MB + MC (đpcm)