(Luận án tiến sĩ) nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2021 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 9460104 : Phản biện thứ : GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021 luan an i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả, nội dung luận án “Nghiệm đại số số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” thực hướng dẫn thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng Luận án có trích dẫn thích nguồn gốc, kết trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Nếu có điều gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực Hà Trọng Thi luan an ii Lời cảm ơn Luận án hoàn thành trình học tập nghiên cứu Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các thầy bảo tận tình hướng dẫn tơi từ bước đầu làm nghiên cứu Các thầy hướng dẫn nghiêm túc tạo tình cảm thân thiện suốt thời gian học tập Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt để học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán Thống kê thầy cô giáo Khoa ủng hộ, động viên suốt thời gian tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bình Định, đồng nghiệp bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt để tham gia học tập Trân trọng luan an iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Kiến thức sở đại số 1.1.1 Mở rộng trường 1.1.2 Kết thức Đại số vi phân 11 1.2.1 Trường vi phân 12 1.2.2 Nghiệm đa thức vi phân 17 Đường cong đại số hữu tỷ 22 Phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp 25 2.1 Phép biến đổi tương đương 25 2.2 Phép biến đổi Măobius 30 Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 38 3.1 Nghiệm đại số 38 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 42 luan an iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số 45 Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 4.1 50 Phương trình vi phân đa thức 51 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b 51 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw 57 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b 58 4.2 Phương trình vi phân Riccati 4.3 Phương trình vi phân Abel 67 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 72 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom 64 78 Kết luận 87 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 luan an v BẢNG CÁC KÝ HIỆU C trường số phức i số phức đơn vị ảo C(x) trường vi phân hàm hữu tỷ theo biến x K bao đóng đại số trường K K[x] vành đa thức n biến x = (x1 , , xn ) với hệ số K deg(f ) bậc đa thức f K{y} vành đa thức vi phân theo biến y trường K prem(P, F ) phần dư phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F res(f, g, x) kết thức f g theo biến x disc(f ) biệt thức đa thức biến f δF bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân F (1) AODE K M ΦM tập phương trình vi phân đại số cấp trng K au + b phộp bin i Măobius trờn K ; M (u) = cu + d ánh xạ hu t tng ng vi phộp bin i Măobius M ;   ∂M (u) ∂M (u) ΦM (u, v) = M (u), ∂x + ∂u v luan an vi (1) GK nhóm phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM • tác động nhóm GK lên AODE K Tc ánh xạ tịnh tiến theo c (1) luan an (1) MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp có dạng F (y, y ) = 0, F ∈ C(x)[y, y ] F có chứa biến đạo hàm y Nếu F ∈ C[y, y ] ta nói phương trình F (y, y ) = autonom (tức hệ số F số) Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 với cơng trình tiêu biểu L Fuchs [14], H Poincaré [27] J Malmquist [19] Một nghiệm chung F (y, y ) = ∂ F (y, y ) = gọi nghiệm kỳ dị Các nghiệm kỳ dị ∂y phương trình F (y, y ) = ln nghiệm đại số có hữu hạn nghiệm kỳ dị vậy, đồng thời việc tìm nghiệm kỳ dị đơn giản Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng quát đại số hay không đưa thuật tốn tính tốn tường minh nghiệm tổng quát đại số vấn đề khó Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân cấp giải cách có hệ thống cho trường hợp phương trình vi phân autonom Trong trường hợp tồn nghiệm đại số không tầm thường định tồn nghiệm tổng quát đại số Câu hỏi tự nhiên đặt liệu có cịn lớp phương trình luan an khác rộng có tính chất hay khơng? Vấn đề tương tự cho phương trình vi phân cấp không autonom (non-autonomous) giải cho số trường hợp đặc biệt; lớp nghiệm hình thức phương trình F (y, y ) = quan tâm nghiên cứu nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, Hiện thuật tốn hữu hiệu để tìm kiếm dạng nghiệm nói giới hạn phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati, phương trình Abel) Việc sử dụng phép biến đổi Măobius trỡnh by cỏc bi bỏo [22, 23] cú thể lớp phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom biến đổi cách tương đương phương trình autonom có nghiệm tổng quát đại số Như cần nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề Bên cạnh đó, dựa vào chặn bậc cho nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom, ta suy chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số Vấn đề mở rộng cho phương trình vi phân cấp khơng autonom câu hỏi mở cần nghiên cứu Một nghiệm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = trường mở rộng vi phân K C(x) phần tử η ∈ K cho F (η, η ) = 0, “ ” phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm thông thường C(x) Nếu F đa thức bậc theo y phương trình vi phân tương ứng viết dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), luan an ... nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân đại số cấp tương đương với phương trình autonom phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Từ đưa thuật tốn hữu hiệu để tìm nghiệm tổng qt đại số. .. Hơn nữa, vi? ??c tính nghiệm tổng quát đại số phương trình quy vi? ??c tính nghiệm đại số khơng tầm thường Vấn đề tính tốn tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp không... hệ luan an tương đương khác phương trình vi phân đại số cấp Từ vấn đề giải phương trình vi phân đại số đưa vi? ??c giải phương trình lớp tương đương phân loại phương trình theo quan hệ tương đương