PHÒNG GIÁO DỤC YÊN THÀNH ĐỀ THI HSG CỤM TRƯỜNG LẦN 1 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN THI TOÁN 8 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) 1 Cho biểu thức Tìm điều kiện xác định và Rút gọn[.]
PHÒNG GIÁO DỤC YÊN THÀNH ĐỀ THI HSG CỤM TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2022 - 2023_MƠN THI: TỐN (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: Tìm điều kiện xác định Rút gọn biểu thức Q Tìm số hữu tỉ x để biểu thức P = có giá trị số nguyên dương Câu (6,0 điểm) a) Chứng minh chia hết cho 30 với n Ỵ N b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thoả mãn phương trình: x2 – 25 = y (y + 6) c) Giải phương trình ( x2 + x)2 +4(x2 + x) = 12 Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b) Cho Chứng minh rằng: Câu (7,0 điểm ) Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 2 Cho 17 điểm nằm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Nối điểm lại đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ vàng Chứng minh tồn tam giác có cạnh màu HẾT ĐÁP ÁN Câu Ý a 4đ 2.5đ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ Đáp án Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b 1.5 đ 0,75 Ta có P = Mà P nguyên dương nên P = 1; P= +) Với P = +) Với P = => x = - T/m 0,75 6đ a 2đ n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) 0,25 = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) 0,5 Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) 0,5 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n - 1) chia hết cho 0,5 (**) Từ (*) (**) suy điều phải chứng minh 0,25 b 2đ 0,5 0,25 Ta có bảng sau: x-y -1 11 -5 19 +y -7 -11 -1 -5 13 -19 -2 -13 0,5 -4 0,75 Vậy cặp số nguyên phải tìm là: (4;-3), (-4;-3), (5;0), (-5;-6), (5;-6), (-5;0) c 2đ 3đ a 1,5 đ Đặt x2 + x = t phương trình cho trở thành: t2 +4t -12 = (t – 2)(t + 6) = =>Tìm t = -6 t = + t = -6 x2 + x = -6 ( x + 1/2 )2 + 23/4 = ( phương trình vơ nghiệm) +t=2 x2 + x = (x -1)(x +2) = =>x = x = -2 Vậy tập nghiệm phương trình S = 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 A = = Đặt y = 0,5 => A = y2 - 2y + = (y - 1)2 + 2 0,5 => A = b 1,5 đ y=1 => x = 0,5 Vậy A = x = Ta có: = 0,5 0,5 Mà a + b = => => 0,25 Dấu “=” có a = b = 0,25 A 7đ E B K 1a 2,0 đ Q H F P D M N C + Xét tứ giác AEMF có nên tứ giác AEMF hình chữ nhật => AE = FM + Tam giác DFM vuông cân F => FM = DF => AE = DF => dễ dàng chứng minh ADE = DCF (c-g-c) suy DE = CF ( hai cạnh tương ứng) 1b 2,0đ 0,5 0,5 0,75 0,25 + Vì tứ giác AEMF ( cmt) => AF = EM + Tam giác EBM vuông cân E => EB = EM => AF = EB 0,5 => ABF = BCE ( c-g-c) => ABF = BCE => ABF + CBF = BCE + CBF = 900 nên BF vng góc CE K ( với K giao điểm CE BF 0,5 ) + Từ ADE = DCF (cmt) , chứng minh tương tự ta 1c 2đ có DE vng góc với CF + Gọi H giao điểm BF DE, suy H trực tâm tam giác CEF => CH vng góc với EF 0,5 +Gọi N giao điểm BC MF Ta chứng minh CN = DF = FM MN = EB = EM => FEM = CMN (c-g-c)=> EFM = MCN Gọi giao điểm CM EF Q => NMC = QMF từ ta dễ dàng chứng minh CM vng góc với EF Q Suy đường thẳng DE, BF, CM đồng quy H 0,5 Ta chứng minh hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a 0,5 khơng đổi 0,5 => ME + MF = a không đổi SAEMF = ME.MF lớn ME = MF Mà ME = MF tứ giác AEMF hình vng 0,5 Hay M trung điểm BD Khi ta dễ dàng chứng minh tứ giác AEMF có diện tích 0,5 lớn 1đ a2 +Ta có 16 đoạn nối điểm A + Vì 16 = 5.3 +1 nên có cạnh tơ màu, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AH màu đỏ +Xét đoạn thẳng với mút điểm B, C, D, E, F, H +Nếu tồn cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ ta thu tam giác ABC có cạnh màu đỏ +Nếu tất có màu xanh, màu vàng tồn tam giác màu Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25