PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _LỚP 8_NĂM HỌC 2022-2023 x3 x x 16 x 16 P : x 4 x x x 12 x x x 8 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 P2 c) Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x với x 1 nhận giá trị nguyên Bài (5,0 điểm) 2021 2019 a) Cho đa thức f x ax bx cx với a, b, c số hữu tỷ Biết f 7 Tính f b) Chứng minh với n .n A n 2n 2n 2n không số phương 2 c) Cho 5a 2b 11ab với a 4a 5b b A 0, a 3ab tìm giá trị biểu thức Bài (3,0 điểm) a) Với a, b số nguyên dương cho a b 2007 chia hết cho n Chứng minh a b chia hết cho (với n N ) b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh 1 1 1 1 2a b c a 2b c a b 2c a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh : a )ABC ∽ HAC , AE AB b)HAM DAE c ) AM BM AB.HM AM BH Bài (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm ĐÁP ÁN x3 x x 16 x 16 P : x 4 x x x 12 x x x 8 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Điều kiện để P xác định : x 0 x 0 x 0 x x3 12 x x 0 x 8 x 0 x 2 x x 0 x 0 x 2 Với điều kiện : x x x x x x x x x x 12 x P 2 16 x x x x x x x x 16 x x x x x( x 2) 16 x 2 e) Tìm x để P 1 x x 1 x x 0 P 1 x x x x Để x 0;1 P 1 Vậy để x 1 2(tm) x 1(tm) P2 f) Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x với x 1 nhận giá trị nguyên P x x x 2x x x Ta có : x x2 x x x x x P2 x 1 U (3) 1; 3 Để x số ngun x Ta có bảng x x 1 3 2 ktm ktm tm ktm P2 Vậy x 4 x số nguyên Bài (5,0 điểm) d) Cho đa thức f 7 f x ax 2021 bx 2019 cx với a, b, c số hữu tỷ Biết Tính f Ta có : f a 2021 b 2019 c f a.7 2021 b.7 2019 c.7 f f 10 Mà f 7 f 10 17 Vậy f 17 e) Chứng minh với n .n A n 2n 2n 2n khơng số phương Ta có : A n 2n3 2n 2n n 2n3 n n 2n n n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 n 1 Do n khơng số phương với n 0, n N nên : n 1 n 1 khơng số phương với n 0, n N n 2n3 2n 2n không số phương với n 0, n N 2 f) Cho 5a 2b 11ab với 2 Ta có : 5a 2b 11ab a 4a 5b b A 0, a 3ab tìm giá trị biểu thức 5a 10ab ab 2b 0 5a a 2b b a 2b 0 a 2b a 2b 5a b 0 5a b( ktm a b 0) A 2b 5b 2b 3.2b.b A 10 Vậy Bài (3,0 điểm) 8b 5b 2 4b 6b 10 c) Với a, b số nguyên dương cho a b 2007 chia hết cho n Chứng minh a b chia hết cho (với n N ) Ta có: a 1 6, b 2007 6 *) a 1 2, b 2007 2 a b 20082 a b 2 4n a b 2 *) a 1 3, b 2007 3 a b 20083 a b 13 2008 1 2007 4n a b 13 4n 1 n n 1 3 4n 4n 1 3 4n a b 2 4n a b 3 4n a b 6 dfcm 2,3 1 Vậy d) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh 1 1 1 1 2a b c a 2b c a b 2c a b c Ta chứng minh 1 1 4 x y với x 0, y x y Thật vậy, theo BĐT Cô-si với x, y x y 2 xy 1 1 11 1 1 x y 4 x, y x y 4 x y x y x y xy Ta có : VT 1 a b a c ( a b) b c c a c b 1 2 1 1 a b a c b c a b a c b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b c 4 a b c a b c Vậy BĐT chứng minh Dấu xảy a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh : B H I F M A D E C a )ABC ∽ HAC , AE AB Xét ABC HAC ta có : BAC AHC 90 ABC ∽ HAC ( g g ) Chứng minh AE AB Ta có : Gọi M trung điểm BE DM AM BE BM ME MBD cân M MBD MDB 1 Và AHM DHM (c.c.c) HAM MDB Từ (1) (2) ta có MBD HAM Gọi I giao điểm BM , AH Xét BIH AIM có : MBD HAM (cmt ), BIH AIM (đối đỉnh) BHI AIM 90 AM BE AM đường cao ABE ABE cân A nên AE AB b)HAM DAE Xét HAD vuông cân H HAD HAM MAD 45 Xét MAE vuông cân M nên MAE DAE MAD 45 Vậy HAE DAE 45 MAD c ) AM BM AB.HM AM BH Gọi F nằm cạnh AH cho AMF BMH Ta có : 90 AMB AMF FMB BMH FMB FMH FMH vuông cân M Lại có , Xét AMF BMH ta có : AM BM BE , MBD HAM AMF BMH (cách lấy điểm F), AMF ∽ BMH ( g g ) AM BH AM BF BM AF 3 Từ MF MH MHF vuông cân M MHF ∽ MAB (hai tam giác vuông cân đồng dạng) HF MA AB.MH AB.HM BM HF Từ (3), (4) AB.HM AM BH BM HF BM AF BM HF AF BM AH Vậy AB.HM AM BH BM AH Bài (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm B A M Q P N C D Giả sử MN đường trung bình hình vng ABCD Trên MN lấy hai điểm P, Q cho MQ NP MN Kẻ đường thẳng qua điểm Q cắt AB, DC R, S Ta có : S ARSD AR DS AD AD , S BRSC BR SC 2 Do MQ, NG đường trung bình hình thang ARSD, BRSC AR SD BR SC MQ, NQ 2 Nên Và S ARSD MQ AD, S BRSC NQ AD S ARSD MQ S BRSC NQ Ta đường thẳng RS thỏa mãn đề Chứng minh tương tự ta có đường thẳng qua P thỏa mãn yêu cầu đề Suy đường trung bình có điểm nằm mà đường thẳng qua cắt hai cạnh hình vng thỏa mãn u cầu đề Mà hình vng có hai đường trung bình nên có điểm mà đường thẳng qua thỏa mãn tính chất Vì đường thẳng muốn thỏa mãn yêu cầu tốn phải qua điểm Lại có 2021 chia thương 505 dư Theo ngun lý Dirichlet, có 506 đường thẳng đồng quy số điểm Bài toán chứng minh