Giáo trình môn giải tích A2

MỤC LỤC Chương 1 . Tập hợp và lý thuyết số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Lớp tập hợp và dãy tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Khái niệm tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Giới hạn trên và giới hạn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 . Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Đại số và σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Định lý thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Độ đo trên R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Độ đo Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Độ đo Lebesgue trong không gian R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Độ đo Lebesgue-Stieltjes trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3 . Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 T ích phân Lebesgue của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i ii ✧ MỤC LỤC 3.1.2 T ính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Định nghĩa và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Hàm số tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 T ích phân Lebesgue của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 T ính chất cộng tính của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 T ích phân Lebesgue của hàm đo được bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.2 Các tính chất cơ bản của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.3 Các định lý về giới hạn của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 T ích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chương 4 . Tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1 Các khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Khái niệm tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số liên tục tuyệt đối . . . . . . 81 4.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm khả tích Stieltjes . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . 88 4.3 Độ đo tích và định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 5 . Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1 Khái niệm Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.2 Các ví dụ về không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Tập Đóng và Tập Mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.1 Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.2 Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.3 Tập trù mật. Không gian tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Không gian Đầy đủ và Không gian Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.1 Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.2 Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4 Hàm số Liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.1 Định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.2 Hàm liên tục trên một tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 MỤC LỤC ✧ iii Chương 6 . Không gian các hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1 Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.2 Khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 124 6.1.3 Sự hội tụ trong không gian vectơ định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 126 6.2 Không gian các hàm có luỹ thừa bậc p khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.1 Các bất đẳng thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.2 Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3.1 Khái niệm và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3.3 Không gian các toán tử L (X, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3.4 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 CHƯƠNG 1 TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC § 1. TẬP HỢP 1/ 1.1 Khái niệm và ký hiệu Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Một cách trực quan, ta có thể hiểu tập hợp là một nhóm các đối tượng bất kỳ. Thông thường tập hợp được gọi tắt là "tập”. Ta thường sử dụng các chữ cái in ký hiệu cho tập hợp: A, B, X, Y, . . . . Nếu một đối tượng x là phần tử của tập X, ta thường ký hiệu x ∈ X và đọc là x thuộc X. Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, và được ký hiệu là ∅. Một tập hợp A được gọi là bị chứa trong X hoặc là tập con của X, ta ký hiệu A ⊆ X hoặc X ⊇ A khi và chỉ khi tất cả các phần tử của A đều là phần tử của X. Ký hiệu A = B có nghĩa là A ⊆ B và B ⊆ A. Khi đó, ta nói A và B là hai tập bằng nhau. Phương pháp chính để xác định một tập hợp là chỉ ra điều kiện mà các phần tử thuộc tập đó thỏa mãn. Ký hiệu {x : P } có nghĩa đây là tập hợp của tất cả x thỏa mãn tính chất P. Ví dụ, {x : (x −4) 2 = 4} = {2, 6} = {6, 2}. Tuy nhiên, việc định nghĩa tập hợp qua điều kiện có thể dẫn tới những mâu thuẫn. Ví dụ, lấy R = {X : X ̸∈ X}. Khi đó R /∈ R suy ra R ∈ R và ngược lại (nghịch lý của Bertrand Russell). Chúng ta quy ước chung là dấu gạch chéo trên một ký hiệu có nghĩa là "không", chẳng hạn a ̸= b, có nghĩa "a không bằng b", ký tự "̸∈" có nghĩa "không phải là một phần tử của". Như vậy x /∈ A có nghĩa x không phải là một phần tử của A, như 3 ̸∈ {1, 2}. Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y, tích Des Cartes của chúng, ký hiệu X × Y là tập hợp 1 2 ✧ 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC của tất cả các cặp có thứ tự (x, y) với x thuộc X và y thuộc Y. Ta hiểu khái niệm cặp có thứ tự theo nghĩa: ( x, y) = (x ′ , y ′ ) nếu và chỉ nếu x = x ′ , y = y ′ . X ×Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}. Ví dụ 1.1. Với X = {x, y, z}, Y = (a, b), ta có X ×Y = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}; Y × X = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z)}. Tí ch Des Cartes của n tập hợp được định nghĩa và ký hiệu tương tự. Một ví dụ cơ bản của tích Des Cartes là R × R, được ký hiệu là R 2 , còn được gọi là mặt phẳng. 1/ 1.2 Các phép toán tập hợp Sau đây là các phép toán thông dụng đối với tập hợp. • Phép hợp. Ta gọi hợp của A và B là tập A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}, tương tự:  i∈I A i = {x : ∃i ∈ I, x ∈ A i }. • Phép giao. Giao hoặc tích của A và B là tập A ∩B = {x : x ∈ A và x ∈ B}, tương tự:  i∈I A i = {x : ∀i ∈ I, x ∈ A i }. • Phép trừ. Hiệu của A đối với B là tập A \B = {x : x ∈ A nhưng x /∈ B}. • Phép lấy phần bù. Phần bù của tập A là tập A c = X \ A = {x : x /∈ A}. • Hiệu đối xứng. Hiệu đối xứng của A và B là tập A△B = A \B + B \ A. Các phép toán tập hợp có một số tính cơ bản sau: • Tính giao hoán: A ∪B = B ∪ A ; AB = BA; A△B = B△A. • Tính kết hợp: (A ∪ B) ∪C = A ∪(B ∪ C); (AB)C = A(BC); A△(B△C) = (A△B) △C. • Tính phân phối: A(B ∪C) = AB ∪ AC; A ∪(BC) = (A ∪ B)(A ∪C); A(B△C) = (AB)△(AC). 1.1 Tập hợp ✧ 3 • Công thức De Morgan:   i∈I A i  c =  i∈I A c i ;   i∈I A i  c =  i∈I A c i . * Chú ý: (A \ B) ∪ B = A chỉ đúng khi B ⊂ A; (A ∪ B) \ B = A chỉ đúng khi A ∩B = ∅. Ví dụ 1.2. Ta có ∞  n=1 (0, 1 −1/n) = ∞  n=1 (0, 1 −1/n] = (0, 1) và ∞  n=1 [1 −1/n, 2) = ∞  n=1 (1 −1/n, 2) = [1, 2). 1/ 1.3 Lớp tập hợp và dãy tập hợp Tập hợp mà mỗi phần tử của nó là tập con của X được gọi là một lớp (các tập con của X). Ta dùng các chữ hoa A , B, C , . . . để ký hiệu các lớp. Lớp gồm tất cả các tập con của X được ký hiệu là 2 X : 2 X = {A | A ⊂ X}. Chú ý là 2 X chứa cả tập ∅ và X. Hiển nhiên nếu tập X hữu hạn gồm n phần tử thì 2 X có 2 n phần tử. Ví dụ 1.3. Cho tập hợp X = {1, 2, 3 }. • A =  {1}, {2}, {3}  là lớp các tập chỉ gồm 1 phần tử trong X. • 2 X =  ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3 }  . Lớp C gồm các tập rời nhau được gọi là phân hoạch của tập X nếu  C∈C C = X. Ví dụ 1.4. Lớp gồm các tập A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {5} là một phân hoạch của tập X = {1, 2, 3, 4, 5}. Lớp gồm một số đếm được các tập con {A n , n = 1, 2, . . . } được gọi là dãy (các tập). Ta nói dãy các tập {A n } là đơn điệu tăng (giảm) và viết A n ↑ (A n ↓), nếu A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ . . . (A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ . . . ). Ví dụ 1.5. Với X = N = {1, 2, . . . }, khi đó B =  {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . .  là một dãy đơn điệu tăng các tập con của X. 4 ✧ 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC Giả sử {A n } là dãy các tập con của X. Ta gọi giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy này là các tập tương ứng sau đây: lim A n = lim sup A n = ∞  n=1 ∞  k=n A k , lim A n = lim inf A n = ∞  n=1 ∞  k=n A k . Nếu giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy {A n } bằng nhau thì ta nói dãy {A n } có giới hạn và viết: lim A n = lim sup A n = lim inf A n . Có thể thấy rằng lim A n = ∞  n=1 A n nếu A n ↑; lim A n = ∞  n=1 A n nếu A n ↓ . Nếu A n ↓ và  ∞ n=1 A n = A thì ta viết A n ↓ A. Nếu A n ↑ và  ∞ n=1 A n = A thì ta viết A n ↑ A. Ví dụ 1.6. Với A, B là các tập cho trước, xét dãy A n = A nếu n lẻ và A n = B nếu n chẵn. Ta có lim A n = A ∪ B; lim A n = A ∩ B. § 2. TẬP HỢP SỐ THỰC 1/ 2.1 Khái niệm tập hợp số thực 1.1 Định nghĩa. Tập hợp số thực R là tập hợp các phần tử x, y, z, . . . trên đó có hai phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự thoả mãn các tiên đề dưới đây, gọi là hệ các tiên đề về số thực. (I) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG Phép toán + : R ×R → R, (phép cộng) được định nghĩa bằng cách gán mỗi cặp có thứ tự (x, y) gồm hai phần tử x, y thuộc R với một phần tử x + y ∈ R nào đó, được gọi là tổng của x và y. Phép toán này phải thoả mãn các điều kiện sau: 1 + . Tồn tại phần tử trung hòa hoặc đồng nhất 0 (đọc là không) sao cho x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ R. 1.2 Tập hợp số thực ✧ 5 2 + . Với mọi phần tử x ∈ R tồn tại một phần tử −x ∈ R được gọi là đối của x sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0. 3 + . Phép cộng có tính kết hợp, tức là biểu thức x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ R. 4 + . Phép cộng là giao hoán, nghĩa là x + y = y + x, ∀x, y ∈ R. (II) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP NHÂN Một phép toán • : R ×R → R, (phép nhân) được định nghĩa bằng cách gán mỗi cặp có thứ tự (x, y) gồm hai phần tử x, y thuộc R với một phần tử x · y ∈ R nào đó, được gọi là tích của x và y. Phép toán này phải thoả mãn các điều kiện sau: 1 • . Tồn tại phần tử trung hòa hoặc đồng nhất 1 ∈ R \{0} (gọi là phần tử một) sao cho x ·1 = 1 ·x = x, ∀x ∈ R. 2 • . Với mọi phần tử x ∈ R \ {0} tồn tại một phần tử x −1 ∈ R được gọi là phần tử nghịch đảo của x sao cho x ·x −1 = x −1 · x = 1. 3 • . Phép nhân • có tính kết hợp, nghĩa là x ·(y ·z) = (x · y) ·z, ∀x, y , z ∈ R. 4 • . Phép nhân • có tính giao hoán, nghĩa là x ·y = y · x, ∀x, y ∈ R (I, II) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là (x + y) ·z = x ·z + y ·z với mọi x, y, z ∈ R. Lưu ý là do tính giao hoán của phép nhân, đẳng thức này vẫn đúng nếu thứ tự các nhân tử được hoán đổi ở mỗi vế. (III) CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ Giữa các phần tử của R tồn tại một quan hệ ≤, nghĩa là với các phần tử x, y ∈ R có thể xác định xem liệu x ≤ y hoặc không. Ở đây các điều kiện sau phải đúng: 6 ✧ 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC 1 ≤ . ∀x ∈ R (x ≤ x). 2 ≤ . (x ≤ y) ∧(y ≤ x) ⇒ (x = y). 3 ≤ . (x ≤ y) ∧(y ≤ z) ⇒ (x ≤ z). 4 ≤ . ∀x ∈ R, ∀y ∈ R (x ≤ y) ∨(y ≤ x). Quan hệ ≤ trên R được gọi là không bằng nhau (bất đẳng thức). Một tập trên đó tồn tại một quan hệ giữa các cặp phần tử thoả mãn các tiên đề 1 ≤ , 2 ≤ , và 3 ≤ , như ta biết, được gọi là được sắp từng phần. Nếu có thêm tiên đề 4 ≤ , nghĩa là có thể so sánh hai phần tử bất kỳ, tập hợp là được sắp tuyến tính. Do đó tập các số thực được sắp tuyến tính do quan hệ không bằng nhau giữa các phần tử. (I, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x, y, z là các phần tử thuộc R, thì (x ≤ y) ⇒ (x + z ≤ y + z). (II, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x và y là các phần tử thuộc R, thì (0 ≤ x) ∧(0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x ·y). (IV) TIÊN ĐỀ VỀ CẬN TRÊN Mọi tập A ⊂ R, A ̸= ∅ bị chặn trên có cận trên đúng. Trên đây, ta đề cập đến khái niệm tập bị chặn trên. Khái niệm tập bị chặn được định nghĩa như sau (các quan hệ <, ≥, > được hiểu theo nghĩa thông thường). 1.2 Định nghĩa. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn trên nếu tồn tại z ∈ R sao cho x ≤ z với mọi x ∈ A; phần tử z như thế được gọi là cận trên của tập A. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ R sao cho x ≥ z với mọi x ∈ A; phần tử z như thế gọi là cận dưới của tập A. 1.3 Định nghĩa. Ta nói rằng M là phần tử lớn nhất của tập A nếu M ∈ A và x ≤ M với mọi x ∈ A. Khi đó ta viết M = max A. Tương tự ta nói m là phần tử bé nhất của tập A nếu m ∈ A và x ≥ m với mọi x ∈ A. Khi đó ta viết m = min A. 1.4 Định nghĩa. Giả sử A bị chặn trên, z được gọi là cận trên đúng của A, nếu: +) z là cận trên của A, tức là x ≤ z, ∀x ∈ A. +) z là cận trên bé nhất của A , tức là nếu y < z thì y không phải là cận trên của A. Cận trên đúng của A ký hiệu là sup A. [...]... chứa vô số phần tử xn Ta gọi đoạn này là [ a2 , b2 ] và đặt c2 = ( a2 + b2 )/2 Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy đoạn thắt lại [ ak , bk ], k = 1, 2, vì bk − ak = a/2k−1 → 0 Theo nguyên lý Cantor, chúng có một phần tử chung c Vì mỗi đoạn [ ak , bk ] chứa vô số phần tử xn nên ta có thể chọn (đánh số lại, nếu cần) một xn1 ∈ [ a1 , b1 ], xn2 ∈ [ a2 , b2 ] với n2 > n1 , một xn3 ∈ [ a3 , b3... phân tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn Cũng từ tính σ-cộng tính của độ đo ta có thêm các kết quả sau: 2.13 Định lý (Tính liên tục của độ đo) Cho không gian đo được ( X, F ) và µ là một độ đo trên σ-đại số F , khi đó: i) nếu dãy Ai ∈ F (i = 1, 2, ) là đơn điệu tăng tức A1 ⊆ A2 ⊆ thì ( ) ∞ ∪ µ = lim µ( Ai ); Ai i →∞ i =1 ii) nếu dãy Ai ∈ F (i = 1, 2, ) là đơn điệu giảm tức A1 ⊇ A2. .. nghĩa, tồn tại n1 sao cho | xn − xn1 | < với mọi n ≥ n1 Đặt a1 = xn1 − 1, b1 = xn1 + 1 Sau đó, lấy n2 > n1 sao cho | xn − xn2 | < với mọi n ≥ n2 Đặt a2 = xn2 − 1 , b2 = xn2 + 1 Vì | xn2 − xn1 | < 2 2 Lấy n3 > n2 sao cho | xn − xn3 | < 1 8 1 2 1 2 1 4 nên [ a2 , b2 ] ⊂ [ a1 , b1 ] với mọi n ≥ n3 và đặt a3 = xn3 − 1 , b3 = xn3 + 4 Tiếp tục mãi như vậy, ta được một dãy đoạn [ ak , bk ] thắt lại vì bk −... có thể biểu diễn bằng cách đánh số các phần tử như sau: X = { a1 , a2 , , a n , } 1.16 Mệnh đề Mọi tập con của tập đếm được cũng đếm được Chứng minh Giả sử tập A là đếm được và B là tập con của A, nếu B là hữu hạn thì ta không cần chứng minh gì nên ta sẽ giả sử B là vô hạn Khi đó hiển nhiên A là vô hạn đếm được nên A = { a1 , a2 , } Gọi b1 là phần tử đầu tiên trong dãy { an } thuộc B, b2 là... (CHỨNG ··· MINH MỆNH ĐỀ ) ··· ··· ··· Giả sử dãy An = { an1 , an2 , }, n = 1, 2, , ∞ Nếu tập Ak có hữu hạn i phần tử thì ta xem như aki = ak(i+1) = · · · Đặt B2 = { a11 }, B3 = { a12 , a21 } \ B2 , B4 = { a13 , a22 , a31 } \ ( B2 ∪ B3 ), , Bn = { aij |i + j = ) ( n} \ ∪ 1≤ k ≤ n −1 Bk , n ≥ 3 Khi đó không khó khăn gì ta thấy Bn là dãy tập rời nhau có hữu hạn phần tử và ∪ n Bn = ∪ n An Tuy nhiên,... có µ ∞ (∪ i =1 ) Ai ≤ ∞ ∑ µ ( A i ) i =1 ii) Với mọi dãy Ai ∈ F thoả mãn µ( Ai ) = 0(∀i = 1, 2, ), ta có µ ( ∪∞ i =1 Ai ) = 0 2.2 Không gian độ đo " 27 Chứng minh i) Đặt B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , B3 = A3 \ ( A1 ∪ A2 ), , Bn = An \ (∪ n −1 i =1 ) Ai , Khi đó các tập Bi là rời nhau và Bi ⊂ Ai nên theo định lý 2.10.ii) ta có µ( Bi ) ≤ µ( Ai ), ngoài ra ∪∞ i =1 Ai = ∪∞ i =1 Bi Vậy áp dụng tính... do A bị chặn trên nên tồn tại sup A và ta có sup A = 1 Trên đây, chúng ta đã xem xét cụ thể về các tiên đề xây dựng lên tập số thực Nhiều khái niệm của mục này có thể tiếp cận qua chương 1, phần 1, giáo trình “Toán cao cấp cho các nhà kinh tế” Dưới đây ta sẽ xem xét thêm một số tính chất cần thiết về số thực để sử dụng sau này 1/ 2.2 Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực Ta gọi số dương là những... Thác triển độ đo " 29 § 3 THÁC TRIỂN ĐỘ ĐO Xuất phát từ việc tính diện tích của một hình phẳng, chúng ta sẽ thấy việc chỉ ra độ đo của một tập không hề đơn giản Ví dụ 2.7 Trên đường thẳng R có những tập điểm được gán với một số không âm gọi là “độ dài” Chẳng hạn, độ dài của một đoạn ∆ = [ a, b] là |∆| = b − a; nếu một tập có thể phân tích thành một số hữu hạn đoạn rời nhau: ∆1 , ∆2 , , ∆n thì độ dài... µ(∅) = 0 thì nó sẽ là một độ đo nếu thoả mãn một trong hai điều kiện i) hoặc ii) ở trên 28 " 2 LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO Chứng minh i) Giả sử dãy Ai ∈ F (i = 1, 2, ) là đơn điệu tăng ( ) Ta đặt B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , , Bn = An \ ∞ ∪ i =1 Ai = ( µ ∞ ∪ i =1 ∞ ∪ n∪1 − i =1 Ai thì các Bi ∈ F rời nhau và Bi Do đó ) Ai ( =µ i =1 ∞ ∪ ) = ( n i =1 Bi i =1 ∞ i =1 ∑ µ( Bi ) = nlim ∑ µ( Bi ) = nlim µ →∞ →∞ n ∪ i... Ai ∈ F (i = 1, 2, ) là đơn điệu giảm.Theo công thức De Morgan A1 \ ∩∞ i =1 phần i) ta có ∪∞ i =1 ( A1 \ Ai ), trong đó các ∪∞ ′ ′ µ( i=1 Ai ) = limi→∞ µ( Ai ) Ai = ′ ′ ′ tập Ai = A1 \ Ai ∈ F và A1 ⊂ A2 ⊂ Theo ∞ Nhưng vì µ( A1 ) < ∞ mà Ai ⊂ A1 nên µ( Ai ) < ∞ và µ(∩i=1 Ai ) < ∞ Từ đó ta có: ′ µ ( A i ) = µ ( A1 ) − µ ( A i ), µ( ∞ ∪ ′ A i ) = µ ( A1 \ i =1 do đó thay vào trên ta nhận được µ( ∩∞ . Đại số và - ại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 - ại số là tập A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}, tương tự:  i∈I A i = {x : ∃i ∈ I, x ∈ A i }. • Phép giao. Giao hoặc tích của A và B là tập A ∩B = {x : x ∈ A và x ∈ B}, tương tự:  i∈I A i = {x : ∀i ∈. Độ đo Lebesgue trong không gian R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Độ đo Lebesgue-Stieltjes trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3 . Tích phân Lebesgue . .