Cho không gian độ đo bất kỳ(X,F,µ) và một hàm f đo được không âm:
3.17 Định nghĩa. Tích phân (Lebesgue) của f(x)trên X đối với độ đoµ là giá trị (hữu hạn hoặc vô hạn) sau:
∫
X f dµ :=sup {∫
Xφdµ : 0≤ φ≤ f,hàm φlà đơn giản không âm }
.
Nếu f là hàm đo được không âm và A ∈ F thì f1A cũng là hàm đo được không âm và ta sẽ định nghĩatích phân Lebesgue của f trên Ađối với độ đoµlà giá trị
∫
A f dµ =
∫
X f.1A dµ.
Bổ đề sau cho thấy rằng tích phân Lebesgue có tính đơn điệu đối với cả hàm lấy tích phân và tập lấy tích phân.
3.18 Bổ đề. a) Nếu các f, g là các hàm đo được không âm trên không gian độ đo
(X,F,µ) và f ≤ gthì ∫
f dµ ≤∫ gdµ. (3.18)
b) Nếu f là hàm đo được không âm trên không gian độ đo (X,F,µ) và A,B ∈ F,
A⊂ Bthì ∫
A f dµ ≤∫
B f dµ.
Chứng minh. a) Nếu φlà hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ φ ≤ f thì0 ≤ φ ≤ g.
Từ định nghĩa, ta suy ra (3.18).
b) Vì f1A ≤ f1B, kết quả b) nhận được từ a).
Ví dụ 3.14. Xét không gian X = [0, 1],F = B[0, 1],µ = mvà hàm số f(x) = x. Khi đó
vớin∈ Nbất kỳ ta xét hai hàm đơn giản sau:
fn(x) = k n,gn(x) = k+1 n nếu x∈ [k n, k+1 n ), 0 ≤k <n.
3.3 Tích phân Lebesgue của hàm đo được không âm G 57 Dễ dàng thấy rằng fn(x) ≤ f(x)≤ gn(x), do đó∫ X fn(x)dm ≤∫X f(x)dm ≤∫Xgn(x)dm. Ta tính được ∫ X fn(x)dm =n−1 ∑ k=0 k n1n = n−1 2n trong khi∫ Xgn(x)dm =n−1 ∑ k=0 k+1 n 1n = n2+n1. Vậy n−1 2n ≤∫ X f(x)dm ≤ n+1 2n ,∀n∈ N⇒∫ X f(x)dm = 1 2.
Định lý sau là một định lý quan trọng về tính hội tụ của tích phân Lebesgue.
3.19 Định lý (Định lý hội tụ đơn điệu 1 (Beppo - Levi)). Nếu {fn} là dãy đơn điệu
tăng các hàm đo được không âm hội tụ đến f trên không gian độ đo (X,F,µ), thì
∫
X f dµ =lim ∫
X fndµ. (3.19)
Định lý hội tụ đơn điệu 1 chỉ hữu dụng khi xét sự hội tụ đối với tích phân của dãy các hàm đo được không âmđơn điệu. Trong khi đó, hệ quả sau của nó, được chứng minh bởi Pierre Fatou năm 1906 lại rất hữu ích khi nghiên cứu sự hội tụ đối với tích phân của dãy các hàm đo được không âmbất kỳ.
3.20 Định lý (Fatou). Cho{fn}là dãy các hàm đo được, không âm. Khi đó
∫
Xlim fndµ ≤
lim ∫
X fndµ.
Chứng minh. Đặt gn = inf{fn, fn+1, . . .}. Khi đó, {gn} là dãy hàm không âm đơn điệu
tăng đến lim fn: gm ≤ fn,∀m ≤ n. Từ tính đơn điệu của tích phân, ta suy ra∫
Xgmdµ ≤
∫
X fndµ,∀m ≤n. Theo định lý về sự hội tụ đơn điệu, ta có
∫ Xlim fndµ=lim ∫ Xgndµ ≤lim ∫ X fndµ.
Bất đẳng thức trong Bổ đề Fatou có thể xảy ra dấu nhỏ hơn thực sự. Thật vậy, xét ví dụ sau.
Ví dụ 3.15. Xét dãy hàm đo được không âm trên không gian độ đo ([0, 1],B([0, 1]),µ):
fm(x) =
m, nếu0<x < m1,
0, trong trường hợp còn lại. Khi đó lim fm = lim fm = 0 trong khi ∫
X fndµ = 1 với mỗi m, do vậy
∫
Xlim fndµ <
lim ∫
X fndµ.
Như vậy sử dụng định nghĩa ban đầu ta dễ dàng chứng minh được tính đơn điệu và hội tụ của tích phân Lebesgue hàm đo được không âm. Rõ ràng mọi hàm đo được không âm đều là giới hạn của một dãy tăng các hàm đơn giản không âm. Do đó, theo định lý 3.19, tích phân của nó sẽ bằng giới hạn của dãy tích phân các hàm đơn giản không âm hội tụ tới nó. Điều đó trùng với nhận xét ban đầu của chúng ta. Sử dụng nhận xét đó, ta sẽ sớm đạt được một tính chất hết sức quan trọng từ tích phân Lebesgue của hàm đơn giản không âm mà chúng ta muốn bảo toàn, đó là tính chất cộng tính.