Vaọy caực tớnh chaỏt trẽn ủaừ ủửụùc chửựng minh.
Nhaọn xeựt. Do (4) toaựn tửỷ dkhõng phú thuoọc heọ tóa ủoọ. 3. BỔ ẹỀ POINCARÉự
3.1 Dáng ủoự vaứ dáng khụựp. Cho dáng vi phãnω∈Ωk(U).
ω gói laứủoựng trẽnU neỏuudω= 0 trẽnU.
ω gói laứkhụựp trẽnU neỏuu tồn tái η∈Ωk−1(U) sao cho ω=dη. Nhaọn xeựt. Neỏu ω khụựp, thỡ ω ủoựng vỡd(dη) = 0.
Vớ dú sau chổ ra dáng ủoựng nhửng khõng khụựp: ω(x, y) = ydx−xdy
x2+y2 ∈Ω1(R2\0). Dáng ω laứ ủoựng, vỡ dω= x2−y2
(x2+y2)2dy∧dx− y2−x2
(x2+y2)2dx∧dy= 0. Nhửng ω khõng khụựp. Thaọt vaọy, giaỷ sửỷ tồn tái haứm f ∈Ω0(R2\0), ω=df. Góiϕ(t) = (sint,cost). Khi ủoự
ϕ∗ω=ϕ∗(df) =d(ϕ∗f) =d(f◦ϕ) = (f◦ϕ)dt.
Maởt khaực ϕ∗ω= costd(sint)−sintd(cost)
sin2t+ cos2t = dt . Vaọy (f◦ϕ)(t)≡1. Suy ra f◦ϕ(t) =t+const. ẹiều naứy võ lyự vỡ f◦ϕlaứ haứm coự chu kyứ ù2π.
Khi moọt dáng Pfaff ω =a1dx1+ã ã ã+andxn∈Ω1(U), tồn tái haứm f ∈Ω0(U) thoỷa
df =ω, thỡ f ủửụùc gói laứ moọt tớch phãn ủầu cuỷaω.
Noựi moọt caựch khaựcf thoỷa heọ phửụng trỡnh vi phãn ủáo haứm riẽng caỏp moọt
∂f
∂x1 =a1, ã ã ã, ∂f
∂xn =an.
Vaọy neỏuω coự tớch phãn ủầu (= khaỷ tớch = khụựp), thỡ dω= 0, ịẹ caực haứma1,ã ã ã , an
thoỷa heọ thửực
∂aj ∂xi =
∂ai
∂xj vụựi móii, j= 1,ã ã ã, n.
Tớnh chaỏt hỡnh hóc cuỷa taọp nhiều khi quyeỏt ủũnh baứi toaựn giaừi tớch. Moọt dáng ủoựng cuừng laứ khụựp trẽn U, khi taọpU coự tớnh chaỏt hỡnh hóc sau:
3.2 Taọp co ruựt ủửụùc. Taọp con U trong Rn gói laứ co ruựt ủửụùc về moọt ủieồm x0 ∈U
neỏuu tồn tái moọt aựnh xá lụựp C1
h:U ì[0,1]→U, (x, t) →h(x, t)
sao cho: h(x,0) =x0 vaứh(x,1) =x, ∀x∈U. Vớ dú. Sau ủãy laứ moọt soỏ lụựp taọp co ruựt quan tróng:
IIỊ3 Boồ ủề Poincareự 38 Taọp lồi: taọpU gói laứ lồi neỏuu ∀x, y∈U ủoán[x, y] ={x+t(y−x) :t∈[0,1]} ⊂U. Chaỳng hánRn, hỡnh cầu, hỡnh hoọp laứ caực taọp lồị
Taọp hỡnh sao: taọpU gói laứ hỡnh sao neỏuu∃x0∈U :∀x∈U, [x0, x]⊂U. Trong caực vớ dú trẽn aựnh xá h(x, t) =x0+t(x−x0) thoỷa ẹũnh nghúa 3.2.
Baứi taọp: Roừ raứng laứ taọp lồi laứ taọp hỡnh saọ Tỡm vớ dú taọp hỡnh sao khõng lồi, taọp co ruựt ủửụùc khõng hỡnh saọ
3.3 ẹũnh lyự (Boồ ủề Poincareự). Giaỷ sửỷ U laứ taọp mụỷ trong Rn, vaứ U co ruựt ủửụùc. Khi ủoự mói dáng ủoựng trẽn U laứ khụựp, ịẹ
ω∈Ωk(U), dω= 0 ⇔ ∃η∈Ωk−1(U), ω=dη.
Chửựng minh: GóiJt:U → Uì[0,1], Jt(x) = (x, t). Cho k= 1,2,ã ã ã. Trửụực heỏt ta xãy dửùng aựnh xá tuyeỏn tớnh K: Ωk(Uì[0,1])→Ωk−1(U), thoaỷ
(∗) Kd+dK =J∗
1 −J∗
0
Moĩi phần tửỷ cuỷa Ωk(U ì[0,1])laứ toồng caực dáng coự moọt trong hai dáng sau: (1) a(x, t)dxI hay (2) b(x, t)dt∧dxJ, vụựi I = (i1,ã ã ã, ik), J = (j1,ã ã ã , jk−1).
Vỡ vaọy chổ cần ủũnh nghúa K cho tửứng dáng coự dáng trẽn. Ta ủũnh nghúa
K(a(x, t)dxI) = 0 K(b(x, t)dt∧dxJ) = 1 0 b(x, t)dt dxJ
Kieồm tra ủiều kieọn (∗) vụựi dáng (1):
(Kd+dK)(adxI) = K(da∧dxI) +d(0) = ( 1 0 ∂a ∂tdt)dxI = (a(x,1)−a(x,0)dxI = (J∗ 1 −J∗ 0)(adxI).
Kieồm tra ủiều kieọn (∗) vụựi dáng (2):
(Kd+dK)(bdt∧dxJ) = K(db∧dt∧dxJ) +d(( 1 0 bdt)∧dxJ) = K( i ∂b ∂xidxi∧dt∧dxJ) +d(( 1 0 bdt)∧dxJ) = − 1 0 ( i ∂b ∂xi)dt∧dxi∧dxJ +d(( 1 0 bdt)∧dxJ) = −d(( 1 0 bdt)∧dxJ) +d(( 1 0 bdt)∧dxJ) = 0. (J∗ 1 −J∗ 0)(bdt∧dxJ) = b(x,1)d(1)∧dxJ−b(x,0)d(0)∧dxJ = 0.
Bãy giụứừ choh :U ì[0,1]→U laứ aựnh xá co ruựt về x0. Giaỷ sửỷω ∈Ωk(U)ủoựng, ịẹ
dω= 0. Ta chửựng minh η=Kh∗ω laứ (k−1)-dáng thoaỷdη=ω. Do (∗) ta coự (Kd+dK)h∗ω = (J∗ 1 −J∗ 0)h∗ω. ⇔ Kdh∗ω+dKh∗ω = (h◦J1)∗ω−(h◦J0)∗ω. ⇔ Kh∗dω+dKh∗ω = (idU)∗ω−(x0)∗ω. ⇔ 0 +dKh∗ω = ω+ 0.
IIỊ3 Boồ ủề Poincareự 39 Vaọyη =Kh∗ω laứ dáng cần tỡm.
Heọ quỷạ Neỏu U laứ taọp mụỷ co ruựt ủửụùc, ω1, ω2 ∈ Ωk(U), vaứ dω1 = dω2, thỡ tồn tái
η∈Ωk−1 sao cho dη=ω1−ω2.
Vớ dú. TaọpR2\0 laứ khõng co ruựt ủửụùc vỡ tồn tái dáng vi phãn ủoựng maứ khõng khụựp trẽn ủoự (xem vớ dú ụỷ 3.1).
Nhaọn xeựt. Tửứ heọ quỷa trẽn, ta thaỏyη thoaỷ boồ ủề Poincareự laứ khõng duy nhaỏt. Coự theồ dửùa vaứo chửựng minh cuỷa ủũnh lyự ủeồ xãy dửùng η ủeồ dη=ω: η=Kh∗ω. Vớ dú. Choω = (x2−2yz)dx+ (y2−2zx)dy+ (z2−2xy)dz∈Ω1(R3).
Deĩ kieồm tradω= 0. ẹeồ tỡmf sao cho df =ω, nhử sau:
Caựch 1: Vỡ R3 laứ taọp co ruựt về0 vụựi h(x, y, z, t) = (tx, ty, tz). Theo ủũnh nghúa cuỷa caực toaựn tửỷ, ta coự:
h∗ω = t2(x2−2yz)(xdt+tdx) +t2(y2−2zx)(ydt+tdy) +t2(z2−2xy)(zdt+tdz). Kh∗ω = 1 0 t2(x2−2yz)xdt+ 1 0 t2(y2−2zx)ydt+ 1 0 t2(z2−2xy)zdt. Suy ra f =Kh∗ω= 1
3(x3+y3+z3−6xyz)laứ moọt tớch phãn ủầu cuỷaω, ịẹ df =ω. Caựch 2: Haứm f thoaỷ df =ω, coự theồ vieỏt lái
(1) ∂f ∂x = x2−2yz (2) ∂f ∂y = y2−2zx (3) ∂f ∂z = z2−2xy
ẹeồ tỡmf, ta lần lửụùt tớch phãn theo tửứng bieỏn: Tửứ (1)suy ra f = x3
3 −2xyz+ϕ(y, z)
Tửứ (2)suy ra ∂ϕ∂y =y2. Vaọy ϕ= y3
3 +ψ(z). Tửứ (3)suy ra ∂ψ∂z =z2. Vaọy ψ= z3
3 +const. Suy ra f = 1
3(x3+y3+z3)−2xyz+const (Caựch 2 coự theồ laứm cho caực miền hỡnh hoọp).
IV. Tớch phãn dáng vi phãn
1. ẹềNH HệễÙNG
1.1 Trửụứng vector. ChoM ⊂Rn. Moọt trửụứng vector trẽnM laứ aựnh xá
F :M →Rn, F(x) = (F1(x),ã ã ã, Fn(x))
Về maởt hỡnh hóc xem trửụứng vector nhử hó vector F(x)coự ủieồm goỏc ủaởt tái x.
1.2 ẹũnh hửụựng ủửụứng cong. ẹửụứng cong trụn C ⊂ R3, gói laứ ủũnh hửụựng τ neỏuu
τ :C → R3 laứ trửụứng vector liẽn túc vaứ tieỏp xuực vụựi C, ịẹ τ(x) tieỏp xuực vụựi C tái
x, vụựi móix∈C. : H H H H H Y t τ(x) x C
Vớ dú. ẹửụứng troứn ủụn vũ coự theồ tham soỏ hoaự bụỷi ϕ(t) = (cost,sint), t ∈ (0,2π). Khi ủoự trửụứng vector tieỏp xuực ϕ(t) = (−sint,cost)xaực ủũnh hửụựng ngửụùc chiều kim ủồng hồ.
1.3 ẹũnh hửụựng maởt. Cho S ⊂R3 laứ maởt cong trụn. Ta noựi S laứ ủũnh hửụựng ủửụùc neỏuu tồn tái trửụứng vector phaựp liẽn túc trẽn S, ịẹ tồn táiN :S →R3, liẽn túc vaứ
N(x)⊥TxS,∀x∈S.
Khi ủoựS gói laứủũnh hửụựng phaựp N.
s x N(x) B B B BBM - S
IV.1. ẹũnh hửụựng. 42 Vớ dú.
a) Maởt cầu laứ ủũnh hửụựng ủửụùc vaứ coự theồ chón moọt trong hai hửụựng: hửụựng phaựp trong hay hửụựng phaựp ngoaứị Cú theồ khi tham soỏ hoaự maởt cầu bụỷi
ϕ(φ, θ) = (cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ), (φ, θ)∈(0,2π)ì(0, π).
Vụựi tham soỏ hoaự ủoự, caực vector tieỏp xuực vụựi caực ủửụứng tóa ủoọ laứ
∂ϕ
∂φ = (−sinφsinθ,cosφsinθ,0), ∂ϕ
∂θ = (−cosφcosθ,sinφcosθ,−sinθ)
Deĩ kieồm tra hửụựng phaựp N = ∂ϕ ∂φ ì
∂ϕ
∂θ laứ hửụựng phaựp trong. b) Laự M ăobius cho ta moọt vớ dú về maởt khõng ủũnh hửụựng ủửụùc.
1.4 ẹũnh hửụựng khõng gian vector.
Dửùa vaứo trửùc quan: trẽn R coự theồ ủũnh hai hửụựng (dửụng neỏu cuứng hửụựng vụựi chiều taờng, ãm neỏu ngửụùc lái). Trong R2 coự theồ ủũnh hai hửụựng (thuaọn hay ngửụùc chiều kim ủồng hồ). Ta coự ủũnh nghúa saụ
Cho V laứ khõng gian vector k chiều trẽn R. Trong ẹái soỏ tuyeỏn tớnh ta ủaừ bieỏt laứ neỏu (v1,ã ã ã, vk) vaứ (w1,ã ã ã , wk) laứ caực cụ sụỷ cuỷa V, thỡ tồn tái ma traọn chuyeồn cụ sụỷ P = (pij)kìk sao chowj =
ipijvi.
Ta noựi(v1,ã ã ã, vk) vaứ (w1,ã ã ã , wk) cuứng hửụựngneỏuu detP >0,
(v1,ã ã ã, vk) vaứ (w1,ã ã ã , wk) ngửụùc hửụựng neỏuu detP <0.
Nhử vaọy trẽn taọp caực cụ sụỷ cuỷa V ủửụùc chia thaứnh hai lụựp tửụng ủửụng, moĩi lụựp gồm caực cụ sụỷ cuứng hửụựng vụựi nhaụ Lụựp cuứnh hửụựng vụựi (v1,ã ã ã , vk) kyự hieọu laứ
[v1,ã ã ã, vk], lụựp caực cụ sụ ngửụùc hửụựng kyự hieọu laứ−[v1,ã ã ã, vk].
Khõng gianV gói laứủaừ ủũnh hửụựng àneỏu ta chón moọt hửụựng à= [v1,ã ã ã , vk]. Vớ dú. TrongRkcụ sụỷ chớnh taộc xaực ủũnh hửụựng chớnh taộc. Theo ngõn ngửừ trửùc quan, hửụựng chớnh taộc trong R laứ hửụựng dửụng, hửụựng chớnh taộc trong R2 laứ hửụựng ngửụùc chiều kim ủồng hồ, coứn hửụựng chớnh taộc trong R3 laứ hửụựng tam dieọn thuaọn.
- → e1 - → e1 6 → e2 $ - → e1 6 → e3 → e2 Hửụựng chớnh taộc cuỷa R1,R2,R3 1.5 ẹũnh hửụựng ủa táp. ChoM ⊂Rn laứ ủa táp khaỷ vi kchiềụ
Moọt hó hửụựng à={àx:àx laứ moọt hửụựng trẽnTxM, x∈M}gói laứ tửụng thớch neỏuu chuựng bieỏn ủoồi moọt caựch liẽn túc theo nghúa sau: vụựi móia∈M, tồn tái tham soỏ hoaự
IV.1. ẹũnh hửụựng. 43
M gói laứủũnh hửụựng ủửụùc neỏuu tồn tái moọt hó hửụựng tửụng thớch trẽnM.
M gói laứ ủũnh hửụựng à neỏuu M ủũnh hửụựng ủửụùc vaứ hó hửụựng tửụng thớch à ủửụùc chón. Khi ủoự moọt tham soỏ hoaự nhử trẽn gói laứ tham soỏ hoaự xaực ủũnh hửụựng à. Nhaọn xeựt. ẹoỏi vụựi maởt cong trongR3, vieọc xaực ủũnh hửụựng nhử ủũnh nghúa trẽn tửụng ủửụng vụựi vieọc xaực ủũnh trửụứng vector phaựp liẽn túc. Ta coựN =D1ϕìD2ϕlaứ trửụứng phaựp vector.
1.6. Hửụựng caỷm sinh trẽn bụứ.
Meọnh ủề. Cho M laứ ủa táp khaỷ vi coự bụứ∂M. NeỏuM ủũnh hửụựng ủửụùc, thỡ ∂M cuừng ủũnh hửụựng ủửụùc.
Chửựng minh: Gổa sửỷ O laứ hó tham soỏ hoaự cuỷaM xaực ủũnh hửụựng à.
Vụựi mói (ϕ, U) ∈ O, gói i: Rk−1 → Rk, i(u1,ã ã ã , uk−1) = (u1,ã ã ã , uk−1,0). Khi ủoự hó {(ϕ◦i, i−1(U)) : (ϕ, U)∈ O, UHk=∅} laứ hó tham soỏ hoaự ∂M.
Vụựi moĩi x∈∂M, vaứ(ϕ, U)∈ O laứ hó tham soỏ hoaự tái x, ủũnh nghúa
x= [D1ϕ(u),ã ã ã, Dk−1ϕ(u)], x=ϕ(u).
Ta seừ chửựng minh x khõng phú thuoọc tham soỏ hoaự (ϕ, U) ∈ O, vaứ do vaọy hó ∂M,
={x : x=ϕ(u)∈∂M,(ϕ, U)∈ O } laứ moọt hó hửụựng tửụng thớch trẽn∂M. Neỏu (ϕ, U),(ψ, W)∈ O laứ caực tham soỏ hoaự tái x, thỡ ψ=ϕ◦h vụựideth >0. Tóa ủoọ thửựk cuỷa hthoaỷ:
hk(w1,ã ã ã , wk−1,0) = 0, va hk(w1,ã ã ã , wk−1, wk)>0 khi wk >0.
Suy ra vụựi w= (w1,ã ã ã , wk−1,0), doứng cuoỏi cuỷa ma traọn h(w) laứ
(D1hk(w) = 0 ã ã ã Dk−1hk(w) = 0 Dkhk(w)>0).
Do ủoự deth(w) = det(h◦i)(w1,ã ã ã, wk−1)Dkhk(w)>0.
Vaọy det(h◦i)(w1,ã ã ã, wk−1) >0. Maứ (h◦i)(w) chớnh laứ ma traọn chuyeồn cụ sụỷ
D1ϕ(u),ã ã ã, Dk−1ϕ(u) sang cụ sụỷ D1ψ(w),ã ã ã, Dk−1ψ(w) trong khõng gian Tx∂M
(x=ψ(w) =ϕ(u)), nẽn
[D1ψ(w),ã ã ã, Dk−1ψ(w)] = [D1ϕ(u),ã ã ã, Dk−1ϕ(u)].
Do vaọy x ủửụùc ủũnh nghúa khõng phú thuoọc tham soỏ hoaự xaực ủũnh hửụựng àx.
ẹũnh nghúạ ChoM laứ ủa táp ủũnh hửụựngà. Khi ủoự trẽn ∂M ta xaực ủũnh hửụựng caỷm sinh ∂à nhử sau:
Vụựi mói x ∈ ∂M, gói (ϕ, U) laứ tham soỏ hoaự tái x cuỷa M xaực ủũnh hửụựng à, ịẹ
àx= [D1ϕ(u),ã ã ã, Dkϕ(u)]. Khi ủoự ủũnh nghúa
∂àx= (−1)k[D1ϕ(u),ã ã ã, Dk−1ϕ(u)].
(Daỏu (−1)k ủeồ thuaọn tieọn cho cõng thửực Stokes sau naứy)
IV. Tớch phãn dáng vi phãn. 44 vector con cuỷaTxM coự ủoỏi chiều 1, nẽn vụựi moĩiv∈TxM\Tx∂M xaỷy ra moọt trong hai trửụứng hụùp:
(1)v hửụựng vaứo trong M, neỏu v∈ϕ(u)(Hk
+)
(2)v hửụựng ra ngoaứi M, neỏu ngửụùc lái trửụứng hụùp (1).
Về maởt trửùc quan, ta nhaọn bieỏt hửụựng trẽn ∂M laứ hửụựng caỷm sinh nhử sau:
Chov1,ã ã ã , vk−1 laứ cụ sụỷTx∂M. Khi ủoự neỏu v∈TxM laứ vector hửụựng vaứo trongM
vaứ xaực ủũnh hửụựng à= [v1,ã ã ã , vk−1, v], thỡ hửụựng caỷm sinh trẽn bụứ laứ
∂àx = (−1)k[v1,ã ã ã , vk−1] s x - v
Chaỳng hán, neỏu Hk ủũnh hửụựng chớnh taộc, thỡ hửụựng caỷm sinh trẽn ∂Hk =Rk−1ì0
truứng vụựi hửụựng chớnh taộc trẽn Rk−1 neỏu k chaỹn, vaứ ngửụùc vụựi hửụựng chớnh taộc ủoự neỏuk leỷ.
Vớ dú. Trửùc quan hụn nửừừa:
Neỏu miền M trong R2 ủũnh hửụựng chớnh taộc hay laứ maởt cong trong R3 ủũnh hửụựng phaựp N, thỡ hửụựng caỷm sinh trẽn ủửụứng cong ∂M laứ hửụựng ‘ủi dóc theo ủoự miền ụỷ phớa traựi’.
Neỏu M laứ miền trong R3 ủũnh hửụựng chớnh taộc, thỡ hửụựng caỷm sinh trẽn maởt cong
∂M laứ hửụựng ‘phaựp tuyeỏn ngoaứi’. 2. TÍCH PHÂN DAẽNG VI PHÂN
Trửụực heỏt laứ moọt vaứi gụùi yự cho vieọc xãy ủửùng tớch phãn cuỷa trửụứng vector hay cuỷa dáng vi phãn.
ChoF = (F1, F2, F3) laứ moọt trửụứng vector trongR3.
• Vụựi v ∈R3 laứ vector goỏc tái x, giaự trũ WF(x)(v) =< F(x), v >, gói laứ cõng cuỷa
F(x)dóc theo v.
Ta coự 1-dáng vi phãn tửụng ửựng: WF =F1dx1+F2dx2+F3dx3.
ChoClaứ moọt ủửụứng cong ủũnh hửụựng trongR3. Ta cần xãy ủửùng tớch phãn cuỷa trửụứng
F dóc theo C, hay laứ tớch phãn cuỷa dáng vi phãn WF trẽnC:
CWF =
CF1dx1+F2dx2+F3dx3.
• Vụựiv1, v2 ∈R3 laứ caực vector goỏc tái x, giaự trũ ωF(x)(v1, v2) =< F(x), v1ìv2 >, gói laứ thõng lửụùng cuỷaF(x) qua maởt bỡnh haứnh∆S táo bụỷiv1, v2.
IV. Tớch phãn dáng vi phãn. 45 ChoS laứ maởt ủũnh hửụựng trongR3. Ta cần khaựi nieọm tớch phãn cuỷa trửụứng vector F
qua maởt S, hay laứ tớch phãn cuỷa dáng vi phãn ωF trẽnS:
SωF =
SF1dx2∧dx3+F2dx3∧dx1+F3dx1∧dx2 2.1 ẹũnh nghúạ ChoU laứ taọp mụỷRk, vaứ ω∈Ωk(U).
Khi ủoự ω=f(u)du1∧ ã ã ã ∧duk. ẹũnh nghúa
Uω= Uf(u)du1∧ ã ã ã ∧duk = Uf(u)du1ã ã ãduk.
neỏu tớch phãn veỏ phaỷi tồn táị