6.15 Định nghĩa. ChoX vàYlà hai không gian vectơ bất kỳ, mộttoán tử tuyến tínhtừ Xvào
Ylà một ánh xạA:X→Ythoả mãn hai tính chất: 1)A(x1+x2) = Ax1+Ax2với mọi x1,x2 ∈X. 2)A(αx) =αAxvới mọix ∈Xvà sốαbất kỳ.
Ở đây, ta viết Axký hiệu thay cho A(x). Hai điều kiện trên còn có nghĩa là Alà tuyến tính đối với phép cộng hai vectơ và phép nhân một số với vectơ. Chú ý ta đã học trong đại số tuyến tính, khiXvàYlà không gianRk thìAcòn gọi làbiến đổi tuyến tính.
Ký hiệuImAhaymiền giá trịcủa tập Alà tập tất cảy∈Y sao cho tồn tạix ∈Xđể Ax=y. Rõ ràng có thể kiểm tra được ImA là một không gian con của Y vì nó đóng với phép cộng hai vectơ và phép nhân một số với vectơ.
Ví dụ 6.11. 1) Nhớ lại rằng mọi phép biến đổi tuyến tínhAtrong không gianRk đều có thể biểu
diễn như sau: A(X) = TX trong đóXlà vectơ cột kchiều cònT là một ma trận vuông cấpk. Ta có thể mở rộng kết quả này với toán tử tuyến tính AtừRk đếnRm luôn được biểu diễn ở dạng:
A(X) =TXtrong đóTlà ma trậnmhàngkcột, các cột của Ttheo thứ tự chính là các vectơ ảnh củakvectơ đơn vịE1,E2, . . . ,Ek trongRk.
2) Với X = Y = Ck[a,b] (không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a,b]),
Ax(t) = a0(t) +a1x′(t) +· · ·+akx(k)(t)được gọi là mộttoán tử vi phân, trong đóa0,a1, . . . ,ak là những hàm số cho trước củat trongCk[a,b].
3) VớiX=Y=C[a,b],
Ax(t) = ∫ b
a K(t,s)x(s)ds
là một toán tử tuyến tính, trong đó K(t,s) là hàm số liên tục của (t,s) trong một hình vuông
4) Cáctoán tử khôngbiến mọix ∈Xthành vectơ không vàtoán tử đồng nhấtbiến mỗi vectơ
x ∈Xthành chínhx cũng là các toán tử tuyến tính.