3.38 Định lý (Định lý hội tụ đơn điệu 2). Cho{fn}là một dãy đơn điệu tăng (giảm)
các hàm đo được trên không gian độ đo (X,F,µ)và ∫
X f1dµ >−∞ (∫ X f1dµ <+∞). Khi đó: lim n→∞ ∫ X fndµ = ∫ X lim n→∞ fndµ.
Đẳng thức cũng nhận được trong trường hợp đặc biệt: {fn} là dãy đơn điệu các hàm
đo được trênX và f là khả tích.
Chú ý. Ta không thể bỏ điều kiện∫
X f1dµ>−∞cho dù có thể thay bằng ∫
X fkdµ >−∞ vớik ∈Nnào đó. Thật vậy, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 3.19. Cho không gian độ đo (N, 2N,µ) trong đó µ(∅) = 0 và µ(S) = ∑
i∈S
1 2i với
S ∈N. Dãy hàm fn xác định trên Nnhư sau:
fn(i) =−2i
n.
Dễ dàng thấy dãy hàm fn hội tụ đến 0 trong khi
∫ N fndµ = ∞ ∑ i=1 fn(i)µ(i) = −∑∞ i=1 1 m =−∞. Như vậy rõ rànglimn→∞∫
N fndµ =−∞̸=0 =∫
Nlimn→∞ fn dµ
Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu trên kết hợp với bổ đề Fatou về hàm đo được không âm, và tính chất tuyến tính quan trọng của tích phân ta sẽ chứng minh được các định lý hội tụ sau. Trước hết là định lý sau, nó thực chất là sự mở rộng của bổ đề Fatou cho trường hợp hàm đo được bất kỳ.
3.39 Định lý. Giả sử {fn} là một dãy các hàm khả tích và tồn tại hàm gkhả tích thỏa
mãn|fn| ≤ gvới mọin. Khi đó ta có:
∫ Xlim fndµ ≤lim ∫ X fndµ ≤lim ∫ X fndµ ≤∫ Xlim fndµ.
3.4 Tích phân Lebesgue của hàm đo được bất kỳ G 65
3.40 Định lý (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn (trội) 1). Cho dãy hàm đo được
fn vàgtrên không gian độ đo(X,F,µ). Giả sử fn → f h.k.n , f đo được và|fn| ≤ gh.k.n,
∀n, glà khả tích. Khi đó lim n→∞ ∫ X fndµ = ∫ X f dµ.
Nhận xét. Như vậy để kiểm tra xem giới hạn của một dãy tích phân các hàm đo được có bằng tích phân của hàm giới hạn hay không, ta có hai phương pháp. Trước hết nếu dãy là tăng (giảm), ta kiểm tra điều kiện của định lý hội tụ đơn điệu rồi sử dụng. Nếu không được hãy kiểm tra liệu giá trị tuyệt đối của dãy hàm này có bị chặn bởi một hàm khả tích hay không rồi áp dụng định lý hội tụ bị chặn.
Ví dụ 3.20. Xét tích phân ∫
[0,1]
xdm. Ta thấy dãy hàm fn(x) = nk nếux ∈[nk, k+n1), 0 ≤k<
n thoả mãn |fn(x)− f(x)| ≤ 1
n nên dãy fn(x) hội tụ đến f(x). Ngoài ra fn(x) ≤ 1[0,1] là hàm khả tích trên[0, 1]nên theo định lý hội tụ bị chặn 3.40 ta có
∫ [0,1] f dm = lim n→∞ ∫ [0,1] fndm= lim n→∞ n−1 2n = 1 2. Kết quả này trùng với kết quả ta đã tính trước ở ví dụ 3.14.
Ví dụ 3.21. Xét dãy hàmsinn(x)hội tụ tới hàm1π/2với mọix∈ [0,π]. Ngoài rasinnx≤
1[0,π]là hàm khả tích trên [0,π], do vậy theo định lý hội tụ bị chặn 3.40 :
lim n→∞ ∫ [0,π]sinn(x)dm = ∫ [0,π]1π/2dm=0.
Ví dụ 3.22. Nếu bỏ tính chất bị chặn đi thì định lý 3.40 không còn đúng. Thật vậy xét dãy hàm số ở ví dụ 3.15 trong không gian độ đo([0, 1],B([0, 1]),m):
fm(x) =
m, nếu0<x < m1,
0, trong trường hợp còn lại. Dễ thấy fm(x)hội tụ đến 0 trên [0, 1]trong khi∫
[0,1] f dm=1̸=∫ ∫
[0,1]0dm.
Tóm lại các định lý hội tụ đối với tích phân đòi hỏi các điều kiện sau:
• Với dãy hàm đo được không âm, trong khi điều kiện bị chặn dưới luôn được bảo đảm, phải thoả mãn là dãy hàm đơn điệu không giảm.
• Với dãy hàm đo được bất kỳ, nếu là dãy hàm đơn điệu không giảm thì phải bị chặn dưới, nếu là dãy hàm hội tụ thì phải bị chặn trên lẫn dưới.
Các định lý hội tụ không áp dụng được với tích phân Riemann. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3.23. Giả sử tập số hữu tỷ trong đoạn[0, 1]được liệt kê thành dãy sau:Q∩[0, 1] =
{x1,x2, . . .}. Cho dãy hàm số fn(x) xác định như sau:
fn(x) =
1 nếux ∈ {x1, . . . ,xn}; 0 trong trường hợp còn lại.
Khi đó dễ thấy dãy hàm đơn giản fn đơn điệu không giảm, bị chặn và hội tụ tới hàm
1Q∩[0,1](x). Tuy nhiên hàm này không khả tích Riemann.
§ 5. TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN R
Xét không gian độ đo Borel(R,B(R),m). Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f trênR
được ký hiệu như sau: ∫
R f dm.
Tích phân lấy trên một tậpS ⊂Rnào đó cũng được ký hiệu là
∫
S f dm.
KhiS= [a,b], ta gọi đó là tích phân Lebesgue của hàm f trên đoạn[a,b]và có thể ký hiệu như sau:
∫ b
a f dm =
∫ [a,b]
f dm.
Tập các hàm khả tích đối với độ đo Lebesgue trên [a,b] (tức ∫
[a,b] f dm tồn tại hữu hạn) được ký hiệu làL1[a,b].
Các định lý về tính tuyến tính cũng như hội tụ của tích phân vẫn đúng trên R. Tuy nhiên để tính tích phân Lebesgue trên theo định nghĩa là không dễ. Chúng ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa tích phân Riemann với tích phân Lebesgue, sau đó sử dụng định lý cơ bản trong tích phân (công thức Newton-Leibnitz) để tính ra kết quả.
3.41 Định lý. Cho hàm f : [a,b]→Rbị chặn. Khi đó ta có
i) Hàm f khả tích Riemann nếu và chỉ nếu f liên tục hkn theo độ đo Lebesgue trên
[a,b].
ii) Hàm f khả tích Riemann thì cũng khả tích đối với độ đo Lebesgue trên[a,b]và hai