ChoXvàYlà các không gian định chuẩn, toán tử tuyến tínhAtừXvàoYlàliên tụcnếuxn→ x
trongXkéo theoAxn→ AxtrongY.
Có thể chứng minh một toán tử tuyến tính bất kỳ từRk vàoRm là liên tục do nó luôn có thể viết dưới dạng tích một ma trận với vectơ. Tuy nhiên trong không gian định chuẩn bất kỳ, không phải lúc nào các toán tử tuyến tính cũng liên tục. Chúng ta sẽ cần một số dấu hiệu để nhận biết khi nào nó là liên tục.
Toán tử tuyến tính Atừ XvàoYđược gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại hằng sốKsao cho
∥Ax∥Y ≤K∥x∥X (∀x ∈X). (6.16) Tập S trong một không gian định chuẩn được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M thoả mãn
∥x∥ ≤ M,∀x∈S.
6.17 Định lý. Cho A là một toán tử tuyến tính từ X vào Y, ta có 4 khẳng định sau là tương
đương:
1) Alà liên tục tại một điểmx0∈ X. 2) Alà liên tục trên toànX.
3) Abiến tập bị chặn thành tập bị chặn. 4) Alà bị chặn.
Chứng minh. 1) suy ra 2): Giả sử Alà liên tục tại một điểmx0 ∈X. Xét dãy xn→ xtrongX, suy raxn−x+x0→x0. Theo giả thiết thì A(xn−x+x0)→ Ax0 hay A(xn−x)→0(ở đây ta hiểu 0 là vectơ không). VậyAliên tục trên toànX.
2) suy ra 3): Ký hiệu S(M)hayS = {x ∈ X : ∥x∥X ≤ M}, ta sẽ chứng minh A(S)là một tập bị chặn. Thật vậy nếu A(S)không bị chặn, tồn tại dãyxn ∈ Ssao cho∥Axn∥Y → ∞. Suy ra dãy
yn = xn/∥Axn∥Y hội tụ tới vectơ không trong X nên Ayn hội tụ tới vectơ không trongY. Nhưng
∥Ayn∥Y = 1với mọin, vô lý. Vậy A(S)bị chặn. Nếu tập Glà bị chặn thì nó phải thuộc một tập
S(M)nào đó nên rõ ràngA(G)phải thuộc A(S)dẫn đếnA(G)bị chặn trongY.
3) suy ra 4): Giả sử Abiến S(1)thành một tập bị chặn tức tồn tại Ksao cho∥Ax∥Y ≤ Kvới mọix∈ S(1). Khi đó với x∈ Xbất kỳ,∥x∥−1
X x ∈S(1)nên∥x∥−1
X ∥Ax∥Y ≤Khay∥Ax∥Y ≤K∥x∥X. VậyAgiới nội.
6.3 Toán tử tuyến tính G 133
6.18 Định nghĩa. Số K≥ 0nhỏ nhất mà thoả mãn (6.16) được gọi làchuẩn của toán tử tuyến
tính liên tục A, ký hiệu là∥A∥. Ta có:
∥A∥=sup
x̸=0
∥Ax∥
∥x∥ =∥supx∥=1∥Ax∥.
Thật vậy, dấu bằng thứ nhất là hiển nhiên, dấu bằng thứ hai được suy ra do
∥A∥=sup x̸=0 ∥Ax∥ ∥x∥ =supx̸=0 ∥A ( x ∥x∥ ) ∥= sup ∥y∥=1 ∥Ay∥
Như vậy ta có một số tính chất của chuẩn toán tử: 1)∥Ax∥ ≤ ∥A∥.∥x∥X,∀x∈X.
2) Nếu∀x ∈X,∥Ax∥ ≤K∥x∥X thì∥A∥ ≤K.
Ví dụ 6.12. 1) Toán tử tuyến tính A : R → R sao cho Ax = ax với số a ∈ R cho trước là
liên tục (bị chặn) và∥A∥= a. Toán tử đồng nhất I : X → Xsao cho Ix = x là liên tục với
∥I∥ = 1. Hiển nhiên nếu toán tử tuyến tính A có ∥A∥ = 0 thì chắc chắn đây là toán tử khôngAx=0.
2) Cho X = C∞[a,b] là không gian các hàm có đạo hàm liên tục tại mọi cấp với chuẩn max- imum:∥x∥ = maxt∈[a,b]x(t). Toán tử đạo hàm Du = u′ là không liên tục, chẳng hạn hàm
u(t) =eλtthoả mãnDu=λu. Khi đó∥Du∥/∥u∥=λcó thể nhận giá trị lớn tuỳ ý.
3) Toán tử tuyến tính AtừRk đếnRm được xác định duy nhất bởi một ma trận Acó mhàng
kcột. Ta sẽ gọi chuẩn Euclid của ma trậnAlà chuẩn của toán tử Ađược tính như sau:
∥A∥2 = sup ∥x∥=1 ∥Ax∥hay∥A∥2 2 = sup ∥x∥2=1 ∥Ax∥2.
Tuy nhiên ta đã biết cách tính cực đại này thông qua hàm Lagrange F(λ,x) = ∥Ax∥2−
λ(∥x∥2−1) =x′A′Ax−λ(x′x−1). Các điểm dừng của hàm này phải thoả mãnA′Ax= λx. Vậyxlà một vectơ riêng vàλlà một giá trị riêng củaA′A. Chú ýA′Alà một ma trận vuông đối xứng xác định không âm do y′A′Ay= (Ay)′Ay≥ 0,∀y ∈ Rk nên mọi giá trị riêng của nó là không âm. Với x là vectơ riêng của A′Athoả mãn ∥x∥= 1, ta có∥Ax∥ = ∥λx∥= λ. Vậy giá trị lớn nhất của ∥Ax∥2 khi∥x∥ = 1, tức∥A∥2
2 chính là giá trị riêng lớn nhất của
A′A. Ký hiệu giá trị này làλ(A′A)ta có∥A∥2=√
λ(A′A) F.1. Quay lại ví dụ 3) ở mục 3.1, ta có ∥Ax∥= max t∈[a,b] ∫ b a K(t,s)x(s)ds≤ ∥x∥max t∈[a,b] ∫ b a |K(t,s)|ds, nên suy ra ∥A∥ ≤ max t∈[a,b] ∫ b a |K(t,s)|ds.