Cho hai hàm số φ và F xác định và hữu hạn trên [a,b]. Ta chia đoạn [a,b] bởi các điểm chia
a =a0 <a1 <· · · <an =b
trong đó n ∈ Nnào đó và gọi họ tập hợp {a0,a1, . . . ,an} là mộtphân hoạchcủa [a,b], ký
hiệu là P. Giá trị lớn nhất trong số chiều dài các khoảng[ai−1,ai] củaPđược gọi làbán kínhcủaP, ký hiệud(P).
Ta lấy các điểmξi ∈ [ai−1,ai],i =1, . . . ,n bất kỳ và gọi tổng sau
RP=
n
∑
i=1
φ(ξi)[F(ai)−F(ai−1)]
là một tổng Riemann-Stieltjes đối vớiP.
Bây giờ chúng ta chuyển đến định nghĩa chính của mục này. 79
4.1 Định nghĩa. Cho φ,F là hai hàm số xác định và bị chặn trên [a,b]. Ký hiệu P là phân hoạch của [a,b] và lấy các điểm ξi ∈ [ai−1,ai] bất kỳ. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn
I = lim
d(P)→0RP,
theo nghĩa với mọiε>0, tồn tạiδ >0sao cho|I−RP| <εvới mọi Pthoả mãnd(P) <δ
thì I được gọi là tích phân (Riemann-)Stieltjes của hàm số φ với hàm F và ký hiệu là
b ∫ a φ(t)dF(t) hoặc b ∫ a φdF. Nếu tích phân b ∫ a
φdFtồn tại, ta sẽ nói φlàkhả tích Stieltjesvới độ đoF hoặcF - khả tích.
Nhận xét. Dễ dàng chứng minh được hàmφlàF- khả tích có tích phân làItương đương với khẳng định sau: với mọi ε>0, tồn tạiδ >0sao cho|RP−I| <εvới mọi phân hoạch Pthoả mãnd(P) <δ.
Nếu bạn nhớ lại định nghĩa của tích phân Riemann thì rõ ràng cách xây dựng nên tích phân Stieltjes cũng được áp dụng ở đây. Trong khi với tích phân Riemann, độ đo của một khoảng con [ai−1,ai] thuộc [a,b] bằng chiều dài của nóai−ai−1 thì đối với tích phân Stieltjes, độ đo của một khoảng con[ai−1,ai]là bằng F(ai)−F(ai−1). Nói cách khác tích phân Riemann là trường hợp đặc biệt của tích phân Stieltjes.
Khi ta thay hàm sốF(t)trong định nghĩa của tích phân Stieltjes bằng hàm sốF(t) = t
và hàm số φlàt- khả tích thì φđược gọi làkhả tích Riemann.Tích phân Riemanncủa
φkhi đó được ký hiệu
b
∫
a
φ(t)dt.
Trước khi xét các ví dụ sau, ta nhắc lại hàm chỉ tiêu 1S vớiS⊂Rlà hàm số
1S(x) =
1 nếu x∈ S,
0 trong trường hợp còn lại.
Ví dụ 4.1. Xét trường hợp φ(t) =1,∀t∈ R,Fxác định và hữu hạn trên[a,b]. Khi đó tổng
∑n
i=1φ(ξi)[F(ai)−F(ai−1)] = F(b)−F(a)với mọi phân hoạcha = a0 <a1 < · · · <an = b
nên b ∫ a dF= F(b)−F(a). Ví dụ 4.2. Cho F=1[1 2,1]và φ=id[0,1].
Với mọiε>0, ta chọn một phân hoạchPbất kỳ của[0, 1]sao chod(P) <ε. Khi đó 1
2+ε>RP≥ 1
4.1 Các khái niệm và tính chất G 81
cho nên hàm số φlà F- khả tích. Doε>0là tùy ý, ta dễ dàng suy ra
1 ∫ 0 φdF= 1 2. Ví dụ 4.3. Cho F = 1[1
2,1] = φ. Khi đó ta có với phân hoạch Pbất kỳ không chứa 12 thì
RP=1nếu chọn mộtξi nào đó nhỏ hơn 12, bằng 0 nếu chọnξi nào đó bằng 12. Vậy không tồn tại tích phân Stieltjes∫1
0 φdF.
Sau đây chúng ta sẽ bàn đến trong trường hợp nào thì φlàF-khả tích cũng như liên hệ
giữa tích phân Stieltjes với tích phân Riemann.