Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 2
18 Chương DÃY VÀ CHUỖI SỐ Dãy số hàm số có miền xác định tập số nguyên tự nhiên Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho tượng rời rạc Chẳng hạn người ta đo đạc đại lượng thời điểm cách sản lượng hàng năm, số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT 1.1 Định nghóa Dãy số ánh xạ từ vào liên kết n với u n ; ký hiệu : n n u n Khi khaûo sát dãy số, người ta thường thay n n ký hiệu n u n , biến n gọi số Dãy số ký hiệu un n , un n , un , n u n hay u1 , u , u n gọi số hạng thứ n dãy u n u1 số hạng đầu Ví dụ i) Dãy u n xác định u n a , n , a số (nghóa u n không phụ thuộc vào n) Loại dãy gọi dãy ii) Dãy u n xác định u n n , n iii) Dãy u n xác định u n , n n n iv) Dãy u n xác định u n 1 , n v) Dãy u n xác định u n n vi) Dãy u n xác định u n n un , n n 1 , n cho u1 , u , u , Ta xác định quy nạp theo n : u1 1 với n , vii) Dãy nói un n u n 1 u n 19 viii) Dãy u n xác định quy nạp theo n : u1 với n , 1 u n 1 u n u 2 n ix) Lãi kép : Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i n năm với tiền lời nhập vào vốn cuối năm Giá trị lượng vốn vào cuối năm thứ ký hiệu x1 , cuối năm thứ hai x2 , , cuối năm thứ n xn Ta coù x1 C i ; x2 C i ; xn C i n ; n xn x n i C i n vậy, ta nhận dãy số xn với xn C i x) Lãi liên tục : Với đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi 7 nhập vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm % , quý % , tháng % , 12 7 tuần 52 % , ngày 365 % đặt y1 , y , y , y12 , y52 , y 365 giá trị vốn thu vào cuối năm, ta có y1 1 0, 07 1, 07 ; y2 0,07 y4 0,07 y12 y 52 0,07 12 0,07 52 y 365 1, 071225 ; 1, 071859 ; 12 52 0,07 365 1, 072290 ; 1, 072458 ; 365 1, 072501 Tổng quát, năm chia thành n chu kỳ với lãi suất chu kỳ n % tiền lời nhập vào vốn sau chu kỳ giá trị vốn nhận cuối năm yn 0,07 n n 20 Ta nhận dãy số y n 1.2 Định nghóa i) Dãy số u n gọi taêng n , u n u n 1 gọi tăng ngặt n , u n u n 1 Dãy số u n gọi giảm n , u n 1 u n gọi giảm ngặt n , u n 1 u n Moät dãy tăng dãy giảm gọi dãy đơn điệu Tương tự, dãy tăng ngặt dãy giảm ngặt gọi dãy đơn điệu ngặt gọi bị chận A , n , u n A , nghóa tồn số thực A lớn u n Ta nói A chận dãy ii) Dãy số un số u n Dãy số u n gọi bị chận B , n , u n B Ta nói B chận u n Dãy số un gọi bị chận vừa bị chận trên, vừa bị chận Chẳng hạn, với số thực b bất kỳ, dãy số u n nb , với n dãy tăng ngặt với n , u n 1 n 1 b nb u n , bị chận u n , với n Tuy nhiên, không bị chận Để chứng minh điều này, ta dùng phép chứng minh phản chứng Giả sử un bị chận với chận M Xét tập , A u n n vaø B M n , u n M Dễ thấy chúng tập không rỗng x A, y B, x y Do tiền đề đầy đủ , tồn số thực cho x A, y B, x y Điều cho thaáy nb b n 1 b , với n , nb b , với n Điều cho thấy b B Vô lý b 21 nb n Do dãy không dãy bị chận, nghóa số thực a không chận nó, ta kết quan trọng sau 1.3 Định lý Archimède Cho b Ta coù a , n , na b Đặc biệt, cách lấy a x bất kỳ, b 1 lấy a 1 , b bất kỳ, ta 1.4 Hệ i) x , n , n x ; ii) 0, n , n Ví dụ Dãy số u n , xác định u n n , dãy giảm ngặt dãy bị chận, với chận chận n Dãy u n , xác định u n 1 , không dãy đơn điệu dãy bị chận với chận chận DÃY HỘI TỤ 2.1 Định nghóa Dãy số u n gọi hội tụ tồn số thực a cho khoảng cách u n a đủ nhỏ số nguyên n đủ lớn Chẳng hạn, với dãy số u n n , cách dùng định lý Archimède, ta chứng minh khoảng cách u n số 0, u n n , đủ nhỏ n đủ lớn Do vậy, u n dãy hội tụ Chính xác hơn, u n dãy hội tụ a , 0, n0 , n n0 , u n a (1) Điều có nghóa với dương (đủ nhỏ), ta tìm số nguyên tự nhiên n0 (có thể thay đổi theo ), cho với số nguyên n, n n0 u n a Bấy giờ, ta vieát lim u n a hay [ u a n ] n n Ta nói dãy u n hội tụ a a gọi giới hạn dãy un Xuất phát từ nhận xét i) Nếu un dãy hội tụ với giới hạn u dãy a n u n u , dãy hội tụ có giới hạn an , xác định 22 ii) Nếu a n bn dãy hội tụ với giới hạn dãy un , , wn , xác định un an bn , an ( cố định), w n a n bn , dãy ho65u tụ iii) Nếu a n dãy hội tụ bn a n , với n , dãy bn hội tụ ta suy kết sau u n u lim v 2.2 Mệnh đề Nếu nlim n u n u v , i) nlim un u , với , ii) nlim un vn u v iii) nlim un u iv) Hơn nữa, v , với n , lim v n v) Neáu u n w n , với n , vaø lim u n lim w n a n n lim a n Chứng minh Đặt a n u n u vaø bn v Ta hai dãy a n bn hội tụ Ta suy i) u n u v a n bn u n u v ii) u n u a n keùo theo u n u iii) u n uv a n bn ubn va n cho u n uv iv) Do un u ubn va n v v v với n đủ lớn, ta giả sử , ta suy un Từ ñoù suy v) Do un u ubn va n v v u n v 23 a max u n a , w n a u n a w n a ta suy a n ª Áp dụng mệnh đề 2.2, ta nhận số dãy hội tụ thường dùng sau 2.3 Định lý a) Nếu p lim n np 0 n b) Nếu p lim p 1 n n c) lim n 1 n d) Với p , ta có nlim n p n 0 n e) Nếu x lim x n Chứng minh a) Với , ta coù np np np 1/ p n Do vaäy, ứng với , ta chọn n0 cho n0 1.4, i)) Khi n n0 , p n 1/ p (hệ nên định nghóa, lim p n n n b) Khi p 1 , n p 1 với n, vậy, hiển nhiên lim p 1 n Khi p , cách đặt u n p un n n p , ta coù n Cnkunk C1nun nun k 0 p u n vaø ñoù lim n p 1 Do u n n ta suy nlim n n Khi p , cách đặt q p , ta p n q c) Đặt xn n n Do n xn n n k 0 k k Cn xn C2n xn n n 1 xn , 24 với n , ta suy 2 1/ n n 1 xn n n n Từ ñoù suy lim n 1 n d) Choïn k cho k (hệ 1.4, i)) Vì p n n Cnkpk Cnk pk 0 k 0 n n 1 n n k 1 k p 0, k0 ! với n k , ta suy xn k ! n p n pk0 n n 1 n 2 n k 1 n k ! 1 k k k0 p n 1 1 n n n lim n 0 n Suy n n p e) Trường hợp x hiển nhiên Khi x , cách chọn p cho x 1 x p vaø duøng d), ta suy 1p x n x x n x n 1p n n0 p n n lim x n ª Chú ý a) Khi u n dãy hội tụ, giới hạn a Để chứng minh tính chất (tính giới hạn), ta chứng minh dãy u n có hai giới hạn chúng phải b) Nếu u n dãy hội tụ với giới hạn a dãy bị chận, nghóa tồn A cho u n A , với n Từ đó, suy luận đảo đề, ta suy : Nếu un dãy không bị chận không dãy hội tụ Ta nói u n dãy phân kỳ 25 Chẳng hạn, dãy u n xác định u n n2 , n , không dãy bị chận với số thực A , hệ 1.4, i) khẳng định tồn số nguyên n0 cho n0 A Khi đó, với n n0 , ta coù u n n2 n A Từ đó, ta kết luận u n dãy phân kỳ u n lấy giá trị đủ lớn giá trị n đủ lớn Dãy gọi “hội tụ” xác hơn, ta có định nghóa sau Nhận xét 2.4 Định nghóa Ta nói dãy u n tiến n taêng A 0, n0 , n n0 , u n A Baáy giớ, ta viết lim u n hay [ u n ] n n Dãy u n gọi tiến n tăng A 0, n0 , n n0 , u n A Ký hiệu lim u n hay [ u n ] n n u n u , n , lim Hơn 2.5 Mệnh đề Nếu nlim n n u n nữa, u n , n nlim u n , n u n lim n un Ngược lại, lim u n lim n n un Chứng minh Với A , tồn n0 cho u n A un A , với n n Điều chứng tỏ lim n u n u n ứng với , tồn n Ngược lại, nlim 1 cho, với n n0 , ta có u n u Điều có nghóa n lim n un 0 Ví dụ i) Nếu p q p , ta coù n p 1 nq lim n np lim Thật vậy, cách đặt n nq 0 26 Từ mệnh đề 2.5, ta kết luận lim p n n Tóm lại, ta coù 0 p lim 1 p n n p p hay 0 lim n 1 n n 1 ii) Khi x , đặt y x , ta y x y n lim y n Trường hợp x , dãy xn dãy phân kỳ n Các dãy số phân thành bốn loại sau : Dãy số u n gọi thuộc un a loaïi I : nlim u n loaïi II : nlim u n loaïi III : nlim loaïi IV : u n không thuộc ba loại nêu trên, nghóa giới hạn số thực, hay Các dãy loại I gọi hội tụ , dãy thuộc loại lại dãy phân kỳ Tuy nhiên, số bối cảnh, dãy thuộc loại II (hay loại III) gọi “hội tu về” (hay ) n Ví dụ dãy x , với x , thuộc loại IV 2.6 Mệnh đề a) Nếu lim n lim u n n lim n un lim u n n un u n vaø lim lim u n b) Neáu nlim n n u n vaø lim lim u n c) Neáu nlim n n u n vaø lim lim u n d) Neáu nlim n n 27 u n lim lim u n e) Neáu nlim n n u n vaø lim lim u n f) Neáu nlim n n u n vaø lim a lim u n g) Neáu nlim n n u n vaø lim a lim u n h) Neáu nlim n n Chú ý Để đơn giản, tính toán giới hạn, ta thường quy ước a) , ; b) 0 c) d) e) f) g) h) a a ; i) a a , 0 gọi dạng vô định, nghóa ta kết luận tổng quát cho trường hợp Các trường hợp , un a Ứng với dãy số u n cho trước, việc tìm a cho nlim lúc thực cách dễ dàng Các kết sau cho phép xác định tồn tính chất giới hạn dãy, có, trước xác định giá trị 2.7 Định lý Nếu u n dãy đơn điệu bị chận dãy hội tụ Chứng minh Giả sử u n tăng bị chận, nghóa u n u n 1 , n , tồn số thực cho u n , n Đặt 28 A u n n vaø B u n , n Chuùng hai tập không rỗng thỏa x A, y B, x y , neân tiên đề đầy đủ, tồn a cho x A, y B, x a y un a Ta seõ chứng minh nlim Thật vậy, ứng với moãi , a a , ta suy raèng a B , nghóa tồn n0 cho a xn0 Từ suy ra, với n n0 , a un u n a u n a ª 2.8 Định nghóa Một dãy gọi xác định hệ thức (hay phương trình) đệ quy tồn hệ thức cho phép tính giá trị u n 1 từ giá trị u n , u n , , u1 n Ví dụ i) Daõy Fibonacci : u1 u 1 u3 u4 u5 u6 u7 13 xác định hệ thức đệ quy n , u n 2 u n 1 un , u1 1 vaø u 1 ii) Dãy xác định hệ thức đệ quy cấp : u n 1 f u n , f hàm số cho trước u1 cho trước Chẳng hạn, dãy u n cho u1 , u , u , dãy xác định hệ thức đệ quy cấp : u n 1 f u n , với hàm f x x vaø u1 1 Nói khác đi, dãy viết lại dạng hệ thức đệ quy : u1 1 n , u n 1 u n mà ta kiểm chứng dãy tăng bị chận (xem tập 3, câu a) Định lý 2.7 cho thấy dãy hội tụ từ đó, ta tính 1 giới hạn nó, u (xem thêm chương 3, phần 2) 29 un iii) Xét dãy số u n xác định biểu thức u n 1 u , n , u1 n x Đây dãy xác định hệ thức đệ quy cấp với hàm số f x x 3 , x Dãy hoàn toàn xác định (do biểu thức xác định số hạng có mẫu số khác 0) số hạng lớn 0, nghóa bị chận 0, n , u n Do u n 1 un un 3 , n , ta suy dãy tăng Định lý 2.7 cho thấy u n dãy hội tụ Gọi a giới hạn Để tính a, ta ý un lim u n n lim u n 1 lim , lim u n n u n n n a nghóa a a 3 (giới hạn a thỏa phương trình a f a , (xem theâm phần 2, chương 3) Phương trình có hai nghiệm dãy un gồm số hạng nên ta nhận trường hợp a ª 2.9 Định nghóa Dãy u n gọi dãy Cauchy 0, n0 , m, n n0 , u m u n Dễ thấy dãy hội tụ dãy Cauchy Ngược lại, ta chấp nhận kết sau 2.10 Định lý (tính đầy đủ ) Mọi dãy Cauchy dãy hội tụ CÁC DÃY ĐẶC BIỆT 3.1 Cấp số cộng (dãy số học) Dãy số u n gọi cấp số cộng với công sai r xác định hệ thức đệ quy cấp sau n , u n 1 u n r , u1 cho trước Dùng quy nạp, ta suy raèng n , u n u1 n 1 r Khi r , cấp số cộng tương ứng dãy : với n , u n u1 Khi r , caáp số cộng tương ứng dãy số hội tụ hay tùy theo r dương hay âm đó, dãy phân kỳ 3.2 Cấp số nhân (dãy hình học) Dãy số u n gọi cấp số nhân với công bội r xác định hệ thức đệ quy cấp : n , u n 1 ru n , u1 cho trước 30 Cũng quy nạp, ta suy n , u n r n 1u1 Khi u1 , ta dãy số Ngược lại, dãy hội tụ r 1 phân kỳ trường hợp lại Cụ thể, ta có Khi r 1 , ta u n u1 cấp số nhân tương ứng dãy u n định lý 2.3, e) Khi r , ta nlim Khi r , dãy un luân phiên lấy giá trị u1 u1 nên dãy phân kỳ n Khi r , ta coù u n b u1 , với b , bất đẳng thức Bernoulli cho ta u n n 1 b u1 Từ suy u n tiến vô hạn ( tùy theo dấu u ) Khi r , u n 1 n b n u1 , với b , ta suy u n luân phiên lấy giá trị âm dương với u n Do đó, dãy phân kỳ 3.3 Dãy u n với u n n n vaø n n 1 a u n dãy tăng dãy giảm Thật vậy, ta coù u n 1 un 1 n 1 n n1 n 1 n n n n 2 n n2 n 1 n n 1 n n2 n n n n2 n 1 n 1 n 1 n3 3n2 3n n3 3n2 3n 1 vaø n 1 n n n 2 1 n n 2 1 n 1 1 n 1 n 1 n2 31 n n n 1 n 1 n2 n2 3n n 1 n 1 n 1 n2 n n n n 2 n3 4n2 4n n3 4n2 4n 1 b u n , với n c v n u n 1 n n ta suy e lim n n n n Từ định nghóa số Néper, n n lim n n n 1 ª CHUỖI SỐ Cho dãy số u n Chuỗi số với số hạng tổng quát u n dãy số sn xác định sn n uk u1 u2 un , k 1 sn gọi tổng riêng phần chuỗi số 4.1 Định nghóa Chuỗi số với số hạng tổng quát u n gọi hội tụ dãy số sn tương ứng hội tụ đó, ta viết lim sn n un n 1 sn gọi tổng chuỗi Giá trị s nlim Một chuỗi số không hội tụ gọi phân kỳ Nhận xét : Từ định nghóa, ta thấy việc khảo sát chuỗi số với số hạng tổng quát u n quy việc khảo sát dãy số sn tương ứng 4.2 Chuỗi hình học : Xét chuỗi số với số hạng tổng quaùt u n r n 1u1 , u1 cho trước Ta khảo sát dãy tương ứng sn n rk 1u1 u1 r r2 rn k 1 Như vậy, sn tổng n số hạng đầu cấp số nhân (dãy hình học) Chính vậy, chuỗi số gọi chuỗi hình học Để khảo sát 32 hội tụ chuỗi hình học, ta tìm biểu thức cho tổng riêng phần sn Ta có nu1 sn n 1 r 1 r u1 r 1 r 1 chuỗi hình học hội tụ với tổng 1 r u1 r Đối với trường hợp khác, chuỗi hình học phân kỳ Khi sn dãy tổng riêng phần chuỗi số hội tụ định nghóa, dãy hội tụ nên dãy Cauchy, nghóa un , 0, n0 , m, n n , sm sn Đặc biệt, với m n , sn 1 sn u n 1 , ta suy 0, n0 , n n0 , u n 1 ta tiêu chuẩn sau 4.3 Mệnh đề (điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi số với số hạng tổng quát u hội tụ lim u n n n Mệnh đề 4.3 cho ta tiêu chuẩn khảo sát phân kỳ chuỗi số Thật vậy, đảo đề mệnh đề Nếu u n dãy phân kỳ hay lim u n chuỗi số với số hạng n tổng quát u n phân kỳ Ví dụ Chuỗi chuỗi 1n 1 n phân kỳ dãy số hạng tổng quát phân kỳ; phân kỳ dãy số hạng tổng quát có giới hạn un , Chú ý chiều ngược lại mệnh đề 4.3 sai, nghóa nlim ta đưa kết luận tổng quát cho chuỗi số có số hạng tổng quát un Chẳng hạn, cách dùng mệnh đề 4.5 phần sau, ta có phân kỳ n1 n1 1 chuỗi hội tụ, lim n lim n n n 4.4 Mệnh đề (tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số dương) Cho hai dãy số thỏa u n , n i) Neáu chuỗi chuỗi hội tụ un hội tụ, un 33 phân kỳ Chứng minh Trước hết, ý a n chuỗi số dương dãy ii) Nếu bn un chuỗi phân kỳ tổng riêng phần dãy tăng Gọi sn tn dãy tổng riêng phần chuỗi Do giả thuyết, ta có sn i) Khi n n k 0 k 0 un vaø uk vk tn , n hội tụ, tn bị chận sn bị chận Vì sn tăng, định lý 2.7 chứng tỏ hội tụ vậy, chuỗi tụ un hội Phát biểu ii) đảo đề i) Ví dụ Do n n , n , n 2 hội tụ, ta suy n12 n 2n n chuỗi hình học chuỗi hội tụ 4.5 Mệnh đề (chuỗi điều hòa) Chuỗi điều hòa np n 1 hội tụ p Chứng minh Do p lim 1 p p n n 0 p Mệnh đề 4.3 cho thấy chuỗi n1 p phân kỳ p Khi p , ta coù 1 1 1 1 p k p 7p 2p 3p 4p k 1 1 34 1 2p 1 p 1 4 4p 1 p 2k p k 2 1 p k 21 p n 1 Do 21 p , chuỗi hình học 21 p n n hội tụ Suy chuỗi n1 p hội tụ Khi p , ta coù 1 1 1 2p 3p 4p 5p 8p 1 p k p 1 2k 1 2p 2 1 p 1 4p 2k p k 2 n 1 p 1 p k 21 p 2 Do 2p 1 , chuỗi hình học n 1 p 2 n phân kỳ Do đó, chuỗi n1 p phân kỳ Chú ý Cho un hai chuỗi số dương với lim un n Khi , tồn a b vaø n0 cho u a n b , n n0 hội tụ, bất đẳng thức un bvn mệnh đề 4.4 chứng tỏ u n hội tụ Ngược lại, phân kỳ, bất đẳng thức avn u n mệnh đề 4.4 cho thấy u n phân kỳ n Ví dụ Xét chuỗi Ta có n 1 Vì vậy, 35 n n2 1 n1 n n n 1 n 1 n n1 phân kỳ, ta suy chuỗi n n1 phân kỳ 2n 1 Tương tự, với chuỗi , n 1 Vì chuỗi điều hoøa 2n n3 1 2 n n2 n vaø 2n 1 n3 1 n2 2 1 n1 nên hội tụ chuỗi điều hòa n n 0, kéo theo hội tụ chuỗi 2nn 11 ª Với chuỗi có số hạng tổng quát tùy ý, ta có 4.6 Mệnh đề (hội tụ tuyệt đối) Nếu chuỗi hội tụ Chứng minh Xét un và tn hội tụ chuỗi un dãy tổng riêng phần chuỗi số un , Với n m , ta coù sm sn Do sn un un m k n 1 uk m k n 1 u k tm tn (1) hội tụ, dãy tn hội tụ nên dãy Cauchy Bất đẳng thức (1) chứng tỏ sn dãy Cauchy hội tụ theo định lý 2.10 Điều chứng tỏ chuỗi un hội tụ Chú ý chiều ngược lại mệnh đề không Ví dụ i) Xét chuỗi 1 n n2 Ta coù 1 n n2 n2 36 chuỗi điều hòa hội tụ Do mệnh đề 4.6, chuỗi ii) Xét chuỗi 1 n n2 hội tụ (tuyệt đối) 1 n 1 Ta có n 1 n 1 n n chuỗi điều hòa phân kỳ Mặt khác, n 1 1 n 1 n 1 1 1 2 4 2k 2k 1 2 4 2k 1 2k 2 2n 1 2n 2 n 0 vaø 2n 2n 2 n2 n1 n2 hoøa kéo n nên hội tụ chuỗi điều n 1 2n11 2n2 Như vậy, chuỗi 1n hội tụ 0 theo hội tụ chuỗi ª 4.7 Định lý (tiêu chuẩn d’Alembert) Giả sử lim u n 1 n un ii) Khi , chuoãi u n i) Khi , chuoãi un hội tụ phân kỳ iii) Khi 1 , ta kết luận tổng quát Chứng minh i) Với , chọn , tồn n0 u n 1 un Suy u n 1 u n , n n0 , n n0 37 Bằng quy nạp, ta chứng minh n n0 u n n n Do chuoãi chuoãi un un u n u n , n n0 n0 n hội tụ, mệnh đề 4.4 cho thấy hội tụ ii) Tương tự, , tồn , choïn cho u n n u n 1 u n , n n0 Điều cho thấy u n n Do mệnh đề 4.3, chuỗi n0 un phân kỳ n n Ví dụ i) Ta khảo sát dãy số u n n , n , cách khảo n! sát chuỗi số với số hạng tổng quát u n Dùng tiêu chuẩn d’Alembert, với lim n u n 1 un n 1 n n 1 n 1 nn lim lim n 5n 1 n 1 ! 5n n ! n 5n n ta suy chuỗi un ii) Với chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ e 1, un hội tụ Do mệnh đề 4.3, nlim n2 u n 1 lim n 1 với , ta coù nlim un n n 1 n1 , ta có nlim u n 1 un lim n 1 n 1 n 4.8 Định lý (tiêu chuẩn Cauchy) Giả sử lim u n n un ii) Khi , chuoãi u n i) Khi , chuoãi 1/ n hội tụ phân kỳ iii) Khi 1 , ta kết luận tổng quát Chứng minh i) Khi , choïn , n0 cho un 1/ n , n n0 n Suy u n , n n0 Vì chuỗi n hội tụ, mệnh đề 4.4 cho thấy chuỗi un hội tụ ... 1 ? ?2 4 2k 1 2k 2? ?? 2n 1 2n 2? ?? n 0 vaø 2n 2n ? ?2? ?? n2 n1 n2 hòa kéo n nên hội tụ chuỗi điều n 1 2n11 2n? ?2? ?? Như vậy, chuỗi... 2p 3p 4p 5p 8p 1 p k p 1 2k 1 2p ? ?2 1 p 1 4p 2k p k ? ?2 n 1 p 1 p k 21 p 2 Do 2p 1 ,... 0,07 y 12 y 52 0,07 12 0,07 52 y 365 1, 07 122 5 ; 1, 071859 ; 12 52 0,07 365 1, 0 722 90 ; 1, 0 724 58 ; 365 1, 0 725 01 Tổng quát, năm chia thành n chu kỳ với lãi suất