Chương 6 Khơng gian các hàm khả tích
6.1 Không gian tuyến tính định chuẩn
6.1.1 Không gian vectơ
6.1 Định nghĩa. Một tậpX(bất kỳ) được gọi là mộtkhông gian vectơtrên trường số thực nếu:
a) Tồn tại một ánh xạ từ X×X → X tương ứng mỗi cặp x,y ∈ X bất kỳ với duy nhất một phần tử củaX, được gọi làtổng của xvày, ký hiệu làx+y, và một ánh xạ từ R×X→ Xtương ứng mỗi sốα∈ Rvà phần tửx ∈ Xvới duy nhất một phần tử của Xđược gọi làtích củaxvàα, ký hiệu làαx.
b) Hai quy tắc trên thoả mãn 8 tiên đề:
1) x+y= y+x (tính giao hốn của phép cộng).
2) (x+y) +z= x+ (y+z)(tính kết hợp của phép cộng).
3) tồn tại một phần tử0 (gọi là phần tử không hay vectơ không) sao cho x+0 = x với mọi
x ∈X.
4) Với mỗix∈ Xtồn tại phần tử−x ∈X(gọi làphần tử đối củax) sao chox+ (−x) =0. 5) 1.x=x.
6) α(βx) = (αβ)x,α,β∈Rbất kỳ. 7) (α+β)x= αx+βx.
8) α(x+y) =αx+αy.
Khơng gian vectơ cịn được gọi làkhơng gian tuyến tínhvà các phần tử của nó được gọi làvectơ.
Ví dụ 6.1. Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết các không gian EuclidRk quen thuộc với
phép cộng hai vectơ và nhân vectơ với 1 số: Giả sử x = (x1,x2, . . . ,xn), y = (y1,y2, . . . ,yn) thì
x+y= (x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn);αx= (αx1,αx2, . . . ,αxn).
Ví dụ 6.2. Khơng gian các hàm bị chặn trên [a,b], tứcB[a,b] là không gian vectơ với hai phép
toán được định nghĩa như sau:
(x+y)(t) =x(t) +y(t), (αx)(t) =α.x(t).
Ta đã biết x+y,αx ∈ B[a,b]với mọi x,y ∈ B[a,b],α ∈ R nên hai phép toán định nghĩa như trên là đúng đắn. Dễ dàng chứng minh được hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề trên. Ở đây vectơ khơng là hàmx≡0.
Ví dụ 6.3. Khơng gian các hàm khả tích Lebesgue trên khơng gian độ đo(X,F,µ), tứcL1(X,F,µ)
hayL1(X)là khơng gian vectơ với hai phép toán được định nghĩa tương tự như trongB[a,b]và vectơ khơng cũng là hàm f ≡0.
Ở chương Tích phân Lebesgue ta cũng đã biết f+g,αf ∈L1(X)với mọi f,g∈L1(X),α∈R. Tập hợp các véctơYthuộc không gian vectơXđược gọi làkhông gian concủaXnếuY̸= ∅và nó kín đối với hai phép tốn vectơ :∀x,y ∈Y⇒x+y∈Y,x∈Y⇒αx∈Y,∀α∈R.
Ví dụ 6.4. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm
khơng tầm thường là khơng gian con của khơng gianRn.
Ví dụ 6.5. Lớp các hàm liên tục trên [a,b], tức C[a,b]là một không gian vectơ con của B[a,b].
Không gian các hàm liên tục trên [a,b]và cùng triệt tiêu tại điểm c ∈ [a,b] là một không gian con củaC[a,b].