Giáo trình giải tích 2

Giáo trình giải tích 2

GII TCH (C S)Phn 3. o V Tớch PhõnĐ3. TCH PHN THEO LEBESGUEChuyờn ngnh: Gii Tớch, PPDH Toỏn(Phiờn bn ó chnh sa)PGS TS Nguyn Bớch HuyNgy 1 thỏng 3 nm 20061 PHN Lí THUYT1. iu kin kh tớch theo RiemannNu hm f kh tớch trờn [a, b] theo ngha tớch phõn xỏc nh thỡ ta cng núi f kh tớchtheo Riemann hay (R)kh tớch.nh lý 1Hm f kh tớch Riemann trờn [a, b] khi v ch khi nú tha món hai iiu kin sau :i. f b chn.ii. Tp cỏc im giỏn on ca f trờn [a, b] cú o Lebesgue bng 0.2. nh ngha tớch phõn theo LebesgueCho khụng gian o (X, F, à) v A F, f : A R l hm o c(a) Nu f l hm n gin, khụng õm trờn A v f =ni=nai.1Aivi Ai F, Ai Aj=ứ (i = j) vni=1Ai= A thỡ ta nh ngha tớch phõn ca f trờn A theo o à bi :Afdà :=ni=naià(Ai)(b) Nu f l hm o c, khụng õm thỡ tn ti dóy cỏc hm n gin, khụng õm fnsao chofn(x) fn+1(x), limnfn(x) = f(x) x AKhi ú ta nh nghaAfdà = limnAfndàChỳ ý rng, tớch phõn hm o c khụng õm luụn tn ti, l s khụng õm v cúth bng +1 (c) Nếu f là hàm đo được thì f+(x) = max{f(x), 0}, f−(x) = max{−f(x), 0} là cáchàm đo được, không âm và ta có f(x) = f+(x) − f−(x). Nếu ít nhất một trong cáctích phânAf+dµ,Af−dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩaAfdµ =Af+dµ −Af−dµTa nói f khả tích trên A nếuAfdµ tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phânAf+dµ,Af−dµ là số hữu hạn).3. Các tính chấtCho không gian độ đo (X, F, µ)3.1 Một số các tính chất quen thuộc :Giả sử A ∈ F và f, g là các hàm đo được, không âm trên A hoặc khả tích trên A.Khi đó ta có•A(f + g)dµ =Afdµ +AgdµAcfdµ = cAfdµ ∀c ∈ R• Nếu f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thìAfdµ ≤Agdµ• Nếu A = A1∪ A2với A1, A2∈ F, A1∩ A2= ø thìAfdµ =A1fdµ +A2fdµ3.2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O. Khái niệm "hầu khắp nơi"Định nghĩaGiả sử P (x) là một tính chất phát biểu cho mỗi x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì hoặc P (x)đúng hoặc P (x) sai. Ta nói tính chất P (x) đúng (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắthkn) trên tập A nếu tậpB = {x ∈ A : P (x) không đúng}được chứa trong một tập C ∈ F mà µ(C) = 0 (hoặc µ(B) = 0 nếu đã biết B ∈ F).Ví dụ1) Giả sử f, g đo được trên A. Ta cóB := {x ∈ A : f(x) = g(x)} ∈ FDo vậy ta nói "f(x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0.2) Nếu f đo được trên A thì tập B = {x ∈ A : |f(x)| = +∞} thuộc F. Ta nói "fhữu hạn hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0.2 3) Cho các hàm đo được fn, f (n = 1, 2, . . .). Ta nói "Dãy {fn} hội tụ hkn trên Avề F thì có nghĩa B = {x ∈ A : fn(x) → f(x)} có độ đo 0.Sự không phụ thuộc tập độ đo 0Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thìAfdµ = 0. Do đó :• Nếu f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thìA∪Bgdµ =Afdµ• Nếu f, g đo được trên A, f(x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thìAgdµ =Afdµ3.3 Nếu f đo được, không âm trên A vàAfdµ = 0 thì f(x) = 0 hkn trên A.3.4 Nếu f khả tích trên A thì f(x) hữu hạn hkn trên A3.5 Tính chất σ−cộngGiả sử An∈ F (n ∈ N∗), An∩ Am= ø (n = m) và f là hàm đo được, không âmhoặc khả tích trên A =∞n=1An. Khi đóAfdµ =∞n=1Anfdµ3.6 Một số điều kiện khả tích:• Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A.• Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f(x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tíchtrên A.• Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A.4. Qua giới hạn dưới dấu tích phânĐịnh lý Levi (hội tụ đơn điệu)Giả sử :i. fn(n ∈ N∗) là các hàm đo được trên A và0 < fn(x) < fn+1(x), x ∈ Aii. limn→∞fn(x) = f(x) x ∈ AKhi đó limn→∞Afndµ =Afdµ(một cách hình thức limAfndµ =Alim fndµ)Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn)Giả sử :i. Các hàm fnđo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho |fn(x)| ≤g(x) ∀n ∈ N∗,∀x ∈ A3 ii. limn→∞fn(x) = f(x) x ∈ AKhi đóAfdµ = limn→∞AfdµGhi chúDo sự không phụ thuộc vào tập độ đo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiệni., ii. trong định lý Levi và Lebesgue chỉ cần đúng hkn trên A.5. Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân LebesgueNếu A ⊂ R là tập (L)−đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu(L)Af(x)dx hoặc (L)baf(x)dx nếu A = [a, b].Định lý1) Nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì f cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b]và ta có(L)baf(x)dx = (R)baf(x)dx2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng trên [a, b] (hoặc trên [a,∞]) và là hàm không âmthì f khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a,∞]) và ta có :(R)baf(x)dx = (L)baf(x)dx(R)∞af(x)dx = (L)∞af(x)dx2 PHẦN BÀI TẬPTrong các tập dưới đây ta luôn giả thiết có một không gian độ đo (X, F, µ). Các tập được xétluôn thuộc FBài 1Cho hàm f đo được trên A, hàm g, h khả tích trên A sao cho g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A.Chứng minh f khả tích trên A.GiảiTa cóf+≤ h+, f−≤ g−( vì g ≤ f ≤ h)⇒Af+dµ ≤Ah+dµ,Af−≤Ag−dµCác tích phân ở vế phải hữu hạn nênAf±dµ < ∞. Suy ra f khả tích. (Bài này cũng có thểgiải dựa vào bất đẳng thức |f(x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|)Bài 24 1. Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A. Xét các hàmfn(x) =f(x), nếu f(x) ≤ nn, nếu f(x) > n(n ∈ N∗)Chứng minh limn→∞Afndµ =Afdµ2. Ứng dụng kết quả trên để tính (L)10dx√xGiải1. Ta dễ dàng kiểm tra rằng fn(x) = min{n, f(x)}. Do đó :• fn(x) đo được, không âm.• fn(x) = min{n, f(x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = fn+1(x)• limn→∞fn(x) = min{ limn→∞n, f(x)} = min{+∞, f(x)} = f(x)Áp dụng định lý Levi ta có đpcm.2. Đặt f(x) =1√x, x ∈ (0, 1], f(0) = +∞. Ta dễ dàng tìm đượcfn(x) =1√x, nếu x ∈ [1n2, 1]n nếu x ∈ [0,1n2](L)10fn(x)dx = (R)10fn(x)dx = 2 −1nTheo câu 1) ta có(L)10f(x)dx = limn→∞10fn(x)dx = 2.Bài 3Cho hàm f khả tích trên A. Ta xây dựng các hàm fnnhư sau :fn(x) =f(x), nếu |f(x)| ≤ nn, nếu f(x) > n−n, nếu f(x) < −nChứng minh limn→∞Afndµ =AfdµGiảiTa dễ thấy fn(x) = min{n, max{−n, f(x)}}. Từ đây ta suy ra :5 fno c, |fn| |f| n N limnfn(x) = min{+, max{, f(x)}} = f(x) x Ap dng nh lý Lebesgue ta cú pcm.Bi 4Cho l hm o c, khụng õm trờn X. Ta nh ngha :(A) =Adà, A F1. Chng minh l o.2. Gi s f l hm o c, khụng õm trờn X. Chng minhXfd =XfdàGii1. Vỡ l hm o c, khụng õm nờnAdà tn ti, khụng õm. Chỳ ý rngAdà = 0 nu à(A) = 0, ta cú () = 0 S dng tớnh cht cng ca tớch phõn ta suy ra cú tớnh cng2. u tiờn ta kim tra rng ng thc ỳng khi f l hm n gin, khụng õm :f =ni=1ai1Ai, Ai Aj= ứ(i = j),ni=1Ai= X.Tht vyXfd =ni=1ai(Ai)Xfdà =ni=1aiX1Aidà =ni=1aiAidàT õy ta cú pcm. Nu f o c, khụng õm thỡ tn ti dóy cỏc hm n gin fn0 fn fn+1, lim fn= f.Ta cú :Xfnd =Xfnfà n N (do bc trờn)limXfnd =Xfd, limXfndà =Xfdà(Do nh lý Levi)T õy ta cú pcm.6 Bài 5Cho các hàm f, g khả tích trên A. Với n ∈ N ta đặt : An= {x ∈ A : n ≤ |f(x)| < n + 1}Bn= {x ∈ A : |f(x)| ≥ n}Chứng minh :1. limn→∞Angdµ = 02.∞n=1nµ(An) < +∞3. limn→∞nµ(Bn) = 0GiảiTa dễ kiểm tra được An∩ Am= ø (n = m)∞n=0An= A1. Do tính chất σ−cộng, ta có:∞n=0Angdµ =Agdµ ∈ R.Từ đây ta có đpcm (do điều kiện cần của sự hội tụ của chuỗi)2. Cũng do tính chất σ−cộng, ta có:∞n=0An|f|dµ =A|f|dµ < ∞.Kết hợp đánh giáAn|f|dµ ≥ nµ(An), ta có đpcm.3. Đặt Γn=∞k=nkµ(Ak) ta có :limn→∞Γn= 0 (do câu 2)Γn≥ n∞k=nµ(Ak) = nµ(Bn)Từ đây ta có đpcm.Bài 6Giả sử µ(X) < ∞. Ta kí hiệu M là tập các hàm đo được, hữu hạn trên X. Trong M ta địnhnghĩa quan hệ ” = ” như sau : f = g ⇔ f(x) = g(x)hkn trên X. Ta định nghĩa :d(g, f) =X|f − g|1 + |f − g|dµ f, g ∈ M1. Chứng minh d là một metric trên M.7 2. Giả sử limn→∞fn(x) = f(x). Chứng minh limn→∞fn= f trong (M, d).Giải1. Trước hết ta kiểm tra số d(f, g) hữu hạn với mọi cặp f, g ∈ M. Thật vậy, hàm h =|f − g|1 + |f − g|đo được, bị chặn trên tập X và µ(X) < ∞ nên là hàm khả tích. Kiểm trađiều kiện i), iii) của metric như sau :i) Hiển nhiên d(f, g) ≥ 0d(f, g) = 0 ⇔|f(x) − g(x)|1 + |f(x) − g(x)|= 0 hkn trên X⇔ f(x) = g(x) hkn trên X⇔ f = g trong Miii) Với f, g, h ∈ M ta có :|f(x) − g(x)| ≤ |f(x)− h(x)| + |h(x) − g(x)|⇒|f(x) − g(x)|1 + |f(x) − g(x)|≤|f(x) − h(x)|1 + |f(x) − h(x)|+|h(x) − g(x)|1 + |h(x) − g(x)|(Phương pháp chứng minh đã biết)Lấy tích phân hai vế ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)2. Ta cần chứng minh limn→∞d(fn, f) = 0Đặt hn=|fn− f|1 + |fn− f|(n ∈ N∗), ta có :• hnđo được trên X,|hn| = hn≤ 1, hàm g(x) = 1 khả tích trên X (do µ(X) < ∞).• limn→∞hn= 0 hkn trên X.Áp dụng định lý Lebesgue, ta có limn→∞Xhndµ = 0 hay limn→∞d(fn, f) = 0Bài 7Cho f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A. Với mỗi k ∈ Z đặt Ak= {x ∈ A : 2k−1<f(x) ≤ 2k}. Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi :+∞k=−∞2kµ(Ak) < ∞GiảiĐặt B = {x ∈ A : f(x) = +∞}. Ta có các tập Ak, (k ∈ Z), B là những tập không giao nhau,có hợp bằng A. Do tính σ−cộng của tích phân, ta có :Afdµ =+∞k=−∞Akfdµ ( chú ýBfdµ = 0 do µ(B) = 0)8 Vì 2k−1µ(Ak) ≤Akfdµ ≤ 2kµ(Ak) ta có12+∞k=−∞2kµ(Ak) ≤Afdµ ≤+∞k=−∞2kµ(Ak)Từ đây ta có điều phải chứng minh.Bài 8Cho dãy các hàm {fn} khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ đều trên A về hàm f và µ(A) < ∞.Chứng minh f khả tích trên A vàlimn→∞Afndµ =AfdµGiảiVì các hàm fnđo được nên f đo được.Vì dãy {fn} hội tụ đều trên A về f nên có số no∈ N∗thỏa mãn|fn(x) − f(x)| ≤ 1 ∀x ∈ A,∀n ≥ no(1).• Từ (1) ta có |f(x)| ≤ 1 +|fn(x)|. Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |fn| khả tích trên A. Do đóf khả tích trên A.• Cũng từ (1) ta có |fn| ≤ 1 + |f| trên A (∀n ≥ no) và hàm 1 + |f| khả tích trên A. Ápdụng định lý Lebesgue ta có đpcm.Bài 9Tính các giới hạn :1. limn→∞20n√1 + x2n.dx2. limn→∞1−1x + x2enx1 + enx.dx3. limn→∞n01 +xnn.e−2xdxGiải1. Đặtfn(x) =n√1 + x2n, x ∈ [0, 2], n = 1, 2, . . .• Hàm fnliên tục trên [0, 2] nên (L)−đo được.• Khi 0 ≤ x < 1 ta có lim fn(x) = 1.Khi 1 < x ≤ 2 ta có limn→∞x2.n1 +1x2n= x2limn→∞fn(1) = 1Do đó lim fn(x) = f(x) với f(x) = 1, x ∈ [0, 1], f(x) = x2, x ∈ [1, 2].9 • |fn(x)| = fn(x) ≤ 1 + x2∀n ∈ N∗Áp dụng định lý Lebesgue, ta có :limn→∞20fn(x)dx =20f(x)dx =1032. Đặt fn(x) là hàm trong dấu tích phân thì ta có• limn→∞fn(x) = f(x) với f(x) = x, x ∈ [−1, 0], f(x) = x2, x ∈ (0, 1].• |fn(x)| ≤|x| + x2enx1 + enx≤ 1 ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [−1, 1].3. Đặtfn(x) =1 +xnn.e−2x, x ∈ [0, n]0 , x ∈ (n, +∞)• fn(L)−đo được trên [0,∞).• Với mỗi x ∈ [0,∞) thì x ∈ [0, n] khi n đủ lớn, do đó :limn→∞fn(x) = limn→∞1 +xnn.e−2x= ex.e−2x= e−x.• |fn(x)| ≤1 +xnn.e−2x≤ ex.e−2x= e−x.∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0,∞).(ta đã sử dụng 1 + t ≤ et, t ≥ 0)Hàm g(x) = e−xlà (L)−khả tích trên [0,∞)Áp dụng định lý Lebesgue ta cólimn→∞n01 +xnn.e−2x.dx = limn→∞+∞0fn(x).dx =+∞0e−x= 1Bài 10Chứng minh limn→∞n10xn1 + x.dx =12GiảiỞ đây ta không thể áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm fn(x) =nxn1 + xvì không tìm đượchàm g khả tích sao cho |fn(x)| ≤ g(x) ∀n.Ta tích phân từng phần và được :n10xn1 + x.dx =nn + 1xn+11 + x|10+10xn+1(1 + x)2.dx=nn + 112+ InÁp dụng định lý Lebesgue ta chứng minh được limn→∞In= 0.10 . giới hạn :1. limn→ 2 0n√1 + x2n.dx2. limn→∞1−1x + x2enx1 + enx.dx3. limn→∞n01 +xnn.e−2xdxGiải1. Đặtfn(x) =n√1 + x2n, x ∈ [0, 2] , n = 1, 2, . . .• Hàm fnliên. = x2, x ∈ [1, 2] .9 • |fn(x)| = fn(x) ≤ 1 + x2∀n ∈ N∗Áp dụng định lý Lebesgue, ta có :limn→ 2 0fn(x)dx =2 0f(x)dx =10 32. Đặt fn(x) là hàm trong dấu tích