Giáo án giải tích 11 chương 1 bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 2 cột soạn theo 5 hoạt động định hướng phát triển năng lực trường học mới I. MỤC TIÊU: 1) Kiến thức: 2) Kĩ năng: 3) Thái độ: 4) Định hướng hình thành phẩm chất và năng lực cho học sinh II. CHUẨN BỊ 1) Giáo viên 2) Học sinh III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động 1: Mở đầu. (Nêu tình huống có vấn đề, giao nhiệm vụ học tập, xác định vấn đề cần giải quyết hoặc nhiệm vụ học tập gắn với kiến thức mới của bài học) Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới. ( Hoạt động với sách giáo khoa, thiết bị dạy học và học liệu để khai thác, tiếp nhận kiến thức mới thông qua kênh chữ, kênh hình, kênh tiếng, vật thật,...) Hoạt động 3: Luyện tập. ( Câu hỏi, bài tập, thực hành, thí nghiệm để phát triển các kĩ năng gắn với kiến thức mới vừa học) Hoạt động 4: Vận dụng. (Vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết các tình huống, vấn đề trong thực tiễn) Hoạt động 5: Tìm tòi mở rộng. ( Có thể cho học sinh khá giỏi làm ở nhà) IV. HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Lưu ý: Số cột của từng hoạt động trong tiến trình dạy học giáo viên có thể tự linh động.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (5 tiết) I.Mục tiêu: 1/ Kiến thức: - Biết dạng PT cách giải PT bậc hàm số lượng giác, PT qui PT bậc hàm số lượng giác - Biết dạng PT cách giải PT bậc hai hàm số lượng giác, PT qui PT bậc hai hàm số lượng giác -Biết dạng PT cách giải PT bậc sinx cosx, PT bậc hai sinx cosx 2/ Kĩ năng: - Giải PT bậc hàm số lượng giác , PT bậc hai hàm số lượng giác, PT bậc sinx cosx, , PT bậc hai sinx cosx - Giải số dạng phương trình lượng giác khác - Có kĩ chọn nghiệm khoảng để làm trắc nghiệm - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 3/ Thái độ : - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập hợp tác hoạt động nhóm - Có hứng thú học tập tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn 4/ Đinh hướng phát triển lực: - Năng lực hợp tác: Tở chức nhóm học sinh hợp tác thực hoạt động - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tịi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình - Năng lực phát giải vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình giờ học - Năng lực tính tốn -Năng lực quan sát - Năng lực vận dụng kiến thức vào sống II.CHUẨN BỊ: Giáo viên: + Soạn xem lại giáo án trước giờ lên lớp + Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu Học sinh: + Đọc trước nhà +Làm việc nhóm nhà, trả lời câu hỏi giáo viên giao từ tiết trước III Chuỗi hoạt động học Kiểm tra cũ: 3 tan x − = ( b) b) 1)Giải phương trình: a) sin x = Bài mới: I Giới thiệu: Các em học xong công thức nghiệm PTLG Bây giờ tìm hiểu phương pháp giải số PTLG thường gặp dựa PTLG biết.(5 phút) II.Nội dung học: 1.Phương trình bậc HSLG (40 phút) HĐ1: Tiếp cận kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh trả lời câu hỏi sau 1)Nêu định nghĩa PT bậc x ? 2)Dựa vào PT (b) phát biểu ĐN PT bậc HSLG? 3) Cho VD PT bậc HSLG? 4) Nêu cách giải PT bậc HSLG? + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định học sinh trả lời câu hỏi, học sinh khác đánh giá lời giải 1)Dạng : ax+b=0 ( a ≠ 0) 2) PT bậc HSLG PT có dạng at + b = 0(a ≠ 0), t HSLG 3) 2cosx – = 4) at + b = ⇔ t = − b a + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, xác hóa lời giải GV định nghĩa HS viết vào HĐ2: Hình thành kiến thức: Gợi y a Định nghĩa: PT bậc HSLG PT có dạng at + b = 0,trong a, b số (a ≠ 0), t HSLG b Cách giải : at + b = ⇔ t = − b Ta đưa PT a PTLG VD:Tìm tất nghiệm phương trình tan x − = π π + k 2π , k ∈ Z B x = + kπ , k ∈ Z 4 π π C x = − + kπ , k ∈ Z D x = − + k 2π , k ∈ Z 4 A x = c PT đưa PT bậc hàm số lượng giác VD : PT 5cosx – 2sin2x = HĐ3: Củng cố kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh thảo luận theo nhóm giải tập sau Gợi y + Thực hiện: HS trao đởi theo nhóm tìm lời giải + Báo cáo, thảo luận: Gọi nhóm hs lên trình bày LG + Đánh giá, nhận xét: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, xác hóa lời giải 1)Giải phương trình sau a) 2cosx – = b) 2sinx – = c) cot x − = d) (sinx + 1)(2cos2x – ) = e) 5cosx – 2sin2x = f) 8sinx.cosx.cos2x = –1 g) sin2x – sinx = a) π ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ Z b) pt ⇔ sinx = > 1: PT VN c) cot x = sin x = −1 d) PT⇔ cos2x = cos x = e) PT ⇔ cosx(5 – 4sinx) = f) PT ⇔ 2sin4x = –1 g) PT ⇔ sinx(sinx – 1) = PT bậc hai HSLG (45 phút) HĐ1: Tiếp cận kiến thức: + Chuyển giao:: Học sinh trả lời câu hỏi sau + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định học sinh trả lời câu hỏi, học sinh khác đánh giá lời giải + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá, xác hóa lời giải, từ GV định nghĩa HS viết vào 1)Nêu định nghĩa PT bậc hai x ? 2) HS lấy VD PT bậc hai HSLG sau cho biết dạng PT bậc hai HSLG 3) Nêu cách giải PT bậc hai HSLG Gợi y 1) ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 2) sin x − sin x + = 3) Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối ta đưa việc giải phương trình lượng 4)Để giải phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác em nhắc lại - Hằng đẳng thức lượng giác - Công thức cộng - Công thức nhân đôi - Công thức biến đởi tích thành tởng, tởng thành tích HĐ2: Hình thành kiến thức: a Định nghĩa: phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at + bt + c = ( a, b, c ∈ R (a ≠ 0) t hàm số lượng giác b Cách giải : Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối ta đưa việc giải phương trình lượng giác * asin2x + bsinx + c = Đặt t = sinx Đk: t ≤ * acos2x + bcosx + c = Đặt t = cosx Đk: giác Gợi y t ≤1 * atan2x + btanx + c = Đặt t = tanx * acot2x + bcotx + c = Đặt t = cotx c PTquy phương trình bậc hai hàm số lượng giác Tìm cách đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác HĐ3: Củng cố kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh thảo luận theo nhóm giải BT + Thực hiện: HS trao đổi theo nhóm để tìm lời giải + Báo cáo, thảo luận: Gọi nhóm học sinh lên trình bày lời giải + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức, GV chuẩn hóa lời giải Gợi y x x a) sin + sin − = b)cos2x + sinx + =0 c) tan x − cot x + − = 2 d) sin x − sin x cos x − cos x = −2 x PT ⇔ 2t + 2t − = Đặt sin = t ( −1 ≤ t ≤ ) (*) t = − (loai ) ⇔ t = (nhân) …… Chú ý: Phương trình: a sin x + b sin x cos x + c cos x = d b)cos2x + sinx + =0 ( a + b + c ≠ , a, b, c, d ∈ R ) Chia hai vế cho cos x ( với điều kiện cos x ≠ ) để đưa phương trình bậc hai tanx Khi ta phương trình sau: s in x s inx d +b +c = cos x cos x cos x ⇔ a tan x + b tan x + c = d ( + tan x ) a ⇔ ( a − d ) tan x + b tan x + c − d = Giải phương trình bậc hai tanx ta tìm nghiệm phương trình ban đầu Nếu chia hai vế PT cho sin x (sin x ≠ 0) ta phương trình bậc hai cotx ⇔ − sin x + s inx +1 =0 ⇔ sin x − s inx − =0 Đặt t = sinx Đk: t ≤ pht thành: t2 – t – =0 t = −1 ⇔ t = 2(loai) ⇔ s inx = − π ⇔ x = − + k 2π (k ∈ Z) c) tan x − cot x + − = +) Điều kiện: sin x ≠ cos x ≠ (*) Ta có : +2 −3= tan x tan x + (2 − 3) tan x − = tan x − Đặt tan x =t ta có 3t + (2 − 3)t − = t = ⇔ t = −2 Ta có π π ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) 3 tanx = −2 ⇔ x = arc tan(−2) + k π (k ∈ Z ) tanx = ⇔ tanx = tan Các giá trị thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm : x = x = arc tan(−2) + k π (k ∈ Z ) π + kπ d) sin x − sin x cos x − cos x = −2 Trường hợp : cos x = ⇔ x = (3) π + kπ , k ∈ Z nghiệm phương trình (3) Trường hợp : cos x ≠ Chia hai vế phương trình (3) cho cos x ta −2 cos x ⇔ tan x − tanx + = tan x − tan x − = π tan x = x = + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) tan x = x = arctan + kπ Vậy phương trình có nghiệm : π x = + kπ (k ∈ Z ) x = arctan + kπ 3.PT bậc sinx cosx.(45 phút) HĐ1: Tiếp cận kiến thức: + Chuyển giao: Học sinh trả lời câu hỏi + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định học sinh trả lời câu hỏi, học sinh khác đánh giá lời giải + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên xác hóa lời giải 1) HS nhắc lại cơng thức cộng π π = cos = 4 π CM: s inx+cosx= sin x + ÷ 4 2) Với kết sin 3): Chứng minh rằng: A=a sin x + b cos x a b = a + b2 s inx + cosx ÷ 2 a2 + b2 a +b Gợi y cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a π s inx+cosx= sin x + ÷ 4 2 + Vì a + b > nên ta viết biểu thức dạng 4)Tính: a b I = + ÷ 2 2 a +b a +b a b 5) Với cosα = 2 ,sin α = 2 a +b a +b ÷ +, I=1 , thu gọn biểu thức A? + Ta có A = a + b ( sin x cos α + cos x sin α ) = a + b sin ( x + α ) HĐ2: Hình thành kiến thức: a) Biến đổi biểu thức: a sin x + b cos x , Gợi y a2 + b2 ≠ a sin x + b cos x = a + b sin( x + α ) (*) Với cosα = a a2 + b2 ,sin α = b a + b2 b) Phương trình dạng a sin x + b cos x = c (a, b, c ∈ R, a + b ≠ 0) PT ⇔ a + b sin( x + α ) = c c ⇔ sin( x + α ) = a + b2 (Chia hai vế pt cho a + b ) c PT có nghiệm ≤1 a + b2 ⇔ c ≤ a + b2 HĐ3: Củng cố kiến thức: + Chuyển giao:Phát phiếu học tập + Thực hiện: HS độc lập làm BT + Báo cáo, thảo luận: Gọi hs lên trình bày LG , Gọi HS khác nhận xét + Đánh giá, nhận xét: phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lời giải Gợi y 1) Giải phương trình sau sin x + cos x = 2 π π ⇔ cos sin x + sin cos x = 3 π π ⇔ sin( x + ) = sin π x = − + k 2π ⇔ x = π + k 2π PT ⇔ sin x + 3cosx = 2) Với giá trị m phương trình 2sin x + 5cos2 x = m có nghiệm 1) 2)Phương trình có nghiệm m2 ≤ ( 5) + 22 ⇔ −3 ≤ m ≤ III HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP (60 phút) +/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề BT +/ Thực nhiệm vụ: Học sinh thảo luận làm BT +/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh lên chữa tập, học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải +/ Đánh giá, nhận xét: Trên sở lời giải học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lời giải Bài tập Gợi y a) ⇔ cos x = ⇔ x = ± π + k2π, k ∈ ¢ Phương trình bậc hàm số lượng giác b) ⇔ sin x ( sin x - 1) = 1) Giải phương trình sau: x = kπ sin x = a) cos x - = ,k∈ ¢ π ⇔ sin x = ⇔ x = + k2π b) sin x - sin x = c) 2sin x + sin x = c) ⇔ 2sin x(1 + cos x) = d) ( sin x +1) ( cos x - ) = π sin2x = x = k ⇔ , k∈ ¢ ⇔ π cos2x = − x = ± + kπ π sin x = −1 x = − + k2π ,k∈ ¢ d) ⇔ 2⇔ π cos2x = x = ± + kπ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác t = cos x, −1≤ t ≤ 2t − 3t + 1= a) 2) Giải phương trình sau: a) cos x - 3cos x +1 = x −1≤ t ≤ t = cos , b) 2 t + 2t − = t = tan x c) 2t + 3t + 1= x x 2 c) tan x + tan x +1 = d) tan x - 2cot x +1 = b) sin - cos + = t = tan x, t + t − = d) t≠ 3) Giải phương trình sau: a sin x + sin x cos x − cos x = b sin x − sin x cos x + cos x = c sin x − sin x − cos x = d 25sin x +15sin x +9 cos x = 25 PT bậc sinx cosx 4) Giải phương trình sau: a) cos x − sin x = b) sin 3x − cos 3x = c) sin x − cos x − = BTTN +/ Chuyển giao: GV chiếu câu hỏi trắc nghiệm phát phiếu học tập +/ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định học sinh trả lời đáp án, học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải +/ Đánh giá, nhận xét: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên xác hóa lời giải.và chốt lại đáp án Câu Phương trình sau vơ nghiệm? A cos x + = B sin x − = C tan x + = D cot x + = Câu Tìm tất nghiệm phương trình: cos x − cos x + = A x = k 2π x =− π B x = kπ C x = π + k 2π D + k 2π Câu3.Tìm tất nghiệm phương trình: A x = 30 + k180 , k ∈ Z C x = 30 + k 90 , k ∈ Z cot(2 x − 30 ) − = kπ ,k ∈ Z D x = 60 + k 90 , k ∈ Z B x = 30 + Câu Tìm tập nghiệm T phương trình π + k 2π ; arcsin(−3) + k 2π , k ∈ Z B T = ± π + k 2π , k ∈ Z D T = ± A T = ± π + k 2π ; π − arcsin(−3) + k 2π , k ∈ Z π + k 2π , k ∈ Z C T = ± Câu Tìm tất giá trị thực m để phương trình sin x + m cos x = 10 có nghiệm m ≤ −3 B − ≤ m ≤ A m ≥ C m ≥ ±3 D m ≤ ±3 π Câu 6.Tìm tất nghiệm phương trình thuộc khoảng (− ; π ) π π π π C x = − ; x = 0; x = D x = 0; x = 4 Câu 7: Gọi GTLN, GTNN hàm số y = 2cos x + sin x M, m Tìm A=M+m A A = B A = C A = − D A = 2 A x = 0; x = π B x = 0; x = ; x = π IV HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ MỞ RỢNG: (30 phút) +/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề BT +/ Thực nhiệm vụ: Học sinh thảo luận nhóm làm BT +/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh đại diện cho nhóm lên chữa tập, học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải +/ Đánh giá, nhận xét: Trên sở lời giải học sinh, giáo viên phân tích, đánh giá ,chính xác hóa lời giải Bài tập 1) Giải phương trình sau: a) 2)sin2x + cos2x b) Gợi y a) sin x + cos x = sin 3x b) sin x + cox = sin x − cos x 2sin3x = sin x + cosx - sin2x + 2cos2 x - = 2) Giải phương trình sau: a) tan(2 x + 1) tan(3x − 1) = π c) (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x 1 + = d) sin x cos x sin x b) tan x + tan( x + ) = a) cos(2 x + 1) ≠ cos(3 x − 1) ≠ ĐK: 10 PT ⇔ tan(2 x + 1) tan(3 x − 1) = ⇔ tan(3x − 1) = tan(2 x + 1) ⇔ tan(3 x − 1) = cot(2 x + 1) π ⇔ tan(3 x − 1) = tan( − x − 1) cos x ≠ b)ĐK: π cos( x + ) ≠ tan x + tan x + = ⇔ tan x − tan x = − tan x c) ĐK: cos x ≠ Với ĐK (cos x − sin x)(sin x + cos x) (cos x + sin x ) = cos x cos x x = kπ ⇔ (sin x + cos x )(cos x − 1) = ⇔ x = − π + kπ PT ⇔ (thỏa) Vậy PT vô nghiệm d) ) ĐK: sin x ≠ Với ĐK 1 + = sin x cos x sin x cos x 2 x = k 2π ⇔ (sin x + cos x = ⇔ ( Không thoa ĐK ) 2 x = π + k 2π PT ⇔ 3).Một vật nặng treo lò xo , chuyển động lên xuống qua vị trí cân (như hình vẽ bên) Khoảng cách h từ vật đến vị trí cân thời điểm t giây tính theo cơng thức h = d d = 4sin6t - 3cos6t , với d tính cm , ta quy ước d > vật phía vị trí cân , d < vật phía vị trí cân Hỏi: a)Ở vào thời điểm giây ,vật vị trí cân ? b) Ở vào thời điểm giây ,vật xa vị trí cân nhất? 3) Ta có: sin 6t − cos 6t = 41 sin(6t − α ) ; sin α = Với cos α = 41 41 Sử dụng máy tinh , ta chọn α ≈ 0.675 a)Vật vị trí cân d=0, nghĩa sin(6t − α ) = ⇔ t = α kπ + (k ∈ Z ) 6 Ta cần tìm k nguyên dương cho α kπ α −α + ≤1⇔ − ≤ k ≤ 6 π π Với α ≈ 0.675 thu − 0.215 < k < 1.7 Nghĩa k ∈ { 0,1} α α π Vậy t = ≈ 0.11( giây ) t = + ≈ 0.64( giây ) 6 ≤ t ≤1⇔ ≤ 11 b) Vật xa vị tri cân d nhận giá trị lớn Điều xảy α π kπ + + (k ∈ Z ) 12 α π kπ α −α ≤ t ≤1⇔ ≤ + + ≤1⇔ − − ≤ k ≤ − 12 π π α ≈ 675 − 715 < k < Với thu { k ∈ ,1} Nghĩa α π α π π Vậy t = + ≈ 0.37( giây ) t = + + ≈ 0.90( giây ) 12 12 sin(6t − α ) = ±1 ⇔ cos(6t − α ) = ⇔ t = 12 ... sin π x = − + k 2? ? ⇔ x = π + k 2? ? PT ⇔ sin x + 3cosx = 2) Với giá trị m phương trình 2sin x + 5cos2 x = m có nghiệm 1) 2 )Phương trình có nghiệm m2 ≤ ( 5) + 22 ⇔ ? ?3 ≤ m ≤ III HOẠT ĐỘNG... cos2x = − x = ± + kπ π sin x = ? ?1 x = − + k2π ,k∈ ¢ d) ⇔ 2? ?? π cos2x = x = ± + kπ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác t = cos x, ? ?1? ?? t ≤ 2t − 3t + 1= a) 2) Giải phương. .. sin2x + 2cos2 x - = 2) Giải phương trình sau: a) tan (2 x + 1) tan(3x − 1) = π c) (1 − tan x) (1 + sin x) = + tan x 1 + = d) sin x cos x sin x b) tan x + tan( x + ) = a) cos (2 x + 1) ≠ cos (3 x