Skkn phát huy năng lực, tư duy sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12 thpt

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình cấp THPT, nói đến mơn “ Hình học”, đa phần học sinh cảm thấy “ngại” tiếp xúc, đặc biệt hình học khơng gian u cầu người học phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt, tư logic, chặt chẽ, xác Khi học đến chương trình “Hình học giải tích khơng gian” em học sinh có phần “đỡ sợ” địi hỏi phải có trí tưởng tượng, suy luận logic Còn gặp tốn “cực trị hình học giải tích” em cảm thấy mảng kiến thức khó, lại có sức hấp dẫn mạnh mẽ người u tốn học, học mơn tốn Trước tình hình đó, với thực tế giảng dạy nghiên cứu với mong muốn tháo gỡ khó khăn cho học sinh việc giải số toán cực trị, để góp phần nâng cao chất lượng học tập, giúp học sinh tự tin giải nhanh số tốn cực trị, tơi chọn đề tài: “Phát huy lực, tư sáng tạo học sinh qua việc giải số toán cực trị hình học giải tích Lớp 12 THPT” II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở luận đề tài Giải tốn cực trị hình học tốn tổng hợp yêu cầu học sinh phải tổng hợp tốt kiến thức sau:  Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, hàm số bằng: đạo hàm, véc tơ, bất đẳng thức cổ điển,…  Suy luận hình học: Yêu cầu học sinh phải có khả tưởng tượng khơng gian, suy luận logic Thực trạng đề tài nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy học sinh, gặp toán cực trị hình học giải tích, em thường gặp khó khăn sau: skkn  Ngồi việc nắm kiến thức chương này, em phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian lớp 11, kiến thức véc tơ, kiến thức đạo hàm, kiến thức để đánh giá biểu thức Đây kiến thức khó nhiều học sinh  Khơng xác định hướng để giải toán khả suy luận tổng hợp kiến thức  Nhiều tốn dạng có nhiều cách suy luận, cách cho ta đến kết đường dài, ngắn khác Tôi nghiên cứu đề tài nhằm giúp em giải số toán cực trị hình học giải tích phương pháp quen thuộc, hiệu quả, dễ hiểu nhanh gọn Cũng có tốn tơi đưa nhiều phương pháp giải nhằm giúp em học sinh chọn cho cách giải phù hợp với khả mình, muốn đưa để cung cấp thêm kiến thức cho em Khảo sát chất lượng học sinh 12B5, 12B6.12B9 trường THPT Yên Định 2, thấy việc giải toán dạng em học sinh không tốt, học sinh lớp 12B9 Từ thực tế giảng dạy, nghiên cức đề tài triển khai thực Tơi thấy tính hiệu đề tài cao, thu kết tốt năm qua Các giải pháp tổ chức thực 3.1 Các giải pháp thực a Hệ thống lại kiến thức học Giúp học sinh nắm vững cơng thức cần nhớ để từ vận dụng tốt vào việc giải tập cụ thể b Phân dạng tập Vì thời gian không cho phép nên nghiên cứu dạng tập sau:  Dạng 1: Một số tốn cực trị hình học giải tích lớp12 liên quan đến tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước skkn  Dạng 2: Một số tốn cực trị hình học giải tích lớp12 liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng thoả 3.2.Các biện pháp tổ chức thực Do thời lượng tiết học khóa khơng đủ để thực nên sử dụng số tiết học tự chọn để thực đề tài Vì thời gian có hạn nên đưa nội dung mà hướng dẫn cho học sinh để sau tiết học em tự tin tìm hướng giải tốt số toán cực trị không gian Đối tượng áp dụng: Học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT Địa điểm tổ chức thực nghiệm: Học sinh lớp 12B5, 12B9 Trường THPT Yên Định a Cơ sở lí thuyết: Để làm phần yêu cầu em học sinh nắm vững toàn kiến thức chương III: Phương pháp toạ độ khơng gian, sách giáo khoa hình học 12, làm tốt tập sách giáo khoa Nắm vững phương pháp tìm giá trị lớn nhất,nhỏ hàm số đoạn, khoảng Ngoài yêu cầu em học sinh phải nắm thêm số kiến thức sau đây: -Cho mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = điểm A(x A;yA;zA), B(xB;yB;zB) Nếu:  (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) > điểm A B phía (α)  (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) < điểm A B khác phía mặt phẳng (α) - Với , hai véc tơ bất kỳ, ta ln có: │ + │≥ │ +│ Dấu = xảy  , hướng hai véc tơ - Cho điểm phân biệt A(x A;yA;zA), B(xB;yB;zB) M điểm chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 Ta có: skkn xM = yM = zM = Tiến hành giải số toán Dạng 1:Một số toán cực trị liên quan đến tìm vị trí điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho đường thẳng d hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA+MB có giá trị nhỏ -Xét trường hợp đặc biệt: +Nếu d AB vng góc với nhau, ta làm sau: Viết phương trình mặt phẳng (P )qua AB vng hinh1 góc với d Tìm giao điểm H AB mp(P) Khi với mọiđiểm M thuộc d ta có MA HA, dấu = xảy M H MB HB,dấu = xảy M H A B nên MA+MB nhỏ M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) H +Nếu AB//d, ta làm sau: M Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d Gọi H trung điểm AA’ A'hinh2 Ta có: Với M thuộc d MA+MB=MA’+MB A’B Dấu xảy M thuộc đoạn A’B Mà MH//AB, H trung điểm AA’ suy M trung điểm A’B Vậy M trung điểm đoạn A’B MA+MB nhỏ Phương pháp chung cho tốn sau: skkn Phương pháp 1: Tìm điểm A1,B1 hình chiếu vng góc A,B d Lấy điểm B’ thỏa mãn: B’ mp(d,A), khác phía với A qua d, B’B1 d B’B1=BB1 Khi : MA+MB=MA+MB’ AB’ Do A,B, d cố định nên B’ cố định Dấu đẳng thức xảy M thuộc đoạn AB’giao với d Lại có d A , mà B’B1=BB1 A1 M Suy ra: hình3 Chứng tỏ M điểm chia đoạn AB Theo tỉ số k=- Từ tìm tọa độ điểm M B1 B' B Nhận xét: Cách giải lập luận dài, dễ bị sai sót nên yêu cầu em học sinh phải tính tốn cận thận Phương pháp 2: -Viết phương trình d dạng tham số t: -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct) Tính MA+MB -Xét hàm số: f(t)=MA+MB Tìm giá trị nhỏ hàm số f(t), từ suy t, suy tọa độ điểm M -Kết luận Phương pháp 3: -Viết phương trình d dạng tham số t: -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct) Tính MA+MB -Xác định tọa độ véc tơ để không đổi, skkn - Khi MA+MB= , dấu xảy hướng Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: hai điểm A(-1;2;1), B(1;-2;-1) Tìm đường thẳng d điểm M để MA+MB nhỏ Nhận xét: =(2;-4;-2), véc tơ phương d =(-1;2;1), Nên đường thẳng AB song song với đường thẳng d Gọi H(1-t;2t;-1+t) hình chiếu vng góc A d,suy =(2-t;2t-2;t-2) Ta phải có: Suy ra: Gọi A’ điểm đối xứng A qua d, H trung điểm AA’ Suy A’( Ta có: Với M thuộc d MA+MB=MA’+MB A’B Dấu xảy M thuộc đoạn A’B Mà MH//AB, H trung điểm AA’ suy M trung điểm A’B Suy M( Vậy M( thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: hai điểm A(-4;1;1), B(3;6;-3) Hãy tìm d điểm M cho MA+MB nhỏ Nhận xét: Phương trình tham số đường thẳng d là: =(7;5;-4), véc tơ phương d =(2;-2;1) Suy skkn =0 nên đường thẳng d vng góc với AB Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc với d,suy (P) qua A nhận làm véc tơ pháp tuyến nên (P) có phương trình là: 2x-2y+z+9=0 Điểm M thuộc d thỏa mãn MA+MB nhỏ M giao điểm d (P) Nên M(1+2t;2-2t;3+t) với tlà nghiệm phương trình 2(1+2t)-2(-2-2t)+(3+t)+9=0 t=-2.Vậy M(-3;2;1) thỏa mãn điều kiện tốn Sau ta làm tốn khơng thuộc dạng đặc biệt Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: cho điểm A(2;-2;1), B(0;2;-3) Tìm đường thẳng d điểm M cho MA+MB nhỏ Cách 1: Gọi A1(1+2t;2-t;1+t) hình chiếu vng góc A d Ta có: Ta phải có Suy A1(3;1;2) Gọi B1(1+2t’;2-t’;1+t’) hình chiếu vng góc B d, làm tương tự ta B1(-1;3;0) Ta lấy điểm B’ cho: B’ mp(A,d), B’khác phía với A qua d, B’B 1=BB1 B’B1 vng góc với d Khi : MA+MB=MA+MB’ AB’ Do A,B, d cố định nên B’ cố định Dấu đẳng thức xảy M thuộc đoạn AB’giao vơi d Lại có , mà B’B1=BB1 Suy ra: Chứng tỏ M điểm chia đoạn AB skkn Theo tỉ số k=- Mà AA1= , BB1= nên k=-1 Từ ta có M(1;2;1) Nhận xét: Để giải cách yêu cầu học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính tốn cận thận phép tính nhiều dễ dẫn đến sai sót Cách 2: Gọi M(1+2t;2-t;1+t) Ta có: Chọn suy ra: Khi MA+MB= , Dấu = xảy khi: Vậy M(1;2;1) thỏa mãn điều kiện toán Nhận xét: Cách giải nhanh , học sinh gặp khó khăn chọn véc tơ cho không đổi Nhưng cần làm đến hai tương tự việc chọn véc tơ trở nên đơn giản Cách 3: Xét hàm số Ta có bảng biến thiên T F’(t) - 0 - + + + + f(t) Nhìn vào bảng biến thiên ta suy hàm số y=f(t) đạt giá trị nhỏ t=0 nên M(1;2;1) Nhận xét: Cách giải quen thuộc em học sinh 12 trở tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số skkn Bài toán 2: Cho điểm A, B mặt phẳng (α) Tìm trênmặt phẳng(α) điểm M cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn giải: -Xét xem điểm A, B phía hay khác phía (α) +TH1: Nếu điểm A, B khác phía (α) Khi đó: Với điểm M ta có: MA + MB Vì M AB, dấu = xảy M A AB (α), A, B khác phía nên có M, hình dấu = xảy M M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (α) Vậy M giao điểm AB (α) MA P+ MB nhỏ +TH2: Nếu điểm A, B đối xứng với A qua (α) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (α) B Với điểm M (α) ta có: ’ MA + MB = MA + MB B A ’ A B (1) Do A cố định, (α) cố định nên A’ cố định H => A’B không đổi dấu = M P M hinh5 đoạn A’B ( xảy A’ B khác phía (α) ) A' M giao điểm A’B (α) => MA + MB nhỏ Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α) có phương trình : x-2y-2z+4=0 hai điểm A(1;2;1),B(2;0;2).Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải Thay tọa độ A B vào phương trình tơ (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía mp (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm AB (α) Đường thẳng AB qua điểm B ,nhận =(1;-1;0) làm vecto phương skkn Phương trình tham số AB: Tọa độ ứng với t ngiệm phương trình 2+t -2(-t)-2.2+4=0 Hay điểm cần tìm Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình : x-y+2z=0 ba điểmA(1;2;-1) B(3;1;-2),C(1;-2;-2).Hãy tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (α) , để MA + MB có giá trị nhỏ M la giao điểm A’B với (α) Đường thẳng AA’ qua A vuông góc với (α) ,AA’ nhận làm vecto phương Phương trình tham số AA’: Tọa độ hình chiếu vng góc H A (α) ứng với t phương trình 1+t-(2-t)+2(-1+2t)=0 hay t= Do H trung điểm AA’ nên A’B có vtcp Phương trình tham số A’B: 10 skkn Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình : 2+t-1+2(1-3t)=0 Vậy với M( hay M( ) ) MA +MB có giá trị nhỏ Bài toán 3: Cho điểm phân biệt A1, A2,…,An số thực t1, t2,…,t n cho đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α) cho: │t1 + t2 +…+ tn.│ đạt giá trị nhỏ Từ ví dụ sau , học sinh hồn tồn suy luận phương pháp giải dạng tốn Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d: điểm A(0;1;5),B(0;3;3) Tìm M d để hai có giá trị nhỏ Giải Cách1 Gọi M(4+t;-1+t;t) Ta có ; = Dấu “ =” xảy t=1 t=1 M(5;0;1) Vậy M(5;0;1) thõa mãn điều kiện toán Cách2: Trước hết ta tìm điểm I cho I Ta có nhỏ nhỏ M hình chiếu I d 11 skkn Nhận xét: Phương pháp chung cho tốn tìm điểm I cho t1 + t2 +…+ tn = Khi đó: │t1 + t2 +…+ tn.│ Biểu thức cho đạt giá trị lớn MI nhỏ M hình chiếu vng góc I d hay trên( ) Bài toán 4: Cho điểm phân biệt A1, A2,…,An số thực t1,t2,…,tn Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (hay đường thẳng) cho tổng T= t1.MA12 + t2.MA22 + … + tn.MAn2 đạt giá trị nhỏ (nếu t 1+t2+… +tn>0), đạt giá trị nhỏ (t1+t2+…+tn f’(t)=0 BBT T f’(t) - -1 + + - + f(t) (P) tạo với mp(Oxy) góc nhỏ chọn a=1 cos lớn lớn b=-1 Vậy pt mp(P) : x-y+z-3=0 TH2: Với b=0 pt(P) :2ax +az -2a=0 2x +z-2=0 (loại) Vậy pt mp (P) cần viết x-y+z-3=0 Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d cho trước tạo với đường thẳng cho trước góc lớn 14 skkn Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm có dạng: ax+by+cz+d=0 Lấy hai điểm có toạ độ cụ thể thuộc d thay vào phương trình mp(P) ta rút hai ẩn c,d theo a b Tính sin góc mặt phẳng đường thẳng Tìm điều kiện để sin góc mặt phẳng đường thẳng lớn Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) ,B(-1;2;4) đường thẳng d : Viết phương trình mp (P) chứa d tạo với trục Oy góc lớn Giải Gọi mp (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 Nhận thấy điểm thuộc d Vì (P) chứa d nên 2ax +2by+(a-b)z-2a+4b=0 (P) có VTPT Gọi ; góc tạo (P) Oxy Ta có sin + Nếu b=0 sin + Nếu b o Dấu “=” xảy Để lớn sin chọn a=1 b=5 lớn 15 skkn Đạt (P) : 2x+10y-4z+18=0 x+5y-2z+9=0 Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho đường thẳng và hai điểm A(3; -1;-1), B(1; -2; -3) 1.Hãy tìm điểm M d cho a MA + MB đạt giá trị nhỏ b MA2+MB2 nhỏ c Diện tích tam giác AMB nhỏ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ 4.Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d tạo với trục Oy góc lớn nhât Viết phương trình đường thẳng d1 qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến d1 là: a Lớn b Bé Bài 2: Cho ba điểm A(-1; -2; 2), B(1; 3; -2), C(-3; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất Tìm điểm P (α) cho có giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho đường hai thẳng d1: d2: Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Bài 4: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng d: Trong các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất Kết thực nghiệm đề tài Khi chưa triển khai đề tài cho học sinh làm kiểm tra sau Điểm Lớp Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 16 skkn 12B5 25% 64,5% 10,5% 0% 12B9 22,7% 61,9% 15,4% 0% Sau triển khai đề tài tiếp tục khảo sát kết sau: Điểm Lớp Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12B5 8,3% 34,5% 41,7% 15,5% 12B9 4,5% 31,4% 50,5% 13,6% Đây kết tích cực, thể học sinh tự tin giải toán cực trị hình học giải tích lớp 12 tốt hơn, phương pháp mà tơi đưa học sinh làm nhanh kết mà không yêu cầu em phải tượng tượng nhiều III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Một tốn có nhiều cách giải song tìm lời giải ngắn gọn, hợp lí việc khơng dễ Do chuyên đề nhỏ giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Trong q trình giảng dạy , tơi đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập mà cho kiểm tra lớp Kết học sinh tiến nhanh chóng cịn u thích học phần Và từ toán với nhiều phương pháp mà đưa Tôi tin em hồn tồn có 17 skkn thể suy luận tìm hướng giải cho tốn cực trị khác hình học giải tích lớp 12 Đó mục tiêu viết đề tài Do kinh nghiệm chưa nhiều nên viết cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp xa gần để đề tài thành chuyên đề tốt giúp ích cho trình giảng dạy Tơi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Yên Định, Ngày 20 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Thị Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất Giáo dục-Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên) Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình nâng cao-Nhà xuất Giáo dục- Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) 3.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình chuẩn- Nhà xuất Giáo dục-Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên) 18 skkn 4.Sách giáo viên Hình học 12 chương trình nâng cao- Nhà xuất Giáo dục-Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) Đề thi TSĐH từ năm 2002-2011 BGD&ĐT Mạng Internet Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Hình học 12- NXB ĐHQG Hà Nội-Ths Lê Hồnh Phị Hình giải tích- Nhà xuất Hà Nội- Trần Phương - Lê Hồng Đức 9.Hình học giải tích- Nhà xuất Giáo dục- Trần Văn Hạo(Chủ biên) MỤC LỤC Trang I.ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………… II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………1 Cơ sở lí luận đề tài ………………………1 Thực trạng đề tài nghiên cứu…………… Giải pháp tổ chức thực ……………….2 19 skkn Kết thực nghiệm đề tài …………… 17 III.KẾT LUẬN ………………………………… 18 20 skkn ... sau:  Dạng 1: Một số tốn cực trị hình học giải tích lớp1 2 liên quan đến tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước skkn  Dạng 2: Một số tốn cực trị hình học giải tích lớp1 2 liên quan đến tìm đường... 15,5% 12B9 4,5% 31,4% 50,5% 13,6% Đây kết tích cực, thể học sinh tự tin giải tốn cực trị hình học giải tích lớp 12 tốt hơn, phương pháp mà đưa học sinh làm nhanh kết mà không yêu cầu em phải tư? ??ng... thêm kiến thức cho em Khảo sát chất lượng học sinh 12B5, 12B6.12B9 trường THPT Yên Định 2, thấy việc giải toán dạng em học sinh không tốt, học sinh lớp 12B9 Từ thực tế giảng dạy, nghiên cức đề