Giáo trình toán giải tích

Giáo trình toán giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z TẠ LÊ LI - ĐỖ NGUYÊN SƠN GIẢI TÍCH 3 (Giáo Trình) -- Lưu hành nội bộ -- Y Đà Lạt 2008 Z Giải Tích 3Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên SơnMục lụcChương I. Tích phân phụ thuộc tham số1. Tích phân phụ thuộc tham số 42. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . 93. Các tích phân Euler 14Chương II. Tích phân hàm số trên đa tạp1. Đa tạp khả vi trong Rn . 192. Tích phân hàm số trên đa tạp . 24Chương III. Dạng vi phân1. Dạng k-tuyến tính phản đối xứng . 312. Dạng vi phân 333. Bổ đề Poincaré 37Chương IV. Tích phân dạng vi phân1. Đònh hướng 412. Tích phân dạng vi phân 443. Công thức Stokes 47Bài tập. . 53 4I. Tích phân phụ thuộc tham số1 Tích phân phụ thuộc tham số1.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 1. Xét hàm f(x, t)=f(x1, .,xn,t1, .,tm) xác định trên miềnX ì T Rnì Rm. Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) và với mỗi giá trị của t T cốđịnh, hàm f(x, t) khả tích theo x trên X. Khi đó tích phânI(t)=Xf(x, t)dx (1)là hàm theo biến t =(t1, .,tm), gọi là tích phân phụ thuộc tham số với mtham số t1, .,tm.1.2 Tính liên tụcĐịnh lý 1. Nếu f(x, t) liên tục trên X ì T Rnì Rm,ởđâyX, T là các tậpcompact, thì tích phânI(t)=Xf(x, t)dxliên tục trên T .Chứng minh. Cố định t0 T . Ta sẽ chứng minh với mọi >0, tồn tại >0 saocho với mọi t T , d(t, t0) <ta có | I(t) I(t0) |<.Từ định nghĩa suy ra| I(t) I(t0) |=X(f(x, t) f(x, t0))dxX| f(x, t) f(x, t0) | dx.Do f liên tục trên compact nên liên tục đều trên đó, tức là tồn tại >0 sao cho| f(x,t) f(x, t) |<v(X)với mọi (x, t), (x,t) X ì T , d((x,t), (x, t)) <.Từ đó, với d(t, t0) <ta có| I(t) I(t0) |<v(X)v(X)= . 5Ví dụ. 1) Ta có limt011x2+ t2dx =11|x|dx =1vì hàmx2+ t2liên tục trên[1, 1] ì [, ].2) Khảo sát tính liên tục tại điểm (0, 0) của hàm f(x, t)=xt2ex2t2nếu t =00 nếu t =0.Nếu f(x, t) liên tục tại (0, 0), thì f(x, t) liên tục trên [0, 1]ì [, ]. Khi đó, tíchphân I(t)=10f(x, t)dx liên tục trên [, ] . Nh-ng ta cólimt0I(t) = limt010xt2ex2t2= 12limt010ex2t2d(x2t2)= 12limt0(et2 1) =12=0=I(0).Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại (0, 0).Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợpX =[a, b].Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên [a, b]ì T , với T là tập compact và a(t),b(t)là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t),b(t) [a, b] với mọi t T . Khi đó, tíchphânI(t)=b(t)a(t)f(x, t)dxliên tục trên T .Chứng minh. Do f liên tục trên tập compact nên giới nội, tức là tồn tại M>0sao cho | f(x, y) | M với mọi (x, t) [a, b]ì T . Cố định t0 T ta có:| I(t) I(t0) |=a(t0)a(t)f(x, t)dx +b(t)b(t0)f(x, t)dx +b(t0)a(t0)[f(x, t) f(x, t0)]dxa(t0)a(t)f(x, t)dx+b(t)b(t0)f(x, t)dx+b(t0)a(t0)(f(x, t) f(x, t0))dx M | a(t) a(t0) | +M | b(t) b(t0) | +b(t0)a(t0)| f(x, t) f(x, t0) | dx. 6Khẳng định suy ra từ tính liên tục của a(t),b(t) và Định lý 1. Ví dụ. Do hàm11+x2+ t2liên tục trên [0, 1] ì [, ] và các hàm (t)=t,(t) = cos t liên tục trên [, ], ta cólimt0cos ttdx1+x2+ t2dx =10dx1+x2=4.1.3 Tính khả vi.Định lý 3. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêngfti(x, t), i =1, .,m, liên tụctrên X ì T Rnì Rm, ở đây X, T là các tập compact, thì tích phânI(t)=Xf(x, t)dxkhả vi trênoT và với mỗi i ta có:Iti(t)=Xfti(x, t)dx.Chứng minh. Với mỗi t0oT cố định ta có:I(t0+ hiei) I(t0)hi=Xf(x, t0+ hiei) f(x, t0)hidx.trong đó eilà cơ sở chính tắc của Rm. áp dụng định lý giá trị trung bình chohàm 1 biến ta có:f(x, t0+ hiei) f(x, t0)=fti(x, t0+ ihiei)hi, 0 <i< 1Khi đó :I(t0+ hiei) I(t0)hiXfti(x, t0)dx=X[fti(x, t0+ ihiei) fti(x, t0)]dx 7Sử dụng tính liên tục củafti(x, t) trên compact XìT và lý luận nh- trong chứngminh Định lý 1 suy raIti(t0) = limhi0I(t0+ hiei) I(t0)hi=Xfti(x, t)dx.Tính liên tục củaIti(t) trên T suy ra từ Định lý 1 Ví dụ. Xét I(t)=/201cos xln1+t cos x1 t cos xdx, t (1, 1). Ta có các hàmf(x, t)=1cos xln1+t cos x1 t cos xnếu x = /22t nếu x = /2ft(x, t)=21 t2cos2x,liên tục trên [0,/2] ì [1+, 1 ]. Vậy, theo định lý trênI(t)=2/20dx1 t2cos2x=20du1 t2+ u2=1 t2.Từ đó, I(t)= arcsin t + C.VìI(0) = 0, nên C =0. Vậy, I(t)= arcsin t.Định lý 4. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêngfti(x, t), i =1, .,m, liên tụctrên [a, b] ì T , ở đây T là tập compact trong Rm, (t),(t) khả vi trên T và(t),(t) [a, b] với mọi t T , thì tích phânI(t)=b(t)a(t)f(x, t)dxkhả vi trênoT và với mỗi i ta có:Iti(t)=(t)(t)fti(x, t)dx + f((t),t)ti(t) f((t),t)ti(t). 8Chứng minh. Xét hàm m +2 biếnF (t, u, v)=vuf(x, t)dx, (t, u, v) D = T ì [a, b]ì [a, b].Ta sẽ chỉ ra rằng F (t, u, v) là hàm khả vi. Với mỗi u, v cố định, từ Định lý 3,suy raFti(t, u, v)=vufti(x, t)dx.Vế phải của đẳng thức trên đ-ợc xem nh- là tich phân phụ thuộc các tham số t, u, v.Hàmfti(x, t) xem nh- là hàm theo các biến x, t, u, v liên tục trên [a, b]ì D.TừĐịnh lý 2, với a(t, u, v)=u, b(t, u, v)=v, suy raFti(t, u, v) là hàm liên tụctrên D. Ngoài ra ta còn cóFu(t, u, v)=f(u, t) vàFv(t, u, v)=f(v, t)đều là những hàm liên tục trên D. Vậy, hàm F (t, u, v) khả vi.Hàm I(t) đ-ợc xem nh- là hàm hợp I(t)=F (t, (t),(t)). Từ đó , hàm I(t)khả vi vàIti(t)=Fti(t, (t),(t)) +Fu(t, (t),(t))ti(t)+Fv(t, (t),(t))ti(t)=(t)(t)fti(x, t)dx + f((t),t)ti(t) f((t),t)ti(t).Ví dụ. Xét tích phân I(t)=sin ttetxdx. Theo Định lý trên, hàm I(t) khả vi vàI(t)=sin ttxetxdx + et sin tcos t et2. 92 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số2.1 Các định nghĩaĐịnh nghĩa 2. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a,)ì T , T R, sao cho vớimỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên [a, b], với mọi b>a. Tích phânI(t)=af(x, t)dx (1),gọi là tích phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số. Tích phân (1) gọi là hội tụtại t0nếuu tích phânaf(x, t0)dx hôi tụ, tức là tồn tại limbbaf(x, t0)dx = I(t0)hữu hạn.Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là>0,t T,a0(, t) >a, sao cho b a0=bf(x, t)<.Tích phân (1) gọi là hội tụ đều trên T nếuu>0,a0() >a, sao cho b a0,t T =bf(x, t)<.Định nghĩa 3. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a, b) ì T , T R, sao cho vớimỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên mỗi đoạn [a, b ], >0 . TíchphânJ(t)=baf(x, t)dx = lim0+baf(x, t)dx, (2)gọi là tích phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số. Tích phân (2) gọi là hội tụtại t0nếuu tích phânbaf(x, t0)dx hội tụ, tức là tồn tại lim0baf(x, t0)dx = J(t0)hữu hạn.Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là>0,t T,(, t) > 0, sao cho 0 < <=bbf(x, t)<. 10Tích phân (2) gọi là hội tụ đều trên T nếuu>0,0() > 0, sao cho 0 < <,t T =bbf(x, t)<.Chú ý. 1) T-ơng tự, ta định nghĩaI(t)=bf(x, t)dx = limabaf(x, t)f(x, t),J(t)=baf(x, t)dx = lim0+ba+f(x, t)f(x, t),và cũng có khái niệm hội tụ, hội tụ đều t-ơng ứng.2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại 2 đ-ợc thực hiệnhoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa các khái niệm đến các tính chất.Do đó, trong mục này, ta chỉ khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham sốI(t)=af(x, t)dx.Ví dụ. Xét tích phân I(t)=0textdx. Khi đóa) I(t) hội tụ trên (0,) vì>0,t T,a0=ln t,b>a0=btext= ebt<.b) I(t) không hội tụ đều trên (0,) vì với (0, 1), với mọi a0> 0, nếu chọnb = a0và t từ bất đẳng thức 0 <t<ln a0, thì ta cóbtext= ebt>.c) I(t) hội tụ đều trên Tr=[r,), với r>0. Thật vậy, ta có>0,a0=ln r,b a0,t Tr=btext= ebt<ea0r<. [...]... ràng 2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ TRÊN ĐA TẠP 2.1 Độ dài, diện tích, thể tích trong R 3 Trong R3 , có trang bò tích vô hướng Euclid < ·, · >, nên có khái niệm độ dài và vuông góc Độ dài vector T = (xt, yt , zt): T = x2 + yt2 + zt2 t 25 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp Diện tích hình bình hành tạo bởi u = (xu , yu , zu ), dt(u, v) = u v⊥ = u × v u 2 < u, v > < v, u > v 2 = trong đó v = v + v⊥ là phân tích: v... · · · duk 2.6 Tích phân hàm trên đa tạp Cho f : M → R là hàm trên đa tạp khả vi k chiều Sau đây ta xây dựng tích phân của f trên M (còn gọi là tích phân loại 1) Nếu M = ϕ(U ) với (ϕ, U ) là tham số hóa, thì đònh nghóa M f dV = U f ◦ ϕ det Gϕ , M f dV trong đó Gϕ = (< Diϕ, Dj ϕ >)1≤i,j≤k Khi k = 1 tích phân trên gọi là tích phân đường và ký hiệu M f dl Khi k = 2 tích phân trên gọi là tích phân mặt... zu zv Khi đó đònh nghóa diện tích của S : dt(S) = S dS = U EG − F 2 dudv 2.5 Phần tử thể tích - Thể tích hình khối Cho H là hình khối cho bởi tham số hoá ϕ : A → R3 , ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Để tính thể tích H , bằng lập luận tương tự như các phần trên, ta có các đònh nghóa: Phần tử thể tích: dV = tt(D1 ϕ, D2 ϕ, D3 ϕ)dudvdw = | det Jϕ|dudvdw Thể tích H : V (H) = H dV = A |... 2.4 Phần tử diện tích - Diện tích mặt Cho S ⊂ R 3 là mặt cong cho bởi tham số hoá ϕ : U → R3 , ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Ta cần tính diện tích của mặt S Gỉa sử U có thể phân hoạch bởi các hình chữ nhật bé Ui = [ui , ui +∆ui ]×[vi , vi +∆vi ] Khi đó dt(S) = i dt(ϕ(Ui)) Khi ∆ui , ∆vi bé, thì dt(ϕ(Ui )) ∼ dt(D1 ϕ(ui , vi )∆ui , D2 ϕ(ui , vi )∆vi ) Đònh nghóa phần tử diện tích : dS = dt(D1... Chứng minh: Với các ký hiệu ở phần trên, bài toán tìm cực trò của f |M tương đương bài toán tìm cực trò của f ◦ϕ Do f (a)ϕ (b) = 0, tính đạo hàm cấp 2, ta có H(f ◦ϕ)(a)(h) = Hf (a)(ϕ (b)h) (Bài tập) Do Fi ◦ ϕ = 0, ta có H(Fi ◦ ϕ) = 0 và theo tính toán trên H(Fi ◦ ϕ)(b)(h) = HFi (a)(ϕ (b)(h) Suy ra Hx L(a, λ)|Ta M = H(f ◦ ϕ)(b)|TaM Từ điều kiện đủ của bài toán cực trò đòa phương ta có kết qủa Ví dụ... ϕ)dudvdw = | det Jϕ|dudvdw Thể tích H : V (H) = H dV = A | det Jϕ|dudvdw Bây giờ ta tổng quát hoá các khái niệm trên 27 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp 2.6 Phần tử thể tích trên đa tạp Cho M ⊂ R n là đa tạp khả vi k chiều Phần tử thể tích trên M là ánh xạ dV : M x → dV (x) = thể tích k chiều hạn chế trên Tx M Giảø sử (ϕ, U ) là một tham số hoá của M tại x = ϕ(u1 , · · · , uk ) Khi đó dV (x)(D1 ϕ(x)∆u1... ¨ u Chứng minh: Tương tự công thức cho diện tích (Bài tập) 2.2 Thể tích k chiều trong R n Trong Rn có trang bò tích vô hướng Euclid Thể tích k chiều của hình bình hành tạo bởi v1 , · · · , vk ∈ Rn , được đònh nghóa qui nạp theo k: ⊥ V1 (v1 ) = v1 , Vk (v1 , · · · , vk ) = Vk−1 (v1 , · · · , vk−1 ) vk ⊥ trong đó vk = vk + vk là phân tích: sinh bởi v1 , · · · , vk−1 vk là hình chiếu vuông góc của vk... bởi hệ phương trình và bất phương trình ⊂ Rn M = {x ∈ V : F1 (x) = · · · = Fm (x) = 0, Fm+1 (x) ≥ 0} ∂M = {x ∈ V : F1 (x) = · · · = Fm (x) = Fm+1 (x) = 0} Giả sử rank (DF1 , · · · , DFm )(x) = m, ∀x ∈ M , và rank (DF1 , · · · , DFm+1 )(x) = m + 1, ∀x ∈ ∂M Khi đó M là đa tạp khảø vi, n − m chiều, lớp C p , có bờ ∂M Chứng minh: Tương tự 1.4 Ví dụ Trong R3 hình cầu đóng B cho bởi bất phương trình: x 2... (x, y, z) = x + y + z , với điều kiện x2 + y2 = 1, x + z = 1 Trước hết, ta thấy điều kiện ràng buộc xác đònh một đa tạp (Ellip E) 24 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp Lập hàm Lagrange L(x, y, z, λ1, λ2 ) = x + y + z − λ1 (x2 + y2 − 1) − λ2 (x + z − 1) Giải hệ phương trình   ∂L    ∂x    ∂L                ∂y ∂L ∂z = 1 − 2λ1 x −λ2 = 0 = 1 − 2λ1 y = 0 −λ2 = 0 = 1 x2 y2 + −1 x+z−1 =... Các vector D1 ϕ(u), · · · , Dk ϕ(u) gọi là các vector tiếp xúc của M tại ϕ(u) Ta có phương trình tham số của k- phẳng tiếp xúc với M tại ϕ(u0 ): x = ϕ(u0 ) + t1 D1 ϕ(u0 + · · · + tk Dk ϕ(u0 ), (t1 , · · · , tk ) ∈ Rk 1.4 Cho đa tạp bởi hệ phương trình Cho tập mở F 1 , · · · , Fm : V → R Xét tập cho bởi hệ phương trình V ⊂ Rn M = {x ∈ V : F1 (x) = · · · = Fm (x) = 0} và các hàm lớp C p 21 II.1 Đa tạp . KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z TẠ LÊ LI - ĐỖ NGUYÊN SƠN GIẢI TÍCH 3 (Giáo Trình) . Giải Tích 3Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên SơnMục lụcChương I. Tích phân phụ thuộc tham số1. Tích phân phụ thuộc tham số ................................ 42. Tích