Đang tải... (xem toàn văn)
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung I Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của[.]
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: I Lý thuyết - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức - Phương pháp đặt nhân tử chung phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm hạng tử có chung nhân tử: A.B + A.C = A.(B + C) II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a Phương pháp giải: Phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng b, Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x - 3x = x.x – 3x = x.(x – 3) b, 3x – 6y = 3x – 2.3.y = 3.(x – 2y) c, x(y x)2 xy(x y) = x(x y)2 xy(x y) = x.(x – y)(x – y) + xy(x – y) = x.(x – y).[(x – y) + y] = x (x – y) Dạng 2: Các tốn liên quan a Phương pháp giải: Phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng để làm số tốn tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,… b Ví dụ minh họa VD1: Tính nhanh: a, 75.20,9 + 20,9 = 20,9.(75 + ) = 20,9.100 = 2090 b, 98,6.199 – 990.9,86 = 98,6.199 – 99.10.9,86 = 98,6.199 – 98,6.99 = 98,6.(199 – 99) = 98,6.100 = 9860 VD2: Tính giá trị biểu thức: a, A = a(b + 3) – b(3 + b) a = 2, b = A = a(b + 3) – b(b + 3) = (b + 3)(a – b) Thay a = 2, b = vào biểu thức A ta được: A = (3 + 3)(2 – 3) = - b, B = b - 8b – c(8 – b) b = 1, c = Ta có: B = b - 8b – c(8 – b) = -b(8 – b) – c(8 – b) = (8 – b)(- b – c) Thay b = 1, c = vào biểu thức B, ta được: B = (8 – 1)(- – 2) = -21 VD3: Tìm x, biết: a, 8x(x – 2017) – 2x + 4034 = 8x(x (x 2017) 2(x 2017) 2017)(8x 2) x 2017 8x x 2017 x Vậy x = 2017 , x = b, – x = 2(x – 4) 4)2 2(x x (x – 4)[2(x – 4) + 1] = (x – 4)(2x – + 1) = (x – 4)(2x – 7) = x 2x x x 7 Vậy = 4, x = Dạng 3: Chứng minh tốn số ngun: a Phương pháp giải: Phân tích biểu thức cho cách hợp lí thành tích sử dụng tính chất chia hết số nguyên b Ví dụ minh họa: Chứng minh: a, 25n 25n chia hết cho 100 với số tự nhiên n Ta có: 25n 25n = 25 n (25 – 1) = 24.25 n Ta lại có: 24 = 4.6 25 n = 25.25n 25n 25n 4.6.25.25n = 100.6.25 n Vậy 25n 25n chia hết cho 100 với số tự nhiên n b, n (n 1) Ta có: 100 với n * 2n(n 1) chia hết cho với số nguyên n n (n 1) 2n(n 1) = (n – 1)( n 2n ) = (n – 1).n.(n – 2) = (n – 2).(n – 1).n Ta có: n – 2, n – 1, n số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết n (n 1) c, 50n 2n(n 1) chia hết cho với số nguyên n 50n chia hết cho 245 với số tự nhiên n Ta có: 50n 50n = 50n (502 50) = 50n (2500 – 50) = 2450 50n = 245.10 50n Vậy 50n 245 với STN n 50n chia hết cho 245 với số tự nhiên n B Phân tích đa thức nhân tử phương pháp dùng đẳng thức I Lý thuyết: - Ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ vế đa thức sang vế tích nhân tử lũy thừa đơn thức đơn giản ình phương tổng A2 2AB B2 A B ình phương hi u A2 2AB B2 A B i u hai ình phương A2 B2 ập phương tổng A3 3A2B 3AB2 B3 A B ập phương hi u A3 3A2B 3AB2 B3 A B hai lập phương A3 B3 A B A2 AB B2 i u hai lập phương A3 B3 A B A2 AB B2 A B A B 3 II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a Phương pháp giải: Chuyển đa thức cho dạng hẳng đẳng thức cần sử dụng phân tích thành nhân tử b Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 4x = (4x 4x 4x 1) = - [(2x) -2.2x.1 +1] = - (2x – 1) = - (2x – 1)(2x – 1) = (2x – 1)(1 – 2x) b, 8x3 12x 6x = (2x) - 3.(2x) + 3.2x.1 - = (2x – 1) c, x 5x 5 = x - x + 2 2 = x = x = x 2 - 4 2 x 2 = (x – 3)(x – 2) Dạng 2: Các toán liên quan a Phương pháp giải Sử dụng đẳng thức cách hợp lý để phân tích biểu thức để làm số ài tốn tính nhanh, tìm x,… b Ví dụ minh họa: VD1: Tính nhanh: a, 852 152 562 442 = (85 – 15)(85 + 15) + (56 – 44)(56 +44) = 70.100 + 12.100 = 7000 + 1200 = 8200 b, 1033 9.1032 = 1033 3.1032.3 27.103 27 3.103.32 33 = (103 – 3) = 100 = 1000000 VD2: Tìm x: a, (x 5)2 (3 2x)2 (x 5)2 (3 2x)2 (x – + + 2x)(x – – – 2x) = (3x – 2)(- x – 8) = 3x x x x Vậy x = , x = -8 b, 27x3 54x 36x 27x3 54x 36x 3x 3.(3x)2 3.3x.22 (3x – 2) - = (3x – 2) = 3x – = x Vậy x = Dạng 3: Chứng minh toán số học: a Phương pháp giải: Số nguyên a chia hết cho số nguyên b có số nguyên k cho a = b.k Từ cần phân tích biểu thức thừa số để xuất hi n số chia b Ví dụ minh họa: Chứng minh: a, 3n chia hết cho với số tự nhiên n Ta có: 3n = 3n 22 = (3n – – 2)(3n – + 2) = (3n – 3)(3n + 1) = 3.(n – 1)(3n +1) với STN n b, 100 - 7n chia hết cho với STN n Ta có: 100 - 7n = 102 7n = (10 – 7n - 3)(10 + 7n + 3) = (7 – 7n)(13 + 7n) = 7.(1 – n)(13 + 7n) với STN n C Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử I Lý thuyết - Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử, nhóm hạng tử cách thích hợp nhằm làm xuất hi n dạng đẳng thức xuất hi n nhân tử chung nhóm II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a Phương pháp giải: Nhóm hạng tử cách hợp lí để xuất hi n nhân tử chung xuất hi n đẳng thức b Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, a = a (a 9a a2 9a 9) a(a = (a – 9)( a a) = a.(a – 9)( a 9) 1) b, 3x 5y 3xy = (3x 3xy) ( 5x) (5y 5x) = 3x(x – y) – 5( x – y) = (x – y)(3x - 5) c, x (a b)x = x2 ax bx = (x ax) ab ab (ab bx) = x(a – x) + b(a – x) = (a – x)(x + b) Dạng 2: Các toán liên quan: a Phương pháp giải: Nhóm hạng tử cách hợp lí để xuất hi n nhân tử chung xuất hi n đẳng thức sau áp dụng để tính nhanh, tính giá trị biểu thức tìm x,… b Ví dụ minh họa: VD1: Tính nhanh: a 15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100 = (15.64 + 36.15) + (25.100 + 60.100) = 15.(64 + 36) + 100.(25 + 60) = 15.100 + 100.85 = 100.(85 + 15) = 100.100 = 10000 b, 472 482 25 = 472 482 2.47.48 94.48 25 = (47 + 48) - 25 = 95 - = (95 – 5)(95 + 5) = 90.100 = 9000 VD2: Tìm x: a, x (x 5) x (x 5) (x 5) 1)(x 5) (x x 0 (x – 1)(x + 1)(x – 5) = x x x x x x Vậy x = 1, x = -1, x = b, (x 3)(x 3x 5) x2 (x 3)(x 3x 5) (x 3x) (x 3)(x 3x 5) x(x 3) (x 3)(x 3x x) (x 3)(x 4x 5) x x2 2.2x x [(x 2)2 x 22 1] 3x 0 0 (x 2) x (x 2) 1 Vậy x = - 3 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng ax bx c a Phương pháp giải: Tách hạng tử c thành tổng c1 c2 cho ax bx c1 tạo thành ình phương tổng ình phương hi u đánh giá b Ví dụ minh họa: VD1: Tìm GTNN biểu thức: a, A = x 2x Ta có: A = x2 = x2 = (x 2x 2x 2x 1) 4 = x Ta có: x x với x 4 với x x +1 = Amin b, B = x 5x x = -1 Ta có: B = x2 5x 25 = x - x + + 4 5 = x - x + 2 2 = x + 7 Ta có: x 2 x Bmin với x 2 7 với x x =0 x D Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp I Lý thuyết: - Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ản học trước: + Phương pháp nhân tử chung + Phương pháp đẳng thức + Phương pháp nhóm hạng tử - Trong số tốn cần kết hợp linh hoạt a phương pháp ản để phân tích đa thức thành nhân tử - Ngồi ra, để phân tích đa thức thành nhân tử người ta cịn sử dụng số phương pháp khác ... 3 II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a Phương pháp giải: Chuyển đa thức cho dạng hẳng đẳng thức cần sử dụng phân tích thành nhân tử b Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức thành... tích đa thức thành nhân tử, ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử, nhóm hạng tử cách thích hợp nhằm làm xuất hi n dạng đẳng thức xuất hi n nhân tử chung nhóm II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức. .. II Các dạng bài: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp phương pháp a Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp nhiều phương pháp ản để phân tích đa thức thành nhân tử: + Phương pháp nhân