033 đề hsg toán 8 nghi lộc 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm x để c) Xác định các giá[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _LỚP 8_NĂM HỌC 2022-2023  x3  x  x  16 x   16 P   : x 4 x   x  x  12 x  x x 8 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 P2 c) Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x  với x 1 nhận giá trị nguyên Bài (5,0 điểm) 2021 2019 a) Cho đa thức f  x  ax  bx  cx  với a, b, c số hữu tỷ Biết f    7 Tính f   b) Chứng minh với n  .n  A n  2n  2n  2n  không số phương 2 c) Cho 5a  2b 11ab với a 4a  5b b A  0, a  3ab tìm giá trị biểu thức Bài (3,0 điểm) a) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho n Chứng minh  a  b chia hết cho (với n  N ) b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh : a )ABC ∽ HAC , AE  AB b)HAM DAE c ) AM BM  AB.HM  AM BH Bài (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm ĐÁP ÁN  x3  x  x  16 x   16 P   : x 4 x   x  x  12 x  x x 8 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Điều kiện để P xác định :  x  0   x  0    x  0  x  x3  12 x  x 0   x 8   x  0    x 2  x  x   0   x 0   x 2 Với điều kiện :   x    x  x    x  x   x  x    x  x  x  12 x    P    2  16   x    x  x    x    x    x    x  x  16  x  x x  x     x( x  2)  16  x  2 e) Tìm x để P 1  x  x   1  x  x  0 P 1     x x   x  x        Để x  0;1  P 1 Vậy để   x 1  2(tm)   x 1(tm)  P2 f) Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x  với x 1 nhận giá trị nguyên P   x  x     x  2x    x x Ta có : x   x2  x  x    x   x x P2     x  1  U (3)  1; 3 Để x  số ngun x  Ta có bảng x x 1 3 2 ktm ktm tm ktm P2 Vậy x 4 x  số nguyên Bài (5,0 điểm) d) Cho đa thức f    7 f  x  ax 2021  bx 2019  cx  với a, b, c số hữu tỷ Biết Tính f   Ta có : f    a    2021  b    2019  c      f   a.7 2021  b.7 2019  c.7   f     f    10 Mà f    7  f    10   17 Vậy f    17 e) Chứng minh với n  .n  A n  2n  2n  2n  khơng số phương Ta có : A n  2n3  2n  2n  n  2n3  n  n  2n  n  n  2n  1   n  2n  1  n  2n  1  n  1 Do n  khơng số phương với n  0, n  N nên :  n  1 n  1 khơng số phương với n  0, n  N  n  2n3  2n  2n  không số phương với n  0, n  N 2 f) Cho 5a  2b 11ab với 2 Ta có : 5a  2b 11ab a 4a  5b b A  0, a  3ab tìm giá trị biểu thức  5a  10ab  ab  2b 0  5a  a  2b   b  a  2b  0  a 2b   a  2b   5a  b  0    5a b( ktm a  b  0)   A  2b   5b  2b   3.2b.b A 10 Vậy Bài (3,0 điểm)  8b  5b  2 4b  6b 10 c) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho n Chứng minh  a  b chia hết cho (với n  N ) Ta có:  a  1 6,  b  2007  6 *)   a  1 2,  b  2007  2  a  b  20082  a  b 2  4n  a  b 2 *)  a  1 3,  b  2007  3  a  b  20083  a  b  13  2008 1  2007    4n   a  b  13 4n    1  n   n    1  3  4n   4n    1 3 4n  a  b 2  4n  a  b 3   4n  a  b 6  dfcm   2,3 1  Vậy d) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  Ta chứng minh 1 1   4  x y với x  0, y   x  y  Thật vậy, theo BĐT Cô-si với x, y  x  y 2 xy  1 1 11 1      1    x  y     4  x, y      x y 4 x y   x y x y xy  Ta có : VT  1    a  b    a  c  ( a  b)   b  c   c  a    c  b  1 2  1 1            a b a c b c   a b a c b c  1 1 1 1 1 1 1  1 1                   4 a b c a b c 4 a b c  a b c Vậy BĐT chứng minh Dấu xảy a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh : B H I F M A D E C a )ABC ∽ HAC , AE  AB Xét ABC HAC ta có : BAC AHC 90  ABC ∽ HAC ( g g ) Chứng minh AE  AB Ta có : Gọi M trung điểm BE  DM  AM  BE BM ME  MBD cân M  MBD MDB  1 Và AHM DHM (c.c.c)  HAM MDB   Từ (1) (2) ta có MBD HAM Gọi I giao điểm BM , AH Xét BIH AIM có : MBD HAM (cmt ), BIH AIM (đối đỉnh)  BHI AIM 90  AM  BE  AM đường cao ABE  ABE cân A nên AE  AB b)HAM DAE Xét HAD vuông cân H  HAD HAM  MAD 45 Xét MAE vuông cân M nên MAE DAE  MAD 45 Vậy HAE DAE  45  MAD  c ) AM BM  AB.HM  AM BH Gọi F nằm cạnh AH cho AMF BMH Ta có : 90 AMB AMF  FMB BMH  FMB FMH  FMH vuông cân M Lại có , Xét AMF BMH ta có :   AM BM   BE    , MBD HAM AMF BMH (cách lấy điểm F),  AMF ∽ BMH ( g g )  AM BH  AM BF BM AF  3 Từ MF MH  MHF vuông cân M  MHF ∽ MAB (hai tam giác vuông cân đồng dạng)  HF MA  AB.MH  AB.HM BM HF   Từ (3), (4)  AB.HM  AM BH BM HF  BM AF BM  HF  AF  BM AH Vậy AB.HM  AM BH BM AH Bài (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm B A M Q P N C D Giả sử MN đường trung bình hình vng ABCD Trên MN lấy hai điểm P, Q cho MQ NP  MN Kẻ đường thẳng qua điểm Q cắt AB, DC R, S Ta có : S ARSD  AR  DS  AD AD , S BRSC  BR  SC  2 Do MQ, NG đường trung bình hình thang ARSD, BRSC AR  SD BR  SC MQ,  NQ 2 Nên Và S ARSD MQ AD, S BRSC  NQ AD  S ARSD MQ   S BRSC NQ Ta đường thẳng RS thỏa mãn đề Chứng minh tương tự ta có đường thẳng qua P thỏa mãn yêu cầu đề Suy đường trung bình có điểm nằm mà đường thẳng qua cắt hai cạnh hình vng thỏa mãn u cầu đề Mà hình vng có hai đường trung bình nên có điểm mà đường thẳng qua thỏa mãn tính chất Vì đường thẳng muốn thỏa mãn yêu cầu tốn phải qua điểm Lại có 2021 chia thương 505 dư Theo ngun lý Dirichlet, có 506 đường thẳng đồng quy số điểm Bài toán chứng minh  ... Lại có 2021 chia thương 505 dư Theo ngun lý Dirichlet, có 506 đường thẳng đồng quy số điểm Bài toán chứng minh