6.21 Định nghĩa. Trong trường hợp toán tử tuyến tính f từ không gian vectơXvào không gian
vectơY, vớiYlà tập số thựcRhoặc phứcCthì f được gọi là mộtphiếm hàm tuyến tính trên X. Mọi tính chất của toán tử tuyến tính và dấu hiệu liên tục của nó đều áp dụng được cho phiếm hàm tuyến tính (ở đây∥f(x)∥=|f(x)|). Ta định nghĩa được chuẩn của f khi nó liên tục như sau:
∥f∥=sup
x̸=0
∥f(x)∥
∥x∥ =∥supx∥=1∥f(x)∥
Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Xlà một không gian định chuẩn ký hiệu làX∗, thường được gọi làkhông gian liên hợphay không gian đối ngẫu của X. DoRlà đủ nên không gian liên hợp của bất cứ không gian định chuẩn nào cũng là đủ, theo Định lý 6.19.
Ví dụ 6.13 (Phiếm hàm tuyến tính trênRk). Ta thấy như ở ví dụ 1 của mục 3.1, một phiếm hàm
tuyến tính f bất kỳ trênRk đều có biểu diễn dưới dạng:
f(x) =
k
∑
i=1
aixi (6.22)
trong đóx= (x1, . . . ,xk)còn a= (a1, . . . ,ak)là duy nhất ứng với f. Ký hiệu f(x) = (a,x)thường gọi làtích vô hướng của hai vectơ avàx.
Rõ ràng có một tương ứng 1-1 giữa f ∈ (RK)∗ với a ∈Rk. Ánh xạ đó bảo toàn các phép toán tuyến tính và cũng bảo toàn chuẩn do
∥f∥=∥a∥.
Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy đối với các số thực|(a,x)| ≤ ∥a∥.∥x∥, ở đây là chuẩn Euclid. Bất đẳng thức đạt dấu bằng khia=xnên ta suy ra được đẳng thức bảo toàn chuẩn.
Tóm lại ánh xạ nói trên là một đẳng cấu và có thể đồng nhất(Rk)∗vớiRk, khi đó ta nói không gianRk làtự liên hợp(không gian liên hợp của nó có thể đồng nhất với chính nó).
BÀI TẬP
F.1. Cho(X,∥ · ∥)là một không gian tuyến tính định chuẩn, chứng minhd(x,y) = ∥x−y∥
1+∥x−y∥
là một metric trênX.
F.2. Chứng minh trong không gian định chuẩnX, nếuxn→xthì∥xn∥ → ∥x∥. F.3. C1(a,b)là không gian các hàm khả vi liên tục trên[a,b]với chuẩn
∥f∥= sup
x∈[a,b]
f(x) + sup
x∈[a,b]
f′(x).
F.4. ChoXlà một không gian định chuẩn. Chứng minh:
∥x∥ ≤max{∥x+y∥,∥x−y∥}, ∀x,y∈X.
F.5. Trên không gian tuyến tínhC[a,b]tất cả các hàm liên tục trên[a,b], ánh xạ:
x(t)7→ max
a≤t≤b|x(t)|+ ∫ b
a |x(t)|dt
có thể là một chuẩn trênC[a,b]hay không? Tại sao?
F.6. ChoXlà một không gian tuyến tính định chuẩn, chuỗi∑xnđược gọi là hội tụtuyệt đốinếu
∑∥xn∥là hội tụ tới một giá trị hữu hạn trongR. Chứng minhXlà không gian Banach nếu và chỉ nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
F.7. Cho Alà toán tử tuyến tính từ Rm vào Rk, trong đó chuẩn lấy trong Rm vàRk là chuẩn max:∥x∥=max∥xi∥. Hãy tính∥A∥theo ma trận A.
F.8. Cho phiếm hàm tuyến tính δ : C[0, 1] → R xác định bởiδ(f) = f(0). Giả sử chuẩn trong
C[0, 1]là chuẩn max:∥f∥= max
0≤x≤1 f(x), hãy chứng minhδlà bị chặn và tính chuẩn của toán tửδ.
Nếu chuẩn trongC[0, 1]được cho là chuẩn∥f∥= ∫1
0 |f(x)|dx, hãy chứng minhδkhông bị chặn. F.9. Cho ma trận vuông cấp 2 A= ( 0 a2 b2 0 )
trong đóa,b>0. Hãy tính chuẩn Euclid của ma trận A.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long,Giáo trình Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001.
[2] A. N. Cônmôgôrôp, X. V. Fômin,Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập I, II, NXB Giáo Dục, 1971.
[3] Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng,Hàm số biến số thực, NXB Giáo Dục, 2003.
[4] Nguyễn Duy Tiến, Trần Đức Long,Bài giảng Giải tích, tập I, II, NXB ĐHQG Hà Nội, 2004. [5] Hoàng Tuỵ,Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003.
[6] Bài giảng Toán cao cấp 3 & 4, Bộ môn Toán cơ bản, ĐH KTQD.
[7] R. M. Dudley,Real analysis and Probability, Cambridge university press, 2002.