Trong lĩnh vực tối ưu hóa, khi người ta đang cố làm cực đại hoặc cực tiểu hóa một hàm (thường là một hàm nhiều biến), sẽ rất tốt nếu biết với những điều kiện nào cực đại hoặc cực tiểu là tồn tại. Ta đã biết trong giải tích với a ≤ bbất kỳ trong Rvà hàm f liên tục từ[a,b]vàoR, tồn tại một x ∈ [a,b] sao cho f(x) = sup{f(u) : a ≤ u ≤ b}. Tương tự tồn tại một y ∈ [a,b] sao cho
f(y) = inf{f(v) : a ≤ v ≤ b}. Tính chất một hàm thực liên tục trên một đoạn là bị chặn và đạt được cực đại và cực tiểu, có thể mở rộng cho các không gian metric compact.
5.30 Định nghĩa. Cho hàm số f từ(X,d)vào(Y,e). Nếu với mọiε>0tồn tại mộtδ>0sao cho
khid(x,y)< δsuy rae(f(x), f(y))<εvới mọi xvàythuộcX, thì f được gọi là hàmliên tục đều
từ(X,d)vào(Y,e). Nếu tính chất này chỉ đúng trên một tập conM ⊂Xthì f được gọi làliên tục đềutrênM.
Ví dụ 5.30. Hàm f(x) = x2từRvào chính nó là liên tục nhưng không là liên tục đều (vớiε>0
cho trước, khi x càng lớn, δ lại càng nhỏ). Tương tự hàm f(x) = 1/x liên tục trên (0, 1)nhưng không là liên tục đều.
Hai ví dụ nêu trên đều giống nhau ở đặc điểm là tậpXkhông là compact. NếuXlà compact thì chắc chắn hàm liên tục trênXcũng liên tục đều theo định lý sau.
5.31 Định lý. Một hàm liên tục f từ một tập compact bất kỳ K ⊂ X đến (Y,e) là liên tục đều
5.4 Hàm số Liên tục G 117 Chứng minh. Nếu f không liên tục đều, tồn tạiε >0vàxn∈K,yn∈Kvà sao chod(yn,xn)<1/n
vàe(
f(yn),f(xn))
>εvới mọin. Khi đó vì dãy bất kỳ trongKcó một dãy con hội tụ (Định lý 3.3), chúng ta có thể giả sửxn→ xvớix∈K, do vậyyn→x.
Do tính liên tục của f tại x, với n đủ lớn,e(
f(yn),f(x)) < ε/2 vàe( f(xn),f(x)) < ε/2, nên e( f(yn),f(xn))
<ε, mâu thuẫn. Vậy f là liên tục đều.
5.32 Định lý. Nếu hàm f là liên tục từ tập compact bất kỳKtrong không gian metric(X,d)đến
(Y,e), thì ảnh của tậpKtức f(K)là compact trong(Y,e).
Chứng minh. Lấy U là một phủ mở của f(K). Khi đó{f−1(U) :U ∈ U}là một phủ mở củaK, với phủ con hữu hạn{f−1(V):V ∈V}vớiV hữu hạn. VậyV là một phủ con hữu hạn của f(K). Định lý 5.32 nói rằng ảnh liên tục của một tập compact cũng là compact, một hệ quả của nó là nếu f là một hàm giá trị thực liên tục trên một tập compact K, thì f bị chặn (tức f(K)bị chặn trongR), vì tập compact bất kỳ trong Rbị chặn (xét phủ mở bởi các khoảng(−n,n)). Từ đó sẽ suy ra hàm thực liên tục trên tập compact sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu (bài tập E.22).
BÀI TẬP
E.1. Chứng minh rằng một hàmd :X×X →Rthoả mãn hai điều kiện (5.2),(5.3) và điều kiện
d(x,y) =0⇔x=ycũng sẽ thoả mãn điều kiện 5.1: d(x,y)≥0,∀x,y∈ X.
E.2. Chứng minh bất đẳng thức tứ giác trong không gian metric (X,d): |d(x,y)−d(u,v)| ≤
d(x,u) +d(y,v),∀x,y,u,v∈ X.
E.3. Chứng minh trong không gian metric (X,d), nếuxn → xvàyn → ythìd(xn,yn)→d(x,y)
(hàm sốd(x,y)là hàm liên tục theo cả hai biến).
E.4. Chứng minh bất đẳng thức tam giác đối với metricd∞ trong không gianRk.
E.5. Chứng minh bất đẳng thức tam giác đối với metricd2trong không gian các dãy số có tổng bình phương bị chặnl2.
E.6. Trên R2, đặt d1
(
(x,y),(u,v))
:= |x−u|+|y−v|. Chỉ rad1 là một metric và tập mở trong
(R2,d1)cũng là mở đối với metric thông thường và ngược lại. E.7. Chứng minh mệnh đề 5.13.
E.8. Chứng minh mệnh đề 5.14.
E.9. Cho không gian metric (X,d)và tập hợp A⊂X bất kỳ,biên của tập Ađược định nghĩa là
∂A:= A\intA. Hãy chứng tỏ:
a) Biên của tậpAlà đóng và trùng với biên của tậpX\A.
b) Với hai tập Avà B bất kỳ trong X, ∂(A∪B) ⊂ ∂A∪∂B. Cho một ví dụ khi ∂(A∪B) ̸=
E.10. Một không gian metric(X,d)được gọi là một không giansiêu metricvàdlà mộtsiêu metric
nếud(x,z)≤max(
d(x,y),d(y,z))
với mọix,yvàztrongX. Chứng minh rằng trong không gian siêu metric, hình cầu mởB(x,r)bất kỳ đều là tập đóng.
E.11. Chứng minh hình vuông đơn vị(0, 1)×(0, 1)là tập mở trong không gian(R2,d2). E.12. Chứng minh hình tròn tâm(0, 0)bán kính 1 là tập mở trong không gian(R2,d∞).
E.13. Chứng minh trong không gianR,d(x,y) = |arctgx−arctgy|là một metric và không gian metric này là không đầy đủ.
E.14. Chứng minh không gian C[La,b] các hàm liên tục trên[a,b] với metric d(x,y) = ∫ b
a |x(t)−
y(t)|dtkhông là không gian đầy đủ.
Gợi ý:Giả sử[a,b] = [0, 1], sử dụng dãy hàm số sau:
xn(t) = 1 với0≤t< 12 n+1−2nt với 12 ≤t < 12+21n 0 với 12+21n ≤t≤1
E.15. Tìm một phủ mở của hình vuông đơn vị(0, 1)×(0, 1)mà không có một phủ con hữu hạn. E.16. Chứng minh trong không gian metric(X,d), tậpAhoàn toàn bị chặn thì cũng bị chặn. E.17. Cho không gian metric (X,d), a ∈ X cố định và định nghĩa f : X → R là f(x) = d(x,a).
Chứng minh f là liên tục.
E.18. Cho(X,dX),(Y,dY)và(Z,dZ)là các không gian metric và nếu f :X→Y,g :Y →Zlà các hàm liên tục thì hàm hợp
h=g◦f :X→ Z
định nghĩa làh(x) =g(
f(x))
cũng liên tục.
E.19. Một hàm giá trị thực f trên không gian metric X được gọi lànửa liên tục trênkhi và chỉ khi với mỗia ∈R, f−1([a,∞))là đóng, hoặcnửa liên tục dướinếu−f là nửa liên tục trên. Hãy chứng minh:
i) Hàm f là nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mọix∈ X f(x)≥lim sup
y→∞ f(y):=inf{sup{f(y):y∈U,y̸= x}:x ∈U}
với quy ướcsup∅:= −∞
ii) Hàm f là liên tục khi và chỉ khi nó là nửa liên tục cả trên lẫn dưới.
iii) Nếu f là nửa liên tục trên trong một không gian compact X thì với t ∈ X nào đó,
f(t) =supf :=sup{f(x):x ∈S}.
Gợi ý: Lấyan ∈R,an↑supf. Xét f−1((−∞,an)),n=1, 2, . . ..
E.20. Giả sửxn là một dãy trong không gian metric compact sao cho mọi dãy con hội tụ của nó đều có cùng một giới hạn làx. Chứng minh rằngxn hội tụ tớix.
5.4 Hàm số Liên tục G 119
E.21. Dựa vào Định lý 5.27, hãy chứng minh một tập con đóng và bị chặn trongRnlà compact. E.22. Chứng minh nếu f là hàm liên tục từ không gian metric(X,d)vàoRvàAlà tập compact
trongX thì tồn tạix0,y0 ∈ Asao cho f(x0)là giá trị cực đại của f trên A, f(y0)là giá trị cực tiểu của f trênA.
Phụ Lục
Chứng minh của một số định lý
Chứng minh(Chứng minh của định lý 5.16). i) Nếu U mở và x ∈ U, tồn tại một hình cầu
B(x,r)nằm trongU, khi đó tồn tạiNsao chod(x,xn)< r,∀n> Ntức làxn∈B(x,r)⊂U,∀n> N. Ngược lại, nếuUkhông mở thì tồn tại xkhông là điểm trong củaU tức mọi hình cầuB(x, 1/n)
đều có B(x, 1/n)∩UC ̸= ∅. Chọn dãy {xn} sao cho xn ∈ B(x, 1/n)∩UC, ta có xn → x nhưng
{xn}∈/Uvới mọin.
ii) Nếu có một dãy xn → x màx ∈/ [A]thì xn0 ∈/ Avớin0 nào đó. Thật vậy do x ∈ [A]c trong đó[A]cmở, theo i) tồn tạixn0 ∈[A]chayxn0 ∈/ Avớin0nào đó. Vậy mọi điểm tụ của Ađều thuộc
[A].
Ngược lại, nếu x∈ [A], thìx không là điểm trong của[A]cnên từ chứng minh của i) ta cũng xây dựng được một dãyxn→ x,{xn}∈/[A]ctức{xn} ∈[A]với mọin.
iii) Chú ý rằng Ađóng khi và chỉ khi[A] =A, và áp dụng ii).
Chứng minh(Chứng minh của định lý 5.18). Giả sử Alà đếm được và trù mật trong X. Đặt
U là tập hợp tất cả các hình cầuB(x, 1/n)với x ∈ U vàn = 1, 2, . . .. Dễ thấyU là một họ đếm được. Để chứng minh chiều thuận của định lý, ta lấy U là tập mở bất kỳ và y ∈ U. Khi đó với
m nào đó, B(y, 1/m) ⊂ U. Do Định lý (5.16) iii), lấy x ∈ A sao cho d(x,y) < 1/(2m). Khi đó
y∈ B(x, 1/(2m))⊂B(y, 1/m)⊂U, nênUlà hợp của các phần tử thuộcU mà nó chứa.
Ngược lại, giả sử tồn tại một họ đếm được U các hình cầu trong X thoả mãn giả thiết, có thể giả sử nó chứa các tập khác rỗng. Do tiên đề chọn, lấy f là một hàm trênN có tập giá trị chứa ít nhất một điểm của mỗi tập trong U. Khi đó tập giá trị này trù mật trongX. Thật vậy vớix ∈ Xbất kỳ, B(x, 1/n)luôn chứa một tập trongU nên cũng chứa một f(kn)nào đó, suy ra
d(x,f(kn))<1/n.
Chứng minh(Chứng minh của định lý 5.24). GọiU là lớp các tập mở củaRmà mỗi điểm của đoạn[a,b]thuộc ít nhất vào một tập mở củaU. Chúng ta phải chỉ ra rằng[a,b]được phủ bởi một hợp hữu hạn các tập mở củaU.
GọiSlà tập tất cả cácτ∈[a;b]mà[a;τ]được phủ bởi hữu hạn các tập mở thuộc vàoU và ký hiệu s =supS. Khi đó s ∈ W vớiW là tập mở nào đó thuộc vào U. Hơn nữaW là tập mở trong
nên tồn tạiτ∈ Sthoả mãnτ> s−δ. Từ định nghĩa củaS,[a,τ]bị phủ bởi lớp hữu hạn các tập mởV1,V2, . . . ,Vr thuộcU.
Lấyt ∈[a,b]thoả mãnτ≤t< s+δ. Khi đó
[a,t]⊂ [a,τ]∪(s−δ,s+δ)⊂V1∪V2∪ · · · ∪Vr∪W,
và do đót ∈S. Đặc biệts ∈S, và như thế thìs =b, vì nếu khôngskhông thể là cận trên của tập
S. Vậyb∈Ssuy ra[a,b]bị phủ bởi một hợp hữu hạn các tập mở thuộcU.
Chứng minh(Chứng minh của định lý 5.27). (i) suy ra (ii): Cho(X,d)là compact. Lấyr > 0
tuỳ ý, tập hợp tất cả các lân cận {B(x,r) : x ∈ X} là một phủ mở và phải có một phủ con hữu hạn. Rõ ràng tập hợp hữu hạn tâm của các hình cầu này thoả mãn tính chất của tập F trong định nghĩa của không gian hoàn toàn bị chặn. Do vậy(X,d)là hoàn toàn bị chặn.
Bây giờ lấy{xn}là dãy Cauchy bất kỳ trong V. Khi đó mỗi số nguyên dương m, tồn tại n(m)
nào đó sao chod(xn,xn(m))< 1/mvớin> n(m). ĐặtUm ={x :d(x,xn(m))> 1/m}. Khi đóUm là một tập mở. (Nếuy ∈ Um vàr := d(xn(m),y)−1/m, thì r > 0 vàB(y,r) ⊂ Um.) Vậyxn ̸∈Um với
n>n(m)do định nghĩa củan(m). Do đóxk ̸∈∪{Um : 1≤m<s}nếuk>max{n(m):m<s}. VìUm không có một phủ con hữu hạn, chúng không thể tạo thành một phủ mở củaX. Như vậy tồn tại mộtxsao cho x ̸∈Um với mọim. Suy rad(xn,xn(m))≤ 1/mvới mọim. Khi đó do bất đẳng thức tam giác, d(x,xn) ≤ 2/m. Nên limn→∞d(x,xn) = 0 và dãy {xn} hội tụ tới x. Do vậy
(X,d)là đủ cũng như hoàn toàn bị chặn, vậy (I) suy ra (II).
Tiếp theo, giả sử có (ii) và ta sẽ chứng minh (iii). Với mỗi n = 1, 2, . . ., đặt Fn là một tập con hữu hạn củaXsao cho với mọi x∈ X, ta cód(x,y)<1/nvớiy∈ Fnnào đó.
Cho Alà tập con vô hạn bất kỳ củaX. (nếuXlà hữu hạn, thì hiển nhiên (iii) là đúng.) Vì họ hữu hạn các lân cậnB(y, 1)vớiy∈ F1phủX, phải tồn tạix1 ∈ F1nào đó sao choA∩B(x1, 1)là vô hạn. Bằng quy nạp, chúng ta chọnxn ∈Fnvới mọinsao choA∩∩{B(xm, 1/m):m=1, . . . ,n}là vô hạn với mọi số nguyên dươngn. Điều này suy rad(xm,xn)<1/m+1/n<2/mkhim< n(tồn tạiy ∈ B(xm, 1/m)∩B(xn, 1/n) nào đó và d(xm,xn) < d(xm,y) +d(xn,y)). Như vậy {xn} là một dãy Cauchy. Vì(X,d)là đủ, dãy này hội tụ tớix∈ S, vàd(xn,x)<2/nvới mọi n. Do đóB(x, 3/n)
chứa B(xn, 1/n), bao gồm một tập con vô hạn của A. Vì3/n → 0khin → ∞,x là một điểm giới hạn của A. Vậy (ii) suy ra (iii).
Bây giờ giả sử có (iii). Nếu{xn}là một dãy với tập giá trị vô hạn, choxmột điểm giới hạn của tập giá trị này. Khi đó tồn tạin(1) ≤ n(2)≤ n(3) ≤ . . .sao cho d(xn(k),x) < 1/kvới mọi k, nên
xn(k)hội tụ tớixkhik→∞. Nếu{xn}có tập giá trị hữu hạn, thì tồn tại mộtxsao choxn=xvới vô hạn giá trị củan. Do đó tồn tại một dãy conxn(k) sao choxn(k)= xvới mọik, suy ra xn(k) →x. Vậy (iii) suy ra (iv).
Cuối cùng, chúng ta chứng minh (iv) suy ra (i). ChoU là một phủ mở củaX. Vớix∈S, đặt
5.4 Hàm số Liên tục G 121
Khi đó f(x)>0với mọi x∈X. Ta cần một khẳng định mạnh như sau:
5.33 Bổ đề. inf{f(x):x ∈X}>0.
Chứng minh. Giả sử bổ đề sai, tồn tại một dãy{xn}trongXsao cho f(xn)<1/nvớin=1, 2, . . .. Choxn(k)là một dãy con hội tụ tới x∈ X nào đó. Khi đó vớiU ∈U vàr >0,B(x,r)⊂U. Khi đó vớikđủ lớn sao chod(xn(k),x)<r/2, ta có f(xn(k))>r/2, mâu thuẫn vớiklớn.
Bây giờ tiếp tục chứng minh (iv) suy ra (i), đặt c:= min(1, inf{f(x): x ∈ X})> 0. Chọn bất kỳ
x1∈ S. Bằng cách quy nạp, cho trướcx1, . . . ,xn, chọnxn+1nếu có thể đểd(xn+1,xj)>c/2với mọi
j=1, . . . ,n. Nếu điều đó có thể thực hiện được với mọin, ta có một dãy{xn}vớid(xn,xm)> c/2
vàm ̸= n. Một dãy như vậy không có dãy con Cauchy và do đó không có dãy con hội tụ. Suy ra có mộtnhữu hạn sao choX=∪
j≤nB(xj,c/2). Bởi định nghĩa của f vàc, với mỗi j=1, . . . ,ntồn tại mộtUj ∈U sao choB(xj,c/2)⊂Uj. Khi đó hợp của nhữngUj này làX, vàU có một phủ con hữu hạn, kết thúc chứng minh định lý.
CHƯƠNG 6
KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH
§ 1. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN
Chúng ta đã học về không gian vectơRmtrong đại số tuyến tính. Do nhu cầu nghiên cứu về các không gian hàm số, chúng ta phải mở rộng khái niệm không gian vectơ thành lý thuyết trừu tượng tổng quát.
6/1.1 Không gian vectơ
6.1 Định nghĩa. Một tậpX(bất kỳ) được gọi là mộtkhông gian vectơtrên trường số thực nếu:
a) Tồn tại một ánh xạ từ X×X → X tương ứng mỗi cặp x,y ∈ X bất kỳ với duy nhất một phần tử củaX, được gọi làtổng của xvày, ký hiệu làx+y, và một ánh xạ từ R×X→ Xtương ứng mỗi sốα∈ Rvà phần tửx ∈ Xvới duy nhất một phần tử của Xđược gọi làtích củaxvàα, ký hiệu làαx.
b) Hai quy tắc trên thoả mãn 8 tiên đề:
1) x+y= y+x (tính giao hoán của phép cộng).
2) (x+y) +z= x+ (y+z)(tính kết hợp của phép cộng).
3) tồn tại một phần tử0 (gọi là phần tử không hay vectơ không) sao cho x+0 = x với mọi
x ∈X.
4) Với mỗix∈ Xtồn tại phần tử−x ∈X(gọi làphần tử đối củax) sao chox+ (−x) =0. 5) 1.x=x.
6) α(βx) = (αβ)x,α,β∈Rbất kỳ. 7) (α+β)x= αx+βx.
8) α(x+y) =αx+αy.
Không gian vectơ còn được gọi làkhông gian tuyến tínhvà các phần tử của nó được gọi làvectơ.
Ví dụ 6.1. Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết các không gian EuclidRk quen thuộc với
phép cộng hai vectơ và nhân vectơ với 1 số: Giả sử x = (x1,x2, . . . ,xn), y = (y1,y2, . . . ,yn) thì
x+y= (x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn);αx= (αx1,αx2, . . . ,αxn).
Ví dụ 6.2. Không gian các hàm bị chặn trên [a,b], tứcB[a,b] là không gian vectơ với hai phép
toán được định nghĩa như sau:
(x+y)(t) =x(t) +y(t),
(αx)(t) =α.x(t).
Ta đã biết x+y,αx ∈ B[a,b]với mọi x,y ∈ B[a,b],α ∈ R nên hai phép toán định nghĩa như trên là đúng đắn. Dễ dàng chứng minh được hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề trên. Ở đây vectơ không là hàmx≡0.
Ví dụ 6.3. Không gian các hàm khả tích Lebesgue trên không gian độ đo(X,F,µ), tứcL1(X,F,µ)
hayL1(X)là không gian vectơ với hai phép toán được định nghĩa tương tự như trongB[a,b]và vectơ không cũng là hàm f ≡0.
Ở chương Tích phân Lebesgue ta cũng đã biết f+g,αf ∈L1(X)với mọi f,g∈L1(X),α∈R. Tập hợp các véctơYthuộc không gian vectơXđược gọi làkhông gian concủaXnếuY̸= ∅và nó kín đối với hai phép toán vectơ :∀x,y ∈Y⇒x+y∈Y,x∈Y⇒αx∈Y,∀α∈R.
Ví dụ 6.4. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm
không tầm thường là không gian con của không gianRn.
Ví dụ 6.5. Lớp các hàm liên tục trên [a,b], tức C[a,b]là một không gian vectơ con của B[a,b].
Không gian các hàm liên tục trên [a,b]và cùng triệt tiêu tại điểm c ∈ [a,b] là một không gian con củaC[a,b].
6/1.2 Khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn
Nhận xét rằng, không gian tuyến tính luôn có một vectơ là vectơ không. Trong các không gian vectơ, để xét tới sự hội tụ, thay vì sử dụng khái niệm metric người ta thường sử dụng khái niệm chuẩn. Một chuẩn trong không gian vectơ xác định một metric và ngược lại.
6.2 Định nghĩa. Mộtkhông gian vectơ (tuyến tính) định chuẩnlà không gian vectơX, trên đó
tồn tại một hàm số từXvàoR, ký hiệu∥x∥:X→R, thoả mãn 3 tính chất: 1) ∥x∥ ≥0,∀x∈ X;∥x∥=0⇔x =0,
6.1 Không gian tuyến tính định chuẩn G 125
2) ∥αx∥=|α|∥x∥(tính thuần nhất của chuẩn), 3) ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥(bất đẳng thức tam giác), với mọix,y∈Xvàα∈R.