Giáo trình giải tích 3

Giáo trình giải tích 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z TẠ LÊ LI - ĐỖ NGUYÊN SƠN GIẢI TÍCH 3 (Giáo Trình) -- Lưu hành nội bộ -- Y Đà Lạt 2008 Z Giải Tích 3Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên SơnMục lụcChương I. Tích phân phụ thuộc tham số1. Tích phân phụ thuộc tham số 42. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . 93. Các tích phân Euler 14Chương II. Tích phân hàm số trên đa tạp1. Đa tạp khả vi trong Rn . 192. Tích phân hàm số trên đa tạp . 24Chương III. Dạng vi phân1. Dạng k-tuyến tính phản đối xứng . 312. Dạng vi phân 333. Bổ đề Poincaré 37Chương IV. Tích phân dạng vi phân1. Đònh hướng 412. Tích phân dạng vi phân 443. Công thức Stokes 47Bài tập. . 53 4I. Tích phân phụ thuộc tham số1 Tích phân phụ thuộc tham số1.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 1. Xét hàm f(x, t)=f(x1, .,xn,t1, .,tm) xác định trên miềnX ì T Rnì Rm. Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) và với mỗi giá trị của t T cốđịnh, hàm f(x, t) khả tích theo x trên X. Khi đó tích phânI(t)=Xf(x, t)dx (1)là hàm theo biến t =(t1, .,tm), gọi là tích phân phụ thuộc tham số với mtham số t1, .,tm.1.2 Tính liên tụcĐịnh lý 1. Nếu f(x, t) liên tục trên X ì T Rnì Rm,ởđâyX, T là các tậpcompact, thì tích phânI(t)=Xf(x, t)dxliên tục trên T .Chứng minh. Cố định t0 T . Ta sẽ chứng minh với mọi >0, tồn tại >0 saocho với mọi t T , d(t, t0) <ta có | I(t) I(t0) |<.Từ định nghĩa suy ra| I(t) I(t0) |=X(f(x, t) f(x, t0))dxX| f(x, t) f(x, t0) | dx.Do f liên tục trên compact nên liên tục đều trên đó, tức là tồn tại >0 sao cho| f(x,t) f(x, t) |<v(X)với mọi (x, t), (x,t) X ì T , d((x,t), (x, t)) <.Từ đó, với d(t, t0) <ta có| I(t) I(t0) |<v(X)v(X)= . 5Ví dụ. 1) Ta có limt011x2+ t2dx =11|x|dx =1vì hàmx2+ t2liên tục trên[1, 1] ì [, ].2) Khảo sát tính liên tục tại điểm (0, 0) của hàm f(x, t)=xt2ex2t2nếu t =00 nếu t =0.Nếu f(x, t) liên tục tại (0, 0), thì f(x, t) liên tục trên [0, 1]ì [, ]. Khi đó, tíchphân I(t)=10f(x, t)dx liên tục trên [, ] . Nh-ng ta cólimt0I(t) = limt010xt2ex2t2= 12limt010ex2t2d(x2t2)= 12limt0(et2 1) =12=0=I(0).Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại (0, 0).Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợpX =[a, b].Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên [a, b]ì T , với T là tập compact và a(t),b(t)là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t),b(t) [a, b] với mọi t T . Khi đó, tíchphânI(t)=b(t)a(t)f(x, t)dxliên tục trên T .Chứng minh. Do f liên tục trên tập compact nên giới nội, tức là tồn tại M>0sao cho | f(x, y) | M với mọi (x, t) [a, b]ì T . Cố định t0 T ta có:| I(t) I(t0) |=a(t0)a(t)f(x, t)dx +b(t)b(t0)f(x, t)dx +b(t0)a(t0)[f(x, t) f(x, t0)]dxa(t0)a(t)f(x, t)dx+b(t)b(t0)f(x, t)dx+b(t0)a(t0)(f(x, t) f(x, t0))dx M | a(t) a(t0) | +M | b(t) b(t0) | +b(t0)a(t0)| f(x, t) f(x, t0) | dx. 6Khẳng định suy ra từ tính liên tục của a(t),b(t) và Định lý 1. Ví dụ. Do hàm11+x2+ t2liên tục trên [0, 1] ì [, ] và các hàm (t)=t,(t) = cos t liên tục trên [, ], ta cólimt0cos ttdx1+x2+ t2dx =10dx1+x2=4.1.3 Tính khả vi.Định lý 3. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêngfti(x, t), i =1, .,m, liên tụctrên X ì T Rnì Rm, ở đây X, T là các tập compact, thì tích phânI(t)=Xf(x, t)dxkhả vi trênoT và với mỗi i ta có:Iti(t)=Xfti(x, t)dx.Chứng minh. Với mỗi t0oT cố định ta có:I(t0+ hiei) I(t0)hi=Xf(x, t0+ hiei) f(x, t0)hidx.trong đó eilà cơ sở chính tắc của Rm. áp dụng định lý giá trị trung bình chohàm 1 biến ta có:f(x, t0+ hiei) f(x, t0)=fti(x, t0+ ihiei)hi, 0 <i< 1Khi đó :I(t0+ hiei) I(t0)hiXfti(x, t0)dx=X[fti(x, t0+ ihiei) fti(x, t0)]dx 7Sử dụng tính liên tục củafti(x, t) trên compact XìT và lý luận nh- trong chứngminh Định lý 1 suy raIti(t0) = limhi0I(t0+ hiei) I(t0)hi=Xfti(x, t)dx.Tính liên tục củaIti(t) trên T suy ra từ Định lý 1 Ví dụ. Xét I(t)=/201cos xln1+t cos x1 t cos xdx, t (1, 1). Ta có các hàmf(x, t)=1cos xln1+t cos x1 t cos xnếu x = /22t nếu x = /2ft(x, t)=21 t2cos2x,liên tục trên [0,/2] ì [1+, 1 ]. Vậy, theo định lý trênI(t)=2/20dx1 t2cos2x=20du1 t2+ u2=1 t2.Từ đó, I(t)= arcsin t + C.VìI(0) = 0, nên C =0. Vậy, I(t)= arcsin t.Định lý 4. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêngfti(x, t), i =1, .,m, liên tụctrên [a, b] ì T , ở đây T là tập compact trong Rm, (t),(t) khả vi trên T và(t),(t) [a, b] với mọi t T , thì tích phânI(t)=b(t)a(t)f(x, t)dxkhả vi trênoT và với mỗi i ta có:Iti(t)=(t)(t)fti(x, t)dx + f((t),t)ti(t) f((t),t)ti(t). 8Chứng minh. Xét hàm m +2 biếnF (t, u, v)=vuf(x, t)dx, (t, u, v) D = T ì [a, b]ì [a, b].Ta sẽ chỉ ra rằng F (t, u, v) là hàm khả vi. Với mỗi u, v cố định, từ Định lý 3,suy raFti(t, u, v)=vufti(x, t)dx.Vế phải của đẳng thức trên đ-ợc xem nh- là tich phân phụ thuộc các tham số t, u, v.Hàmfti(x, t) xem nh- là hàm theo các biến x, t, u, v liên tục trên [a, b]ì D.TừĐịnh lý 2, với a(t, u, v)=u, b(t, u, v)=v, suy raFti(t, u, v) là hàm liên tụctrên D. Ngoài ra ta còn cóFu(t, u, v)=f(u, t) vàFv(t, u, v)=f(v, t)đều là những hàm liên tục trên D. Vậy, hàm F (t, u, v) khả vi.Hàm I(t) đ-ợc xem nh- là hàm hợp I(t)=F (t, (t),(t)). Từ đó , hàm I(t)khả vi vàIti(t)=Fti(t, (t),(t)) +Fu(t, (t),(t))ti(t)+Fv(t, (t),(t))ti(t)=(t)(t)fti(x, t)dx + f((t),t)ti(t) f((t),t)ti(t).Ví dụ. Xét tích phân I(t)=sin ttetxdx. Theo Định lý trên, hàm I(t) khả vi vàI(t)=sin ttxetxdx + et sin tcos t et2. 92 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số2.1 Các định nghĩaĐịnh nghĩa 2. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a,)ì T , T R, sao cho vớimỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên [a, b], với mọi b>a. Tích phânI(t)=af(x, t)dx (1),gọi là tích phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số. Tích phân (1) gọi là hội tụtại t0nếuu tích phânaf(x, t0)dx hôi tụ, tức là tồn tại limbbaf(x, t0)dx = I(t0)hữu hạn.Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là>0,t T,a0(, t) >a, sao cho b a0=bf(x, t)<.Tích phân (1) gọi là hội tụ đều trên T nếuu>0,a0() >a, sao cho b a0,t T =bf(x, t)<.Định nghĩa 3. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a, b) ì T , T R, sao cho vớimỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên mỗi đoạn [a, b ], >0 . TíchphânJ(t)=baf(x, t)dx = lim0+baf(x, t)dx, (2)gọi là tích phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số. Tích phân (2) gọi là hội tụtại t0nếuu tích phânbaf(x, t0)dx hội tụ, tức là tồn tại lim0baf(x, t0)dx = J(t0)hữu hạn.Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là>0,t T,(, t) > 0, sao cho 0 < <=bbf(x, t)<. 10Tích phân (2) gọi là hội tụ đều trên T nếuu>0,0() > 0, sao cho 0 < <,t T =bbf(x, t)<.Chú ý. 1) T-ơng tự, ta định nghĩaI(t)=bf(x, t)dx = limabaf(x, t)f(x, t),J(t)=baf(x, t)dx = lim0+ba+f(x, t)f(x, t),và cũng có khái niệm hội tụ, hội tụ đều t-ơng ứng.2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại 2 đ-ợc thực hiệnhoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa các khái niệm đến các tính chất.Do đó, trong mục này, ta chỉ khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham sốI(t)=af(x, t)dx.Ví dụ. Xét tích phân I(t)=0textdx. Khi đóa) I(t) hội tụ trên (0,) vì>0,t T,a0=ln t,b>a0=btext= ebt<.b) I(t) không hội tụ đều trên (0,) vì với (0, 1), với mọi a0> 0, nếu chọnb = a0và t từ bất đẳng thức 0 <t<ln a0, thì ta cóbtext= ebt>.c) I(t) hội tụ đều trên Tr=[r,), với r>0. Thật vậy, ta có>0,a0=ln r,b a0,t Tr=btext= ebt<ea0r<. [...]... là ký số (= sign i, v ∈ R3 , là dạng 1-tuyến tính trên R3 (công của F dọc theo v) b) ωF (v1 , v2 ) =< F, v1 × v2 >, v1 , v2 ∈ R3 , là dạng 2-tuyến tính phản đối xứng trên R3 (thông lượng của F qua hình... ràng 2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ TRÊN ĐA TẠP 2.1 Độ dài, diện tích, thể tích trong R 3 Trong R3 , có trang bò tích vô hướng Euclid < ·, · >, nên có khái niệm độ dài và vuông góc Độ dài vector T = (xt, yt , zt): T = x2 + yt2 + zt2 t 25 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp Diện tích hình bình hành tạo bởi u = (xu , yu , zu ), dt(u, v) = u v⊥ = u × v u 2 < u, v > < v, u > v 2 = trong đó v = v + v⊥ là phân tích: v... zu zv Khi đó đònh nghóa diện tích của S : dt(S) = S dS = U EG − F 2 dudv 2.5 Phần tử thể tích - Thể tích hình khối Cho H là hình khối cho bởi tham số hoá ϕ : A → R3 , ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Để tính thể tích H , bằng lập luận tương tự như các phần trên, ta có các đònh nghóa: Phần tử thể tích: dV = tt(D1 ϕ, D2 ϕ, D3 ϕ)dudvdw = | det Jϕ|dudvdw Thể tích H : V (H) = H dV = A |... · · · duk 2.6 Tích phân hàm trên đa tạp Cho f : M → R là hàm trên đa tạp khả vi k chiều Sau đây ta xây dựng tích phân của f trên M (còn gọi là tích phân loại 1) Nếu M = ϕ(U ) với (ϕ, U ) là tham số hóa, thì đònh nghóa M f dV = U f ◦ ϕ det Gϕ , M f dV trong đó Gϕ = (< Diϕ, Dj ϕ >)1≤i,j≤k Khi k = 1 tích phân trên gọi là tích phân đường và ký hiệu M f dl Khi k = 2 tích phân trên gọi là tích phân mặt... 2.4 Phần tử diện tích - Diện tích mặt Cho S ⊂ R 3 là mặt cong cho bởi tham số hoá ϕ : U → R3 , ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Ta cần tính diện tích của mặt S Gỉa sử U có thể phân hoạch bởi các hình chữ nhật bé Ui = [ui , ui +∆ui ]×[vi , vi +∆vi ] Khi đó dt(S) = i dt(ϕ(Ui)) Khi ∆ui , ∆vi bé, thì dt(ϕ(Ui )) ∼ dt(D1 ϕ(ui , vi )∆ui , D2 ϕ(ui , vi )∆vi ) Đònh nghóa phần tử diện tích : dS = dt(D1... · , vk ) = (< vi , vj >)1≤i,j≤k là ma trận Gramm Khi đó Vk (v1 , · · · , vk ) = det G(v1 , · · · , vk ) 26 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp Chứng minh: Tương tự công thức cho diện tích (Bài tập) 2 .3 Phần tử độ dài - Độ dài đường cong Cho C ⊂ R3 là đường cong cho bởi tham số hoá ϕ : I → R3 , ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)) Ta cần tính độ dài l(C) của đường cong Phân hoạch I thành các đoạn con Ii = [ti ,... p ∞ Dễ thấy Ωk (U ) có cấu trúc không gian vector p Ví dụ Cho U ⊂ R3 và F : U → R3 là một trường vector Khi đó các dạng vi phân sau được dùng để đánh giá thông lượng của F dọc theo một đường hay qua một mặt a) WF : U → Λ1 (R3 ), WF (x, y, z)(v) =< F (x, y, z), v > b) ωF : U → Λ2 (R3 ), ω(x, y, z)(v1, v2 ) =< F (x, y, z), v1 × v2 > 34 III.2 Dạng vi phân Cho f : U → R là hàm lớp C p+1 Khi đó với mọi... ϕ)dudvdw = | det Jϕ|dudvdw Thể tích H : V (H) = H dV = A | det Jϕ|dudvdw Bây giờ ta tổng quát hoá các khái niệm trên 27 II.2 Tích phân hàm số trên đa tạp 2.6 Phần tử thể tích trên đa tạp Cho M ⊂ R n là đa tạp khả vi k chiều Phần tử thể tích trên M là ánh xạ dV : M x → dV (x) = thể tích k chiều hạn chế trên Tx M Giảø sử (ϕ, U ) là một tham số hoá của M tại x = ϕ(u1 , · · · , uk ) Khi đó dV (x)(D1 ϕ(x)∆u1... ¨ u Chứng minh: Tương tự công thức cho diện tích (Bài tập) 2.2 Thể tích k chiều trong R n Trong Rn có trang bò tích vô hướng Euclid Thể tích k chiều của hình bình hành tạo bởi v1 , · · · , vk ∈ Rn , được đònh nghóa qui nạp theo k: ⊥ V1 (v1 ) = v1 , Vk (v1 , · · · , vk ) = Vk−1 (v1 , · · · , vk−1 ) vk ⊥ trong đó vk = vk + vk là phân tích: sinh bởi v1 , · · · , vk−1 vk là hình chiếu vuông góc của vk . GIẢI TÍCH 3 (Giáo Trình) -- Lưu hành nội bộ -- Y Đà Lạt 2008 Z Giải. 1)!. 1 63. 2 Tích phân Euler loại 23. 2.1 Định nghĩaTích phân Euler loại 2 hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc tham số dạng(p)=0xp1exdx, p > 0 .3. 2.2 Các