Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 3

Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 3

Chương 3HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰCTrong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ khảo sát khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của một hàm số trong phần 1, 2 và 3. Cuối cùng, các hàm số sơ cấp cơ bản được giới thiệu và khảo sát trong phần 4.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐCho { }∈ = +∞ −∞¡ ¡ Ua , và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a, có thể không xác đònh tại a, nghóa là f xác đònh trên một khoảng mở I, có thể không xác đònh tại a, với ( )= − α + αI a ,a, α > 0, khi ∈ ¡a; ( )= α +∞I ,, α > 0 khi = +∞a và ( )= −∞ −αI ,, α > 0 khi = −∞a.1.1. Đònh nghóa. Ta nói hàm f có giới hạn ∈ ¡l khi x tiến về a khi f biến mọi dãy ( )nx các phần tử của I, có giới hạn a, ≠nx a, thành dãy ( )( )nf x hội tụ về l, ký hiệu ( )→=x alim f x l hay ( )→f x l khi →x a.Cho ∈¡a và f là hàm số xác đònh trên khoảng ( )= − α1I a ,a, α > 0. Ta nói f có giới hạn bên trái ∈ ¡1l khi x tiến về a, khi f biến mọi dãy ( )nx các phần tử của 1I hội tụ về a thành dãy ( )( )nf x hội tụ về 1l, ký hiệu −→=1x alim l. Khi hàm số f xác đònh trên khoảng ( )= + α2I a,a, α >0, ta có đònh nghóa tương tự cho giới hạn bên phải 2l của f tại a, ký hiệu +→=2x alim f (x) l.Chú ý rằng, để khảo sát giới hạn bên trái cũng như bên phải của f tại a, ta lần lượt thay điều kiện ≠nx a trong đònh nghóa cho giới hạn của f tại a bằng điều kiện <nx a, >nx a.Ví dụ 1. i) →=x alim x a; →+∞= +∞xlim x; →−∞= −∞xlim x.ii) →=1 1x ax alim khi ≠a 0; +→= +∞1xx 0lim; −→= −∞1xx 0lim; →+∞=1xxlim 0; →−∞=1xxlim 0.iii) Cho hàm số ( )=xxf x với miền xác đònh { }∗=¡ ¡ \ 0. Ta chứng minh rằng ( )→x 0lim f x không tồn tại. Thật vậy, xét dãy ( )nx, với ( )−=n1nnx, ∗∈ ¥n. 39 Ta có ( )∗⊂ ¡nx, →∞=nnlim x 0 nhưng ( ) ( )→∞ →∞ →∞= = −nnxnnxn n nlim f x lim lim 1 không tồn tại.Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách xét các dãy số ( )nx và ( )ny, với = −1nnx, =1nny, ∗∈ ¥n. Ta có ( )nx, ( )∗⊂ ¡ny, →∞ →∞= =n nn nlim x lim y 0 nhưng ( )→∞ →∞= = −nnxnxn nlim f x lim 1 và ( )→∞ →∞= =nnynyn nlim f y lim 1. ªBằng cách dùng tính chất của giới hạn dãy số, ta được1.2. Mệnh đề. Cho f và g là hai hàm số xác đònh trên một lân cận I của a, có thể không xác đònh tại a. Nếu →=x alim f(x) l và →=x alim g(x) k thìi) ( )→+ = +x alim f g (x) l k,ii) ∀λ ∈¡, →λ = λx alim f(x) l,iii) →=x alim f (x) l,iv) ( )→⋅ = ⋅x alim f g (x) l k,v) → →= =1 1 1f f (x) lx a x alim (x) lim với điều kiện ≠l 0,vi) Nếu ∀ ∈x I, ≤f(x) g(x) thì ≤l k,vii) Nếu → →= =x a x alim f(x) lim g(x) l và ≤ ≤f(x) h(x) g(x), ∀ ∈x I, thì →=x alim h(x) l,với điều kiện là vế phải không xuất hiện dạng vô đònh, nghóa là không xuất hiện dạng ∞ − ∞ trong i) và dạng ⋅ ∞0 trong iv).Chú ý rằng nếu ( )→=x alim f x l và ( )→=x alim g x k với ∈ ¡l,k, thì ( )( )→=f xlkg xx alim nếu không xuất hiện dạng vô đònh 00 và ∞∞.Ta cũng nhận được kết quả tương tự cho giới hạn bên trái và giới hạn bên phải.2. HÀM SỐ LIÊN TỤCCho ∈ ¡a và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a.2.1. Đònh nghóa. Ta nói f liên tục tại a khi →=x alim f(x) f (a).40 Điều này bao hàm :− f xác đònh tại a;− giới hạn của f khi x tiến về a tồn tại;− giới hạn của f khi x tiến về a bằng với giá trò của hàm số f tại a.Ví dụ 2. Từ ví dụ 1, i), ta có hàm số ( )=f x x liên tục tại mọi ∈¡a. Hơn nữa, bằng cách dùng mệnh đề 1.2, iv), ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng →=n nx alim x a, với mọi ∈¥n. Do đó, hàm số ( )=nf x x cũng liên tục tại mọi ∈¡a. ª2.2. Đònh nghóa. Cho f là một hàm số xác đònh trên (− αa ,a, α > 0. Ta nói f liên tục bên trái tại a khi −→=x alim f(x) f (a).Tương tự, với hàm số f xác đònh trên )+ αa,a, α >0, ta nói f liên tục bên phải tại a khi +→=x alim f (x) f(a).f liên tục bên trái tại a f liên tục bên phải tại af không liên tục bên trái lẫn bên phải tại aVí dụ 3. Hàm số( )≠==xxkhi x 0f x1 khi x 0liên tục bên phải tại 0, hàm số( )≠=− =xxkhi x 0g x1 khi x 0liên tục bên trái tại 0 nhưng hàm số41 ( )≠==xxkhi x 0h x0 khi x 0không liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại 0. ª2.3. Mệnh đề. f liên tục tại a nếu và chỉ nếu f liên tục bên trái tại a và f liên tục bên phải tại a.Kết hợp mệnh đề 1.2 và đònh nghóa 2.1, ta được2.4. Mệnh đề. Cho ∈ ¡a và f, g là hai hàm số xác đònh trên một lân cận của a. Nếu f và g cùng liên tục tại a thìa) +f g liên tục tại a;b) ∀λ ∈¡, λf liên tục tại a;c) ⋅f g liên tục tại a;d) 1f liên tục tại a, với điều kiện ( )≠f a 0.Nếu ( )≠g a 0 thì bằng cách kết hợp (c) và (d), ta suy ra rằng hàm số fg liên tục tại a.Ví dụ 4. Từ ví dụ 2, ta suy ra hàm số ( )=nf x x liên tục tại mọi điểm ∈ ¡a, với mọi ∈ ¥n. Do đó, mệnh đề 2.4 cho thấy mọi đa thức ( )−−= + + + +n n 1n n 1 1 0P x a x a x . a x a, với −∈ ¡0 1 n 1 na ,a , .,a ,a, cũng liên tục tại mọi điểm ∈¡a. ª2.5. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của ¡. Ta nói rằng f liên tục trên J khi f liên tục tại mọi điểm của J.Nói khác đi, f liên tục trên ( )a, b khi ( )∀ ∈0x a, b, ( ) ( )→=00x xlim f x f x.Ta nói hàm số f liên tục trên đoạn   a, b khi f liên tục trên ( )a, b, liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.Tương tự, ta nói hàm số f liên tục trên )+∞a, khi f liên tục trên ( )+∞a, và liên tục bên phải tại a. Sự liên tục của f trên (−∞, b được đònh nghóa tương tự.Ví dụ 5. i) Hàm số( )>==xxkhi x 0f x1 khi x 0liên tục trên )+∞0,.42 ii) Mọi đa thức đều liên tục trên ¡. ª2.6. Đònh lý giá trò trung gian. Nếu f liên tục trên khoảng đóng và bò chận   a, b thì với mọi d giữa ( )f a và ( )f b, tồn tại  ∈ c a, b sao cho ( )=f c d.Đònh lý này cho thấy rằng mọi điểm d nằm giữa ( )f a và ( )f b đều là ảnh của ít nhất một điểm c trong khoảng   a, b. Điểm c này không nhất thiết duy nhất như trường hợp hàm f có đồ thò cho bởi hình sau : tồn tại  ∈ 1 2 3c ,c ,c a,b sao cho( ) ( ) ( )= = =1 2 3f c f c f c d.Trường hợp hàm f không liên tục trên   a, b, chẳng hạn như hàm số f xác đònh bởi đồ thò trong hình saiểm ( ) ( ) ∈ d f a ,f b không là ảnh của bất cứ điểm c nào trong khoảng   a, b.2.7. Đònh lý tối ưu của Weierstrass. Nếu hàm số f liên tục trên khoảng đóng và bò chận   a, b thì f đạt giá trò lớn nhất M và giá trò nhỏ nhất m trên   a, b, nghóa là : tồn tại ∗ ∈ x a,b sao cho với mọi  ∈ x a, b, ( )()∗≤ =f x f x M và tồn tại ∗ ∈ x a,b sao cho với mọi  ∈ x a, b, ( ) ( )∗≥ =f x f x m.Hai đònh lý trên có thể phát biễu chung lại thành một đònh lý như sau :2.8. Đònh lý. Nếu f liên tục trên khoảng đóng và bò chận   a, b thì tồn tại m và M trong ¡ sao cho ( )   =   f a, b m,M.43 2.9. Mệnh đề . Cho I là một khoảng trong ¡. Nếu → ¡f : I liên tục, đơn điệu ngặt trên I thìa) ( )=f I J là một khoảng trong ¡, đóng và bò chận khi I đóng và bò chận.b) f là một song ánh từ I lên J.c) ánh xạ ngược của f, ký hiệu −→1f : J I, xác đònh bởi ( )−=1f y x nếu và chỉ nếu ( )=y f x, cũng liên tục, đơn điệu ngặt trên J (cùng bản chất như của f).d) đồ thò của f và −1f đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.Ví dụ 6. i) Hàm số ( )=nf x x liên tục và tăng ngặt trên )+= +∞¡ 0,, ()+ +=¡ ¡f. Do vậy, hàm ngược của nó, ( )−=n1f x x, cũng liên tục và tăng ngặt trên +¡. ªXét một ứng dụng của hàm số liên tục trong việc khảo sát dãy xác đònh bằng hệ thức đệ quy cấp 1,( )+=n 1 nu f u, 1u cho trước,trong đó →f : I I là một hàm số liên tục và I là một khoảng trong ¡. Chẳng hạn, dãy( )+= + =n 1 n nu 1 u f u, >1u 0 cho trước,trong đó ( )= +f x 1 x là hàm liên tục đi từ ( )+∞0, vào ( )+∞0, và dãy( )+= =+nn 1 nnuu f uu 3, >1u 0 cho trước,trong đó ( )+=xx 3f x là hàm liên tục từ ( )+∞0, vào ( )+∞0,.44 Chú ý rằng khi f là hàm tăng thì ( )nu là dãy đơn điệu. Cụ thể, bằng quy nạp, ta chứng minh được rằngNếu ≤1 2u u thì +≤n n 1u u, với mọi ∈¥n.Nếu ≥1 2u u thì +≥n n 1u u, với mọi ∈¥n.Tuy nhiên, nếu f là hàm giảm thì ( )nu không là dãy đơn điệu (ta chỉ có ( )2nu và ( )+2n 1u là hai dãy đơn điệu, một tăng, một giảm).Hơn nữa, nếu →f : I I tăng và I bò chận thì ( )nu đơn điệu và bò chận nên hội tụ. Khi đó, gọi a là giới hạn của dãy ( )nu, ta có( ) ( )+→∞ →∞= = =n 1 nn na lim u lim f u f a,khi f là hàm liên tục. Như vậy, giới hạn a thỏa phương trình ( )=f x x mà ta có thể giải để tìm ra giá trò của a.Ví dụ 7. Hàm ( )= +f x 1 x là hàm tăng nên dãy số ( )+= = +n 1 n nu f u 1 u, =1u 1 tăng do = ≤ =1 21 u u 2. Hơn nữa, ta có ( )   ⊂   f 0,2 0,2 và  ∈ 1u 0,2 nên bằng phép chứng minh quy nạp, ta chứng minh được rằng ( ) ⊂ nu 0,2. Dãy ( )nu đơn điệu và bò chận nên hội tụ với giới hạn a thỏa phương trình = +x 1 x do hàm f là hàm liên tục. ª45 3. ĐẠO HÀMCho ∈ ¡a và f là hàm số xác đònh trên một lân cận của a, nghóa là tồn tại α > 0 sao cho f xác đònh trên khoảng ( )= − α + αI a ,a. 3.1. Đònh nghóa. Ta nói f có đạo hàm tại a khi ( ) ( )−−→f x f ax ax alim tồn tại. Khi đó, giá trò của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu ( )′f a. Như vậy, khi f có đạo hàm tại a, ta có ( )( ) ( )−−→′=f x f ax ax af a lim, hay ( )( ) ( )+ −→′=f a h f ahh 0f a lim.Ví dụ 8. i) Xét hàm số ( )=f x x. Tại mỗi điểm ∈ ¡a, ta có ( ) ( )−−=f x f ax a1, ∀ ∈ ¡x, ≠x a. Do đó, ( ) ( )( )−−→′= =f x f ax ax alim 1 f a.ii) Xét hàm số ( )=2f x x. Tại mỗi điểm ∈ ¡a, ta có ( ) ( )−−= +f x f ax ax a, ∀ ∈ ¡x, ≠x a. Do đó, ( ) ( )( )−−→′= =f x f ax ax alim 2a f a.Biểu diễn hình học : Gọi Γ là đồ thò của hàm số f. Phương trình đường thẳng ( )D đi qua hai điểm ( )( )A a, f a và ( )( )+ +M a h,f a h cho bởi( ) ( )( ) ( )+ −= − +f a h f ay x a f ah.Khi “điểm M tiến về điểm A” trên Γ, đường ( )D quay về đường thẳng ( )T gọi là tiếp tuyến với Γ tại điểm A và do đó có phương trình( ) ( )( ) ( )→ + − = − +  h 0f a h f ay lim x a f ah,nghóa là( ) ( ) ( )′= − +y f a x a f a.Như vậy, đạo hàm của f tại a có thể biểu diễn như là độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với Γ tại điểm A. ª46 Trong kinh tế học, giá trò ( )′f a được gọi là giá trò lề (giá trò biên, biên tế) của f tại a. Chẳng hạn, nếu ( )C q chỉ chi phí để sản xuất q sản phẩm thì khi đó ( )′C q được gọi là chi phí lề ứng với mức sản lượng q. Các nhà kinh tế học ứng dụng xấp xỉ giá trò này với thương số ( ) ( )+ −C q 1 C q1 khi q đủ lớn và khi đó chi phí lề chính là chi phí phát sinh khi sản xuất thêm một đơn vò sản phẩm. ª3.2. Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại a khi tồn tại số thực b và một hàm số ε xác đònh trên một lân cận của 0 sao cho với mọi h và +a h trong lân cận của a( ) ( ) ( )+ = + + εf a h f a bh h với ( )→ε =h 0lim h 0.3.3. Mệnh đề. f có đạo hàm tại a nếu và chỉ nếu f khả vi tại a.Chứng minh. Khi f có đạo hàm tại a, nghóa là( ) ( )( )→+ −′=h 0f a h f alim f ah,thì bằng cách đặt( )( ) ( )( ) + − ′ ε = −  f a h f ahh f ahh,ta được( )( ) ( )( )+ −′ε = − →f a h f ah f a 0hkhi →h 0 và( ) ( ) ( ) ( )′+ = + + εf a h f a f a h h hnên f khả vi tại a.Ngược lại, khi f khả vi tại a, tồn tại ∈ ¡b sao cho với mọi h và +a h trong lân cận của a( ) ( ) ( )+ = + + εf a h f a bh h h với ( )→ε =h 0lim h 0.Từ đó suy ra ( ) ( )( )+ −= + εf a h f ahb hh h.Vì ( ) ( )ε = ε →hhh h 0 khi →h 0, ta được( ) ( )→+ −=h 0f a h f alim bh,47 nên f có đạo hàm tại a. ªChú ý : Kết quả này không còn đúng đối với hàm nhiều biến (xem chương 6).3.4. Đònh nghóa. Cho f là hàm số xác đònh trên khoảng dạng (− αa ,a, với α > 0. Ta nói f có đạo hàm bên trái tại a khi( ) ( )−→−−x af x f alimx atồn tại. Bấy giờ, giá trò của giới hạn được gọi là đạo hàm bên trái của f tại a, ký hiệu ( )−′f a.Tương tự cho trường hợp f xác đònh trên )+ αa,a, với α > 0, ta nói f có đạo hàm bên phải tại a khi ( ) ( )+−−→f x f ax ax alim tồn tại và giới hạn này được ký hiệu là ( )+′f a.3.5. Mệnh đề. f có đạo hàm tại a nếu và chỉ nếu f có đạo hàm bên trái tại a, f có đạo hàm bên phải tại a và ( ) ( )− +′ ′=f a f a.3.6. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của ¡. Ta nói f có đạo hàm trên J khi f có đạo hàm tại mọi điểm của J.Ta nói f có đạo hàm trên   a, b khi f có đạo hàm trên ( )a, b, có đạo hàm bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b.Ta cũng có các đònh nghóa tương tự cho trường hợp f xác đònh trên )+∞a, và (−∞, b.3.7. Đònh nghóa. Khi f có đạo hàm trên khoảng mở J, ta đònh nghóa hàm đạo hàm ′f của f bởi( )′→′¡af : Jx f x“Hàm đạo hàm” của f còn được gọi vắn tắt là “đạo hàm” của f.Ta nói hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng mở J khi f có đạo hàm trên J và ′f liên tục trên J.Cho f là hàm có đạo hàm trên một khoảng mở J. Khi ′f có đạo hàm trên J, hàm đạo hàm của nó được gọi là “hàm đạo hàm bậc hai”, hay vắn tắt là “đạo hàm bậc hai” của f trên J , ký hiệu ′′f.48 [...]... x ) = 1 + x xác đònh trên khoảng ( 0, +∞ ) 3 a) Tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) và f ( ) ( x ) b) Kiểm chứng đẳng thức 1+ x =1+ lim với x →0 ε ( x ) = 0 x x2 x3 − + + x3ε ( x ) , 2 8 16 7 Dùng công thức Taylor-Young, chứng tỏ a) ln ( 1 + x ) = x − n +1 x n x2 x3 + + + ( −1) + xn ε ( x ) , 2 3 n b) sin x = x − n x2n +1 x 3 x5 + + + ( −1) + x2n +1ε ( x ) , 3! 5! ( 2n + 1) ! c) cos x = 1 − n x2n x2 x4... x →0 3 arcsin x 4x x →0  x  k) lim   x →∞  2 + x  3x  x + 3 l) lim   x →∞  x − 2  1 2x +1 1 m) lim ( cos x ) x2 n) lim ( cos x ) sin x x →0 x →0 1 o) lim  1 + tan x  sin x   x → 0  1 + sin x  3 sin x  sin x  x −sin x p) lim  x →0   x  2 Dùng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau a) ( 1 + x ) ( 1 + 2x ) ( 1 + 3x ) − 1 b) lim x x →0 c) lim x + 13 − 2 x + 1 x2 − 9 x 3  ... lim x + 13 − 2 x + 1 x2 − 9 x 3   e) lim  x + x + x − x  x →+∞   tan x − sin x g) lim x →0 x3 i) lim 1 − 5x x →0 1 − ex ( 1 + x ) 5 − ( 1 + 5x ) lim x →0 ( x2 + x5 3 3 d) lim x + 1 − x x →∞ ) 1 − cos 5x x → 0 1 − cos 3x f) lim h) xlim x  ln ( 1 + x ) − ln x   →+∞  x2 − 1 x →1 x ln x j) lim 3 Chứng minh rằng hàm số f xác đònh bởi 72 ( )  x2 sin 1  x f ( x) =  0  khi x ≠ 0 khi x = 0 là... lõm ngặt trên I 71 6. 13 Mệnh đề Cho hàm số f xác đònh, có đạo hàm và lõm trên một khoảng mở I và a ∈ I Ta có f ′ ( a ) = 0 nếu và chỉ nếu f đạt cực đại toàn cục trên I tại a (cực trò là ngặt khi tính lõm của hàm số là ngặt) Bài tập 1 Tính các giới hạn sau 3 x +1 −1 b) lim 3 x →0 x + 1 − 1 1 + mx − 1 x x →0 a) lim c) lim x →8 9 + 2x − 5 d) lim 3 x −2 sin 7x e) lim x →π tan 3x 1 + x + x2 − 7 + 2x −... 2 , ( f ′′) ′ ( x ) = f ′′′ ( x ) = 0 và do đó f ( n) ( x ) = 0 , khi n ≥ 3 Do đó, f có đạo hàm vô hạn lần ª 3. 8 Mệnh đề Nếu f có đạo hàm tại a thì f liên tục tại a Chứng minh Bằng cách dùng đẳng thức f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + h ε ( h ) với lim ε ( h ) = 0 , h →0 lim ta suy ra rằng h →0 f ( a + h ) = f ( a ) ª 3. 9 Mệnh đề Nếu f và g có đạo hàm tại a thì a) f + g có đạo hàm tại a et (... lý (công thức Taylor-Young) Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên một lân cận của a thì với mọi h sao cho a + h nằm trong lân cận của a , ta có f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + + h n f ( n) ( a ) n! + hn ε ( h ) , lim với h →0 ε ( h ) = 0 Chứng minh Dùng công thức Taylor-Lagrange với b = a + h và đặt ε ( h) = f ( n) ( a + θh ) − f ( n ) ( a ) , n! lim ta được công thức Taylor-Young do h →0 ε ( h... dùng mệnh đề 5 .3 khi khoảng I không là khoảng mở và a là điểm biên của I Trường hợp này, ta nói các điểm biên của I cũng là các “ứng viên” để trở thành cực trò 5 2 Ví dụ 13 Hàm số f ( x ) = x − 5x + 4 liên tục trên khoảng đóng và bò chận  −1,1 nên có ít nhất một điểm cực đại toàn cục a và một điểm cực tiểu toàn   cục b trên  −1,1 Nếu a, b ∈ ( −1,1) thì chúng phải thỏa phương trình   ) ( f... ( a ) = 0 Ngược lại, nếu f ′ ( a ) = 0 , mệnh đề 5.7 cho f ( x ) − f ( a ) ≤ 0 , với mọi x ∈ I , và do đó f đạt cực tiểu toàn cục trên I tại a ª 4 3 2 Ví dụ 16 Xét hàm số f ( x ) = x + 4x + 6x + 5 Hàm f có đạo hàm vô hạn 3 2 cấp trên ¡ Ta có phương trình f ′ ( x ) = 4x + 12x + 12x = 0 có nghiệm duy 2 nhất x = 0 và f ′′ ( x ) = 12x2 + 24x + 12 = 12 ( x + 1) ≥ 0 Do đó f là hàm lồi trên ¡ và 0 trở... 2n + 1) ! c) cos x = 1 − n x2n x2 x4 + + + ( −1) + x2nε ( x ) , 2! 4 ! ( 2n ) ! lim với x →0 ε ( x ) = 0 8 Khảo sát cực trò hàm số f xác đònh trên ¡ với f ( x ) = x5 − 20x + 3 73 9 Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 2 a) f ( x ) = x − 4x + 5x − 10 trên khoảng  −1, 4    b) f ( x ) = 4 − x + x − 2 trên khoảng 2, 4    ... bò chận  −1,1 nên có ít nhất một điểm cực đại toàn cục a và một điểm cực tiểu toàn   cục b trên  −1,1 Nếu a, b ∈ ( −1,1) thì chúng phải thỏa phương trình   ) ( f ′ ( x ) = 5x4 − 10x = 5x x3 − 2 = 0 3 với nghiệm duy nhất x = 0 (do x = 2 ∉ ( −1,1) ) Các ứng viên cho a, b là x = −1 , x = 0 và x = 1 Do f ( −1) = −2 ; f ( 0 ) = 4 và f ( 1) = 0 , ta suy ra 0 là điểm cực đại toàn cục và −1 là điểm . Chương 3HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰCTrong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của. hợp hàm f có đồ thò cho bởi hình sau : tồn tại  ∈ 1 2 3c ,c ,c a,b sao cho( ) ( ) ( )= = =1 2 3f c f c f c d.Trường hợp hàm f không liên tục trên  