Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán – Lớp 8 THCS Thời gian làm bài 120 Phút Đề thi gồm 01 trang Câu 1 (4,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn b[.]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn – Lớp: THCS SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH Thời gian làm bài: 120 Phút Đề thi gồm: 01 trang Câu (4,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức: 2) Cho số thực thoả mãn Câu (4,0 điểm) 1) Biết đa thức chia cho thương cịn dư Tính 2) Tính giá trị biểu thức: Tìm tất giá trị số tự nhiên dư , chia cho dư , chia cho để biểu thức có giá trị số phương Câu (3,0 điểm) 1) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 2) Giải phương trình: Câu (7,0 điểm) Cho tam giác Gọi nhọn Các đường cao trung điểm đoạn thẳng vng góc với đường thẳng tam giác điểm đối xứng qua cắt Kẻ 1) Tính số đo 2) Gọi Gọi giao điểm chân đường vng góc kẻ từ Chứng minh rằng: a) Ba điểm đến đường thẳng thẳng hàng b) 3) Tia phân giác đường thẳng Chứng minh đường thẳng Câu (2,0 điểm) 1)Xét biểu thức cắt kẻ đường thẳng qua cắt đường thẳng Gọi qua trung điểm đoạn thẳng hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện vng góc với đường thẳng trung điểm đoạn thẳng Tìm giá trị lớn 2) Một hộp đựng 99 thẻ màu vàng, 100 thẻ màu đỏ 101 thẻ màu xanh Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ sau: lần rút thẻ người ta lấy hai thẻ khác màu thay vào hai thẻ có màu cịn lại, q trình diễn liên tục Hỏi đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu hay khơng? Hãy giải thích sao? Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2: Câu Đáp án Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức Điểm (2,0) Điều kiện xác định 0,25 1.1 (2,0 đ) 0,25 Tìm điều kiện kết luận 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy với 1.2 (2,0đ) Cho số thực thoả mãn thức: Kết hợp Tính giá trị biểu (2,0) ta 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Nếu 0,25 0,25 Tương tự 0,25 thoả mãn Vậy với Biết đa thức thương chia cho dư , chia cho cịn dư Tính dư , chia cho (2,0) chia cho dư 0,25 chia cho dư 0,25 chia cho thương dư 0,25 (1) 2.1 (2,0đ) Từ (1) 0,25 0,25 tìm 0,25 Suy 0,25 0,25 2.2 Tìm tất giá trị số tự nhiên (2,0đ) để biểu thức có giá trị (2,0) số phương 0,25 0,25 - Xét số phương 0,25 - Xét số phương 0,25 - Xét ta thấy số phương, 0,25 0,25 Suy Mà phương (**) số phương liên tiếp Từ (*) (**) suy Vậy số khơng số phương với 0,25 có giá trị số phương Tìm tất nghiệm ngun phương trình Ta có 0,25 (1) với Từ (1) 3.1 (1,5đ) Mà (1,5 ) với 0,25 0,25 (2) (2) suy 0,25 nguyên nên Thay vào (*) ta được: 0,25 0,25 Với Với 0,25 ; Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (1,5đ) 3.2 Giải phương trình (1,5đ) Điều kiện xác định 0,25 Phương trình viết lại 0,25 0,25 Đặt Phương trình trở thành , 0,25 TH1: TH2: 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Cho tam giác cắt qua Kẻ nhọn Gọi Các đường cao tam giác trung điểm đoạn thẳng vng góc với đường thẳng điểm đối xứng 1) Tính số đo 2) Gọi chân đường vng góc kẻ từ Gọi giao điểm a) Ba điểm đến đường thẳng Chứng minh rằng: (7,0) thẳng hàng b) 3) Tia phân giác đường thẳng đoạn thẳng cắt đường thẳng kẻ đường thẳng qua cắt đường thẳng Chứng minh đường thẳng vng góc với Gọi trung điểm qua trung điểm đoạn thẳng A K M N L H S V B R C O D E F Tính số đo Vì 2,0 đối xứng với qua nên trung điểm Chứng minh tứ giác hình bình hành Chứng minh tứ giác hình chữ nhật trung điểm 4.1 (2,0đ) Vì 0,25 0,25 0,25 0,25 đường cao vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng 0,25 0,25 Xét có đường trung tuyến vuông 0,25 Gọi 4.2 (3,0đ) 4.2a (1,25đ) chân đường vng góc kẻ từ Gọi giao điểm a) Ba điểm 0,25 thẳng hàng đến đường thẳng Chứng minh rằng: 3,0 b) Chứng minh 0,25 0,25 Chứng minh 0,25 (1) (2) Chứng minh tương tự ta Từ (1) (2) suy điểm 0,25 thẳng hàng 0,25 Gọi V giao điểm KR BM Chứng minh 0,25 (3) Vì 0,25 (4) Từ (3) (4) 4.2b Chứng minh tứ giác (1,75đ) Vì nên có Xét 0,25 hình chữ nhật, suy 0,25 tia phân giác đường phân giác 0,25 (5) Chứng minh MC đường phân giác góc ngồi 0,25 (6) 0,25 Từ (5) (6) Tia phân giác 4.3 (2,0đ) đường thẳng điểm đoạn thẳng thẳng cắt đường thẳng kẻ đường thẳng qua cắt đường thẳng Chứng minh đường thẳng vng góc với , gọi trung qua trung điểm đoạn 2,0 A T X B O C I J G Q Y P U Gọi giao điểm với U, giao điểm với Kẻ đường thẳng qua O song song với AC cắt Chứng minh cân A trung điểm trung điểm và lần lượt và 0,25 0,25 Xét có Xét có Xét có Xét có Xét có 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy , Xét trung điểm trung điểm Xét 0,25 có trùng với qua hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện 0,25 Tìm giá trị lớn 1,0 biểu thức 0,25 5.1 (1,0đ) Ta có (do ) Chứng minh tương tự 0,25 0,25 0,25 Dấu “=” xảy Vậy giá trị lớn 5.2 Một hộp đựng 99 thẻ màu vàng, 100 thẻ màu đỏ 101 thẻ màu (1,0đ) xanh Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ sau: lần rút thẻ người ta lấy hai thẻ khác màu thay vào hai thẻ có màu cịn lại, q trình diễn liên tục Hỏi đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu hay khơng? Hãy giải thích sao? Ta thấy 99 chia cho dư 0, 100 chia cho dư 1, 101 chia cho dư 2, số lượng thẻ loại chia cho số dư khác 0, 1, Sau lần rút thẻ, số lượng thẻ loại hộp giảm tăng thêm Khi số dư chúng chia cho thay đổi sau: Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Do sau lần rút thẻ, số thẻ loại hộp chia cho có số dư khác 1,0 0,25 0,25 0, 1, Giả sử đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu số thẻ màu cịn lại 0, số dư chúng chia cho 0, điều mâu thuẫn với kết luận Vậy nhận thẻ hộp có màu Chú ý: - Nếu thí sinh làm mà cách giải khác với đáp án phù hợp kiến thức chương trình THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm trịn Hết 0,25 0,25