Chương 6 Khơng gian các hàm khả tích
6.1 Không gian tuyến tính định chuẩn
6.1.2 Khái niệm khơng gian tuyến tính định chuẩn
Nhận xét rằng, khơng gian tuyến tính ln có một vectơ là vectơ khơng. Trong các không gian vectơ, để xét tới sự hội tụ, thay vì sử dụng khái niệm metric người ta thường sử dụng khái niệm chuẩn. Một chuẩn trong không gian vectơ xác định một metric và ngược lại.
6.2 Định nghĩa. Mộtkhơng gian vectơ (tuyến tính) định chuẩnlà khơng gian vectơX, trên đó
tồn tại một hàm số từXvàoR, ký hiệu∥x∥:X→R, thoả mãn 3 tính chất: 1) ∥x∥ ≥0,∀x∈ X;∥x∥=0⇔x =0,
6.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn G 125
2) ∥αx∥=|α|∥x∥(tính thuần nhất của chuẩn), 3) ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥(bất đẳng thức tam giác), với mọix,y∈Xvàα∈R.
Giá trị∥x∥được gọi làchuẩncủa phần tửx.
Như vậy nếu đặt d(x,y) = ∥x−y∥ thì rõ ràng d là một metric trên X, ngược lại nếu d là metric trên không gian vectơX, ta xác định một chuẩn như sau∥x∥:=d(x, 0).
Ví dụ 6.6. TrongRk, ta có các chuẩn sau:
∥x∥1 = ∑k i=1|xi|, ∥x∥2 = √ ∑k i=1x2
i , hoặc nếu coixlà một vectơ cột thì∥x∥2 =x′x,
∥x∥p = ( ∑k i=1|xi|p)1/p vớip>1, ∥x∥∞ =max|xi|,i=1, 2, . . . ,k.
Ví dụ 6.7. TrongC[a,b]ta định nghĩa∥x∥∞ =supa≤t≤b|x(t)|, khi đó tương tự như trong chương
khơng gian metric, ta khẳng định đây là một chuẩn.
Ví dụ 6.8. Trong khơng gianC[a,b]ta có thể định nghĩa một chuẩn khác như sau:
∥x∥1=
b
∫
a
|x(t)|dt.
Chuẩn củax(t)−y(t)là diện tích hình bị chặn trên và dưới bởi đồ thị hai hàm này Ta dễ dàng kiểm tra được ∥αx∥1 = |α|∥x∥1 và∥x+y∥1 ≤ ∥x∥1+∥y∥1,∀x,y ∈ C[a,b],∥x∥1 ≥ 0.
Bây giờ ta phải chỉ ra nếu∥x∥1=0thì|x| ≡0.
Thật vậy nếu ∥x∥1 =0, theo chương 3|x|=0hkn. Giả sử tồn tạit0 sao chox(t0)̸=0. Khi đó
vớin ∈ Nbất kỳ, trong khoảng(
t0,t0+ 1n)
phải có một sốtnthoả mãn x(tn) =0bởi nếu khơng,
x(t) ̸= 0,∀t ∈ (t0,t0+n1)
, mâu thuẫn với giả thiết |x| = 0 hkn. Vậy ta sẽ chọn được một dãy
{tn} →t0sao chox(tn) =0, màxliên tục nên suy rax(t0) =0, vô lý. Vậyx(t) =0,∀t∈[a,b].
Chúng ta hy vọng có thể mở rộng chuẩn tích phân như trên cho khơng gian các hàm khả tích Lebesgue trên(X,F,µ). Tuy nhiên khi đó, điều kiện∫
X
Ta chỉ có thể suy ra được f =0hkn. Điều đó có thể được khắc phục nếu chúng ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi làm một.
Nhắc lại trong lớp các hàm đo được trên(X,F,µ), quan hệ sau, ký hiệu là ∼, là một quan hệ tương đương
f ∼g⇔ f = g(h.k.n).
Với f ∈ L1(X), ký hiệu f∼ = {g ∈ L1(X) : g ∼ f}- tập hợp các hàm bằng f hkn trên X, còn được gọi là lớp tương đương chứa f. Chú ý ở đây, f∼∩g∼bằng∅hoặc chính là f∼(khi f = g
h.k.n).
6.3 Định nghĩa. Lớp tất cả các tập f∼,f ∈L1(X)là một khơng gian vectơ định chuẩn, ký hiệu
là L1(X,F,µ)- hoặcL1(X)- với các phép toán được định nghĩa như sau:
f∼+g∼= (f +g)∼,
α(f∼) = (αf)∼,∀f,g∈L1(X),α∈ R.
Chuẩn trên L1(X)được xác định bởi công thức:
∥f∼∥1=
b
∫
a
|f|dm.
Định nghĩa của hai phép tốn tuyến tính trong L1(X)khơng phụ thuộc vào việc chọn hàm đại diện của lớp tương đương. Thật vậy nếu f∼= f1∼vàg∼ =g1∼thì rõ ràng(f+g)∼= (f1+g1)∼
1. Để cho đơn giản, từ nay về sau ta sẽ quy ước dùng ký hiệu f thay cho f∼ trong không gian L1. Như vậy trongL1, hai hàm f vàgbằng nhau hkn được xem là trùng nhau.