Trong mục này ta luôn giả thiết có một không gian đo được (X,F), F là σ - đại số những tập con của X.
3.4 Định nghĩa. Một hàm số f : X →Rđược gọi làđo đượcđối vớiσ-đại sốF (hoặcF
- đo được) nếu
(∀a ∈R) f−1(−∞,a) = {x ∈ X : f(x) <a} ∈F. (3.4) Khi trên F có một độ đo µ thì f(x) cũng gọi là đo được đối với độ đo µ hay µ - đo được. Trong trường hợpX =Rk,F =Lk thì ta nói f(x)làđo được theo nghĩa Lebesgue,
hayđo được (L). Trường hợp F là σ - đại số Borel, f(x) được gọi là đo được theo nghĩa
Borelhayhàm đo được Borel.
Tập {x f x| ( )<a}
y=a
( )
f x
3.5 Mệnh đề. Điều kiện(3.4)có thể thay thế bằng một trong các điều kiện sau:
(∀a ∈R) {x ∈ X : f(x) >a} ∈F (3.5) (∀a ∈R) {x ∈ X : f(x) ≤a} ∈F (3.5) (∀a ∈R) {x ∈ X : f(x) ≥a} ∈F. (3.5)
Chứng minh. Thật vậy, (3.4) ⇔(3.5) vì các tập bù nhau. Tương tự, (3.5) ⇔(3.5), ta cần
chứng minh (3.4)⇔(3.5).
(3.4) ⇒ (3.5): Rõ ràng f(x) ≤ a khi và chỉ khi (∀n)f(x) < a+1/n, nên {x ∈ X :
f(x) ≤a} =∩∞
n=1{x∈ X : f(x)< a+1/n} ∈F.
(3.5) ⇒ (3.4): Rõ ràng f(x) < a khi và chỉ khi (∃n)f(x) ≤ a−1/n, nên {x ∈ X :
f(x) <a} =∪∞
n=1{x∈ X : f(x)≤ a−1/n} ∈F.
Chứng minh. Chúng ta có f−1({a}) = f−1(−∞,a]\ f−1(−∞,a) nên thuộcF.
Ví dụ 3.6. Cho hàm f : X → R là hàm hằng số f(x) = c. Khi đó f−1(−∞,a) = ∅ nếu
a ≤c, bằng X nếua >cnên f là đo được.
Ví dụ 3.7. Cho A ⊂ X và hàm f = 1A = 1nếu x ∈ A, 0 trong trường hợp còn lại. Khi đó f−1(−∞,a) = ∅,X hoặc Anên f là đo được khi và chỉ khi Alà tập đo được.
Ví dụ 3.8. Giả sử X là tập số thực, F làσ-đại số Borel B. Hàm số f(x) = x là hàm đo được do f−1(−∞,a) = (−∞,a) ∈ B.
Ví dụ 3.9. NếuF =2X thì hàm sốbất kỳ từX vàoRđều đo được.
Câu hỏi: Hãy đưa ra ví dụ về một hàm không đo được.
Chú ý. Trong lý thuyết xác suất, hàm đo được sẽ được gọi là biến ngẫu nhiên.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra các cách tạo ra hàm đo được "mới" từ các hàm đã cho. Đó là cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, . . . các hàm đo được.
3.7 Định lý. i) Nếu f(x) đo được thì với mọiα >0hàm số|f(x)|α cũng đo được.
ii) Nếu f(x)và g(x) đo được và hữu hạn thì các hàm số
k f(x), f ±g, f g, max{f,g}, min{f,g}
cũng đo được, và nếu g(x)không triệt tiêu thì f/gcũng đo được.
Chứng minh. i) Nếu f(x)đo được thì với mọi a>0:
{|f(x)|α <a} ={|f(x)| <a1/α} ={−a1/α < f(x) <a1/α} =
={f(x) <a1/α} ∩ {f(x) >−a1/α} ∈F. Trường hợpa ≤0thì{|f(x)|α <a}=∅ ∈ F.
Vậy |f(x)|α là đo được.
ii) Hàm k f đo được là hiển nhiên. Bây giờ ta chứng minh f +glà đo được. Cho alà một số thực bất kỳ,r1,r2, . . . là dãy các số hữu tỉ. Rõ ràng
f(x) +g(x) <a ⇔ f(x)<a−g(x) ⇔ ∃n, f(x) <rn <a−g(x), do đó {f(x) +g(x) <a} = ∪∞ n=1{f(x) <rn <a−g(x)} = ∪∞ n=1 [ {|f(x) <rn} ∩ {g(x) <a−rn}] ∈ F.
3.2 Hàm số đo được G 51
Vậy f +gđo được. Chứng minh tương tự với f −g.
Từ các kết quả trên và dựa vào các hệ thức
f g = 1 4[(f +g) 2−(f −g)2], max{f,g}= 1 2(f +g+|f −g|), min{f,g}= 1 2(f +g− |f −g|), ta suy ra các hàm số f g, max{f,g}và min{f,g} là đo được.
Nếu g(x)không triệt tiêu thì với mọi a
{ 1 g2 <a } = ∅ ∈F nếu a≤0, { g2 > 1a} ∈ F nếu a>0, nên 1
g2 đo được và do gf = f gg12, ta có f/gđo được.
Ký hiệu f+(x) =sup{f(x), 0}, f−(x) = sup{−f(x), 0}. Dễ thấy f(x) = f+(x)−f−(x) là hiệu hai hàm dương và|f(x)| = f+(x) + f−(x), do đó f+ = f +|f|
2 , f
− = |f| − f
2 .
3.8 Hệ quả. Hàm số f đo được khi và chỉ khi hai hàm f± =sup(±f, 0)là đo được.
Chứng minh. Nếu f đo được thì vì hàm g ≡ 0đo được nên f± cũng đo được. Ngược lại,
nếu f± đo được thì f = f+− f−cũng đo được.
Ví dụ 3.10. Chúng ta thấy hàm f đo được dẫn đến hàm|f| = f++ f− là đo được. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Giả sửF ̸=2X và A là tập không đo được. Đặt f(x) =2nếux ∈ Avà−2nếux ̸∈ A.
3.9 Định lý. Nếu dãy{fn(x)} là những hàm số đo được và hữu hạn thì
i) Các hàm sốsupn fn(x), infn fn(x); limfn(x); lim fn(x)là đo được,
ii) Tập hợp những điểm tại đó dãy fn hội tụ là một tập đo được,
iii) Nếu tồn tại f(x) =limn→∞ fn(x)thì hàm số đó đo được.
Chứng minh. i) Với mọi số thực a:
{sup n fn(x) ≤a}=∩∞ n=1{fn(x)≤ a} ∈ F, {inf n fn(x) ≥a} =∩∞n=1{fn(x) ≥a} ∈ F,
cho nên các hàm sốsupn fn(x)và infn fn(x) đo được. Do đó suy ra các hàm số lim n→∞ fn(x) =inf{sup k fn+k(x)}, lim n→∞ fn(x) =sup{inf k fn+k(x)}, là đo được.
ii) Tập hợp những điểm mà tại đó dãy fn hội tụ là tập hợp {x : limn fn =limn fn}, do đó đo được.
iii) Nếu fn → f thì f =limn fn =limn fn, theo kết quả trên f là hàm đo được.
Chú ý rằng, (xem chương "Không gian metric"), các hàm liên tục trên Rlà đo được Borel. Ngoài ra, các hàm đơn điệu trênR cũng đo được Borel như trong mệnh đề dưới đây.
3.10 Mệnh đề. Nếu hàm f : R → Rlà đơn điệu không tăng hoặc không giảm thì f là đo được Borel.
Chứng minh. Giả sử f là đơn điệu không tăng. Với a ∈ R bất kỳ, đặt x0 = inf{x :
f(x) ≥ a}. Khi đó nếu f(x0) =a thì f−1(−∞,a) = (−∞,x0), ngược lại nếu f(x0) ̸=a thì
f−1(−∞,a) = (−∞,x0]. Như vậy, trong trường hợp nào thì f−1(−∞,a) cũng thuộcB.
3.11 Mệnh đề. Giả sử f đo được trên(X,F). Khi đó nếuAlà tập Borel thì f−1(A) ∈ F.
Chứng minh. Đặt C = {A ∈ B : f−1(A) ∈ F}. Dễ dàng chứng minh được C là một
σ-đại số và chứa họ các khoảng(−∞,a) nên cũng chứaσ-đại số sinh bởi họ các khoảng này. VậyC chứaB.
Chúng ta biết rằng σ-đại số Borel B nằm trong σ-đại số các tập đo được Lebesgue tuy nhiên chưa chắc chắn chúng có khác nhau hay không. Bây giờ, sử dụng hai mệnh đề trên, ta sẽ chỉ ra một tập đo được Lebesgue nhưng không đo được Borel.
3.2 Hàm số đo được G 53
Ví dụ 3.11. Nhắc lại tập Cantor là tập sau
C:= {
∑
n≥1
xn/3n : xn =0 hoặc 2 với mọin
} . Định nghĩa một hàm f như sau:
f(x) = sup{y∈ C : y≤x}.
Như vậy nếu x ∈ (1/3, 2/3) thì f(x) = 1/3, nếu x ∈ (1/9, 2/9) thì f(x) = 1/9, v.v. Dễ thấy tập giá trị của f là tập Cantor, đồng thời f là không giảm nên nó đo được theo mệnh đề 3.10.
Gọi A là một tập không đo được Lebesgue (người ta đã chứng minh luôn tồn tại tập như vậy). Khi đó f(A) ⊂ C nên nó là tập đo được và có độ đo 0. Tuy nhiên f(A) không là tập Borel bởi nếu thế thì theo mệnh đề 3.11, A= f−1(f(A))sẽ đo được Borel, vô lý.
Ví dụ trên cũng cho thấy việc lấyσ-đại số các tập đo được Lebesgue trênRlàm miền giá trị có thể là quá lớn.