PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ghi chú Đề thi này có 01 trang Thí sinh[.]
PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ghi chú: - Đề thi có 01 trang - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (2.0 điểm) Tìm số a, b cho đa thức chia hết cho đa thức Câu (2.0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Câu (2.0 điểm) Giải phương trình Biết a, b, c số khác thỏa mãn điều kiện a + b + c Câu (2.0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu (2.0 điểm) Tìm số nguyên x, y, z cho Câu (2.0 điểm) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC G, E, F Chứng minh rằng: Câu (2.0 điểm) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho Chứng minh biểu thức chia hết cho Câu (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N a) Chứng minh b) Biết ; Tính Câu (2.0 điểm) Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông tô màu đỏ xanh thỏa mãn: hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai màu đỏ Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có ô màu đỏ Hết Cán coi thi không giải thích thêm! HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2.0 điểm) Tìm số a, b cho đa thức thức chia hết cho đa Lời giải: Ta có: Vì chia hết cho chia hết cho x – x + Suy ra: (1) (2) Từ (1) (2) tính được: a = 1; b = Vậy: a = 1; b = Câu (2.0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Lời giải: Ta có: Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC a + b + c > a–b=b–c=c–a=0 a = b = c Vậy tam giác ABC Câu (2.0 điểm) Giải phương trình khác thỏa mãn điều kiện a + b + c Lời giải: ĐK: Ta có: số khác Biết a, b, c số (vì ) (vì ) Vậy phương trình cho có nghiệm: Câu (2.0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải: Gọi hai số phương liên tiếp Ta có: = = = = = = = Do n(n + 1) chẵn n(n + 1) + lẻ số phương lẻ (đpcm) Câu (2.0 điểm) Tìm số nguyên x, y, z cho Lời giải: (*) Đặt x – z = a; y – z = b (a, b nguyên) x – y = a – b (*) trở thành: số lẻ (1) +) TH1: a, b tính chẵn lẻ thì: a – b chẵn (a – b)3 chẵn; chẵn chẵn (loại) không tồn a, b nguyên thỏa mãn (1) không tồn x, y, z nguyên thỏa mãn (*) +) TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì: a – b lẻ (a – b)3 lẻ; lẻ chẵn (loại) không tồn a, b nguyên thỏa mãn (1) không tồn x, y, z ngun thỏa mãn (*) Tóm lại: Khơng tồn x, y, z nguyên thỏa mãn đề Câu (2.0 điểm) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC G, E, F Chứng minh rằng: Lời giải: A F O B K E G I Kẻ OI BC (I BC); AK BC (K BC) AKG có: OI // AK (cùng BC) (1) Lại có: (2) Từ (1) (2) suy ra: Tương tự: ; Do đó: (đpcm) (Hệ Ta-lét) C Câu (2.0 điểm) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho Chứng minh biểu thức chia hết cho Lời giải: M = = = = = Do (1) Mặt khác: nên số x, y, z có số chẵn Vì ba số lẻ x + y + z lẻ Trái với giả thiết 3xyz (2) Từ (1) (2) suy ra: Vậy M Câu (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N a) Chứng minh b) Biết ; Tính Lời giải: A M B O N D C a) Từ giả thiết đường thẳng qua O song song với đáy theo thứ tự Ta có: Xét cắt cạnh bên (Định lí Ta-lét) có: (1) (Hệ định lí Ta-lét) Xét có : (2) (Hệ định lí Ta-lét) Từ (1), (2) Chứng minh tương tự : Chứng minh được: Thay số ta được: Do : (đvdt) Câu (2.0 điểm) Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông tô màu đỏ xanh thỏa mãn: hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai màu đỏ Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có màu đỏ Lời giải: Ta chứng minh hình chữ nhật 1x3 có ô màu M đỏ N B A Giả sử hình chữ nhật có kích thước 1x3 có số ô màu đỏ khác Số ô màu đỏ hình chữ nhật 1x3 D C Xét hình chữ nhật 1x3 ABCD (hình vẽ): +) Nếu ABCD khơng có màu đỏ: E Do hình chữ nhật 2x3 ABFE có màu đỏ F hình chữ nhật 1x3 CDEF có màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 CDHG có màu đỏ hình chữ nhật 1x3 EFGH khơng có màu đỏ H G Q P Khi hình chữ nhật 2x3 ANPH BMQG có màu đỏ Trái với giả thiết +) Nếu ABCD có màu đỏ: Do hình chữ nhật 2x3 ABFE có màu đỏ hình chữ nhật 1x3 CDEF khơng có ô màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 CDHG có màu đỏ M N B X A hình chữ nhật 1x3 EFGH có màu đỏ Khi hình vng 3x3 ABGH có màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 ANPH BMQG có D C màu đỏ nên màu đỏ hình vng 3x3 ABGH phải vị trí hình vẽ Do hình chữ nhật 2x3 XYNP có màu đỏ E U F V hình chữ nhật 1x3 BXYG khơng có màu đỏ H Q P G Y đỏ) hình chữ nhật 2x3 MXUV có màu đỏ Trái với giả thiết Tóm lại: Hình chữ nhật 1x3 ABCD tùy ý có màu đỏ Vậy hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có số màu đỏ là: 674.2023 = 1363502 (ô _