Tong hop kien thuc toan cao cap 1 aaaclass

Tổng hợp kiến thức Toán Cao Cấp 1 (AAAclass) FTU Toán cao cấp 1 là một môn học đại cương không khó tuy nhiên cũng không dễ để đạt được điểm A. Tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn tổng hợp được các kiến thức trọng tâm

lOMoARcPSD|19062250 Tổng hợp kiến thức Toán Cao Cấp (AAAclass) Toán cao cấp (Trường Đại học Ngoại thương) Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 TỐN CAO CẤP CHƯƠNG I MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH ĐẠI SỐ MA TRẬN I.1 MA TRẬN KHÁI NIỆM a) Ma trận cấp m  n : bảng gồm mn số aij xếp thành n cột dạng aij phần tử dòng i  a11 a A   21    am1 a12 m dòng a1n  a22 a2n    am2 amn  cột j ma trận A ; i số dòng, j số cột phần tử aij 1  Ví dụ A    ma trận cấp  , ma trận ta có phần tử 4  a13  3, a21  Người ta thường viết tắt ma trận dạng A   aij  m n b) Ma trận vuông: ma trận có số dịng m số cột trận cấp n  n ta nói ma trận vng cấp n n, thay nói ma 1  Ví dụ B    ma trận vuông cấp hai 5  Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi phần tử a11 , a22 , , ann phần tử thuộc đường chéo ma trận c) Ma trận đơn vị: ma trận vng có tất phần tử thuộc đường chéo 1, phần tử cịn lại 0,kí hiệu In 1 0  1  , I3  0  ma trận đơn vị cấp 2, cấp Ví dụ I2    0  0  d) Ma trận tam giác: ma trận vng có tất phần tử nằm phía dưới, phía đường chéo 1 1  2   Ví dụ C  0  , D   0   7 0 0 0  ma trận tam giác 0  10  Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 e) Ma trận chéo: ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo 1 0  Ví dụ E  0  ma trận chéo 0  f) Ma trận cột: ma trận có cột g) Ma trận dịng: ma trận có dịng 1    Ví dụ F  2 , G  1  ma trận cột, ma trận dòng 3  h) Ma trận khơng: ma trận có tất phần tử 0, kí hiệu Omn 0 0  Ví dụ O23    0 0  i) Ma trận bậc thang: ma trận thoả mãn hai điều kiện sau - dòng có tất phần tử (nếu có) nằm phía dịng có phần tử khác 0; - phần tử khác (tính từ trái sang phải) dòng nằm bên phải so với phần tử khác dịng Ví dụ 1 0 M 0  0 5 1 0 0   , N  0  10 11 12  0 0   0 0 ma trận bậc thang CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN , B   bij  a) Tổng hai ma trận cấp A   aij  ma trận m n m n C , c  aij  bij cấp cho C   cij  m n ij Khi ta kí hiệu C  A  B 1 2   3  ,B   Ví dụ Cho hai ma trận A     4   5   2  Thế C  A  B     1  Chú ý: Hai ma trận cộng với chúng có cấp b) Tích số với ma trận Tích Cho số  ma trận A   aij  m n B cấp với  với ma trận A ma trận A cho B   bij  , bij   aij Khi ta kí hiệu B   A Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 1 2  ,   2 4  Thế B  A    8  Ví dụ 10 Cho ma trận A   4 c) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A   aip  ma trận C m k , B   bpj  Tích ma trận A với ma trận kn cho C   cij  mn , cij  B k  aipbpj p1 Khi ta kí hiệu C  AB  3 1 2  , B   1  Ví dụ 11 Cho hai ma trận A    4     c11 c12  Thế C  AB    ma trận vuông cấp hai Ta tính phần tử  c21 c22  Ta có C c11  1.2  ( 2).( 1)  3.4  16, c12  1.3  ( 2).1  3.2  7, c21  4.2  0.( 1)  2.4  16, c22  4.3  0.1  2.2  16 16  Vậy C    16 16  Chú ý: - Hai ma trận nhân với số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai - Muốn tìm phần tử dịng i , cột j ma trận tích C  AB , ta nhân phần tử dòng i ma trận A với phần tử cột j ma trận B cộng tích lại d) Phép chuyển vị Ma trận thu từ A cách viết dòng Cho ma trận A   aij  m n t A thành cột gọi ma trận chuyển vị A kí hiệu A Khi A t ma trận cấp n  m 1 4 1 2    t Ví dụ 12 Cho ma trận A    Thế A   2      t t Hiển nhiên ta có ( A )  A e) Luỹ thừa ma trận vuông Khi A ma trận vng, ta có thêm phép toán luỹ thừa: Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 Luỹ thừa bậc n ma trận A tích n ma trận A , nghĩa A n  AA A ( n lần) 1  Ví dụ 13 Cho ma trận A    Thế 0  1 n   1  1 26  n  A   , A  0 27  , , A   n 0      Chú ý: Thứ tự thực phép toán ma trận tương tự số: nhân trước, cộng sau Phép trừ A  B xem hệ phép cộng phép nhân với số: A  B  A  ( 1) B Ví dụ 14 Hãy thực phép toán sau  2 1  2 5     a)  1   0     ; b)   4   3 2   1   3 1    4 3    3   t 3  2  1 t 2  2 3      c)   ; d )   ; e )  2 4   2  1     1    3 CÁC TÍNH CHẤT Giả sử phép toán thực Khi ta có tính chất sau phép toán ma trận A  B  B  A, A  O  A, A  (  A )  O, A  ( B  C )  ( A  B)  C, A( BC )  ( AB )C, A  A, AI  IA  A,( ) A   (  A ), (   ) A   A   A,  ( A  B )   A   B I.2 ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM a) Định thức cấp một: định thức ma trận vuông cấp A   a11  Khi ta có det A  a11  a11 Ví dụ A  4  , detA  4; B   3 ,det B  3 a a  b) Định thức cấp hai: định thức ma trận vuông cấp hai A   11 12   a21 a22  a11 a12  a11a22  a21a12 Khi det A  a21 a22 Ví dụ 3 2 3 ,det A  2.7  4.3  2;  ( 3).2  5.4  26 A  4  Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250  a11  c) Định thức cấp ba: định thức ma trận vuông cấp ba A   a21  a31 a12 a22 a32 Khi a11 a12 det A  a21 a31 a22 a32 Ví dụ a13  a23  a33  a13 a a a  a12 a23 a31  a13 a21a32  a23  11 22 33  a31a22a13  a32 a23 a11  a33 a21a12 a33 1 2.1.1  ( 1).2.( 3)  3.0.2   ( 3).1.3  2.2.2  1.0.( 1)  3 Ví dụ Tính định thức sau a) 3 2 ; b) 3 2 3 ; c) 4 2 1 d) Định thức bù - phần bù đại số Cho A   aij  n n ma trận vng cấp n Khi đó, định thức thu từ A cách xố dịng i cột j gọi định thức bù phần tử aij , kí i j hiệu Dij Số Aij  ( 1) Dij gọi phần bù đại số phần tử aij 1  Ví dụ Cho ma trận A  4  Ta có 7  a11  1, D11   3, A11  ( 1)11 D11  3 a12  2, D12   6, A12  ( 1)1 D12  Ví dụ a) Xét ma trận   a11  2, D11  7, A11  ; A , 4  a12  3, D12  4, A12  4 a11 A11  a12 A12   det A b) Tương tự, xét ma trận a11  2, D11  3, A11  3;  1  a12  1, D12  6, A12  6; A    ; a13  3, D13  3, A13  3;  3  a11 A11  a12 A12  a13 A13   det A Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 e) Định thức cấp n Cho A   aij  n n ma trận vng cấp n Khi định thức A gọi định thức cấp n tính cơng thức det A  a11 A11  a12 A12   a1n A1n 2 1 2 Ví dụ Cho ma trận vng cấp bốn A   2  0 3 1  1  2  Thế det A  A11  A12  A13  A14 2 2 2 Mà A11   31; A13  1  25; A14   2  11 3 2 3 2 3 Vậy det A  2 3 1 Ví dụ Tính định thức cấp bốn 1 2 CÁC TÍNH CHẤT Định thức cấp có tính chất sau det A  det A t (Hai ma trận chuyển vị có định thức nhau) Định thức có dịng Định thức có hai dịng giống tỉ lệ với Nhân tử chung dịng đem ngồi định thức Định thức ma trận tam giác tích phần tử thuộc đường chéo Nếu đổi chỗ hai dịng định thức đổi dấu Định thức không hay đổi, cộng vào dòng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Các tính chất thay chữ “dòng” chữ “cột” Công thức định nghĩa định thức cấp n thay dịng dịng khác, nghĩa det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2   ain Ain , i  1,2, , n 10 Tương tự ta có cơng thức khai triển định thức theo cột bất kì: det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j   anj Anj , j  1,2, , n 3 1  1  Ví dụ det    det 2  ; 0  0;  3    1 4 6 Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 Ví dụ 10 10 2 2 Ví dụ 11 2 0  0 ;  1.4.6;  2.4.7 2 3 ; 1  4 7  4 7  8 12 0 2 3 3 Ví dụ 12 1  A31  A32  A33  3 A12  A22  A32 Sử dụng tính chất trên, ta dễ dàng tính định thức cấp cao Ví dụ 13 4  1 2 7 2 8 10 7 10 13 Ví dụ 14 Hãy tính định thức sau  1 2 7 0 4 0 36 1 2 a) ; b) ; c ) 3 2 2 0  1 2 7 0 4 0 40  160 1 1 1 1 1 ; d) 1 1 1 1 I.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO KHÁI NIỆM Định nghĩa: Cho A   aij  ma trận vuông cấp n n n Ma trận kiện AB  BA  In gọi ma trận nghịch đảo 1   2  ;B   Ví dụ A     1   1  Khi ta có AB  BA  I2 nên B  A 1 1 A B thỏa mãn điều kí hiệu B  A 1 1 Chú ý: Nếu B  A A  B Do ta cịn nói A B ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 ta nói A ma trận khả nghịch, hay khả đảo ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần đủ det A  1  Ví dụ Ma trận A    khả nghịch (theo ví dụ 1) ta thấy det A   1  Ví dụ Các ma trận sau có khả nghịch không? Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 2  2 a)  ; b)  4   1   2 1  Ví dụ Tìm a để ma trận A  1 a 0 1  2   ; c)    3   0  khả nghịch  PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số) Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A   aij  n n , ta cần: Tính det A - Nếu det A  kết luận ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo - Nếu det A  A có ma trận nghịch đảo A1 Tính phần bù đại số tất phần tử aij  A Lập ma trận phụ hợp từ phần bù đại số thu PA   Aij  n n Tính ma trận nghịch đảo A 1  det A PAt 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A    1  Ta có det A  1; A11  3, A12  1, A21  2, A22  t  1 1  1  2  ;A    PA      2  2     1  1 1   Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A  2 2 3  Ta có det A  6; A11  11, A12  12, A13  7, A21  7, A22  6, A23  5, A31  1, A32  0, A33  1; t   11 11 12 7  11 12 7       1 PA   7 ; A  7 5  6    1  1 1  1   1 6 1   5 6  Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com) lOMoARcPSD|19062250 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp định thức 4 2  a) A   ; 3  1  b) B  1 1  0  b) Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bất kì: Ta gọi phép biến đổi sau phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận bất kì: Đổi chỗ hai dịng tuỳ ý ma trận Nhân tất phần tử dòng với số khác Cộng vào dòng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Ví dụ 1 2  1  1  0   A  3 0 3     1 1 3 5  0 2  1 1  1  0 7     0 25 21 6  0    0 25 21 6  0 2 1 7 4 7 3 1 2 1 7 25 21 0 1   6   6  1  6   0 c)Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi sơ cấp: , ta lập ma trận mở rộng Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A   aij  n n có dạng  A In  Sau biến đổi sơ cấp dịng ma trận thành ma trận có dạng  In B Nếu phép biến đổi thực B  A 1 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A    phép biến đổi sơ cấp dòng 1  Lập ma trận mở rộng biến đổi sơ cấp dòng, ta 1  1  1 2  A I2       1  0 1  0 1  Vậy  2 A 1     1  1 2    Ví dụ 10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A  3  phép biến đổi sơ 1 1  cấp dòng Downloaded by Trang Nguy?n (nguyenquynhtrangchy224@gmail.com)