Đang tải... (xem toàn văn)
HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2021 2022 Thời gian làm bài 150 phút (Đề bài gồm 05 câu, 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn Toán lớp 8 Năm học 2021 2022 Thời gi[.]
HẢI DƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC MƠN: TỐN - LỚP Năm học: 2021 - 2022 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) (x + x) ổ x +1 - x2 ữ ỗ P= :ỗ + + ữ ữ ỗ ữ (x - 2x +1) è x x - x - xø 1) Rút gọn biểu thức: với x ¹ 0; ±1 2) Cho a, b, c số hữu tỉ khác thoả mãn: a + b + c = 1 + + 2 (b - 1) (c - 1) bình phương số hữu tỉ Chứng minh rằng: (a - 1) Câu (2,0 điểm) 4x x + =12 (x 2) 1) Giải phương trình: 2) Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x – dư 2, f(x) chia cho x + dư 9, cịn f(x) chia cho x2 + x – 12 thương x2 + cịn dư Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để (n2 – 8)2 + 36 số nguyên tố 2) Tìm số nguyên x, y cho: x2 – 2xy – 3y2 = 3x – y + Câu (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm AC với BD I giao điểm AD với BC Gọi M, N trung điểm AB CD OA+OB IA+IA = 1) Chứng minh: OC+OD IC+ID 2) Chứng tỏ rằng: I, M, O, N thẳng hàng 3) Gọi K điểm di động đường chéo BD Chứng minh: KA.BD ≤ KB.AD + KD.AB Câu (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu P x y 3x y thức -Hết -(Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay) Họ tên thí sinh ………………………………… ……………Số báo danh………… …… Chữ kí giám thị 1………………………………Chữ kí giám thị 2…………………… …… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học 2021-2022 ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Câ u Nội dung ý (x + x) æ x +1 - x2 ữ ỗ P= :ỗ + + ữ ữ ỗ ữ x 0, x (x - 2x +1) è x x - x - xø với 2 x( x +1) æ x - 1+ x + - x ö x(x +1) x.( x - 1) ữ ỗ P= : = ữ ỗ ữ ữ ( x - 1) x +1 (x - 1) ỗ x (x - 1) è ø 0,5 x x- Đặt a – = x, b – = y, c – = z 1 1 1 + + = 2+ 2+ 2 2 (b - 1) (c - 1) x y z => x + y + z = (a - 1) = Điể m 0,5 0,25 1 ổ 1 1ử x + y +z ữ ỗ + + = + + ữ ỗ ữ x y2 z2 ỗ xyz ốx y z ứ 0,5 ổ1 1 =ỗ + + ữ ữ ç ÷ x + y +z =0 ç èx y z ø => đpcm 4x x2 + =12 (x - 2)2 (1) ĐK: x ≠ 0,25 2x 4x x 12 x 2 x 2 x2 x2 12 x x x2 Đặt x = t (2) Khi phương trình (2) trở thành : t - 4t – 12 = (t − 6)(t + 2) = Với t = −2 x = -2x + Û (x +1) = éx +1 = éx = - ê Û ê Û ê ê êx +1 =- ë êx =- - ë Đối chiếu điều kiện x ≠ x =± - thoả mãn toán 0,25 0,25 0,25 Với t = x = 6x - 12 Û (x - 3) =- (vơ lí) Vậy PT (1) có tập nghiệm S= { - 1;- } 5- Gọi đa thức thương phép chia đa thức f(x) cho x-3; x+4 P(x); Q(x) Khi ta có f (x) = (x - 3)P(x) + 2; " x (1) f (x) = (x + 4)Q(x) + 9; " x (2) Do (1) với x nên (1) với x = Thay x = vào (1) ta f(3) =2 Do (2) với x nên (1) với x = -4 Thay x = -4 vào (2) ta f(-4) = Vì đa thức f(x) chia cho x2 + x – 12 thương x2 + cịn dư Ta thấy đa thức chia có bậc nên dư phép chia có dạng ax + b Ta có f ( x ) = ( x + x – 12)( x + 3) + ax + b = ( x - 3)( x + 4) ( x + 3) + ax + b (3) với x Do (3) với x nên với x = 3; x =-4 Thay x = ; x = -4 vào (3) ta f ( 3) = 3a + b = ( 4) f ( - 4) =- 4a + b = ( 5) Từ (4) (5) trừ vế với vế ta 7a =- Û a =- Thay a = -1 vào (4) ta b = f ( x ) = ( x + x – 12)( x + 3) - x + = x + x – 9x + 2x – 31 Từ f x = x + x – 9x + 2x – 31 ( ) Vậy đa thức (n2 – 8)2 + 36 = n4 – 16n2 + 100 = (n2 + 10)2 – 36n2 = (n2 – 6n + 10)(n2 + 6n + 10) - Để (n2 – 8)2 + 36 số nguyên tố thì: n2 – 6n + 10 = n2 + 6n + 10 = 2 Û n =0 Û n =3 ( ) n 6n + 10 = Xét 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Khi (n2 – 8)2 + 36 = 37 số nguyên tố (thoả mãn) 2 Û n + = Û n =- (loại n số tự nhiên) ( ) n + 6n + 10 = Xét 0,25 Vậy n = thoả mãn toán x – 2xy – 3y = 3x – y + Û ( x – 3y)( x + y) = x - 3y + 2x + 2y + 0,25 Û ( x – 3y)( x + y) – ( x – 3y ) – ( x + y ) = 2 Û ( x - 3y)( x + y - 1) - 2(x + y - 1) = Û (x + y - 1)(x - 3y - 2) = 4(*) Do x, y số nguyên nên x + y – x – 3y – số nguyên thoả mãn(*) nên x + y – x – 3y – ước Ta có bảng sau: 0,25 x+y–1 x – 3y – x y nhận xét -1 nhận 9/2 1/2 loại -1 -4 -1/2 1/2 loại -4 -1 -2 -1 nhận 2 13/4 -1/4 loại Vậy x = 3, y = -1 x = -2, y = -1 -2 -2 -3/4 -1/4 loại 0,5 Xét tam giác OAB tam giác OCD có AB // CD OA OB AB OA OB OC OD CD OC OD (1) 0,5 Xét tam giác IDC có AB // CD IA IB AB IA IB ID IC CD IC ID (2) OA OB IA IA Từ (1) (2) suy OC OD IC ID 0,25 0,25 Gọi giao điểm IO với AB CD M’ N’ - Xét tam giác IDN’ có AM’ // DN’ - Xét tam giác ICN’ có BM’ // CN’ AM ' IM ' DN ' IN ' BM ' IM ' CN ' IN ' AM ' BM ' AM ' BM ' AB Suy ra: DN ' CN ' DN ' CN ' CD (3) AM ' OM ' ’ CN ' ON ' - Xét tam giác OAM’ có AM’//CN - Xét tam giác OBM’ có BM’//DN’ BM ' OM ' DN ' ON ' AM ' BM ' AM ' BM ' AB Suy ra: CN ' DN ' DN ' CN' CD (4) AM ' BM ' AM ' BM ' DN ' CN ' CN ' DN ' Từ (3) (4) suy ra: Suy AM’ = BM’ CN’ = DN’ 0,25 0,25 0,25 0,25 => M’ trung điểm AB N’ trung điểm CD => M’ trùng M N’ trùng với N => I, M, O, N thẳng hàng Trên tia AK lấy E cho BE // AD Xét tam giác AKD tam giác có BE // AD DK AD AK BK BE KE => DK.BE = AD.BK => KB.AD + KD.AB = DK.BE + DK.AB = DK(BE + AB) ≥ DK AE (*) 0,25 0,25 DK AK DK AK DK AK (cmt ) BK DK KE AK BD AE Do BK KE => DK.AE = BD.AK (**) Từ (*) (**) => KA.BD ≤ KB.AD + KD.AB 0.25 0,25 Chứng minh bất đẳng thức: a b 2 ab với a, b dương P 6x y 6x y 3x y xy 3x y 12 3x y 3x y Đặt t = 3x + y ≥ 2 xy 12 , đó: t t 5t t 5.12 11 P 2 t 16 t 16 t 48 y 3x x 2 x y 12 y 6 Dấu “=” xảy ( Vì x,y >0 ) 11 Vậy GTNN P x 2 y 6 - Học sinh làm theo cách khác tính điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25