PHÉP CHIA CỦA ĐA THỨC “tailieumontoan com” Date 1) Định nghĩa Với mọi cặp đa thức ( )A x và ( )B x trong đó ( ) 0B x ≠ , tồn tại duy nhất cặp đa thức ( )Q x và ( )R x sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) A x Q x B[.]
Date PHÉP CHIA CỦA ĐA THỨC “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt II Bài tâp 1) Định nghĩa - Với cặp đa thức A ( x ) B ( x ) B ( x ) ≠ , tồn cặp đa thức Q ( x ) R ( x ) cho A ( x ) Q ( x ) B ( x ) + R ( x ) Trong R ( x ) = = bậc R ( x ) nhỏ bậc B ( x ) - Nếu R ( x ) = A ( x ) chia hết cho B ( x ) Nếu R ( x ) ≠ A ( x ) không chia hết cho B ( x ) , Q ( x ) thương R ( x ) dư phép chia A ( x ) cho B ( x ) 2) định lý Bézuot Số dư chia đa thức f(x) cho nhị thức x − a giá trị đa thức f(x) x = a Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a) (Bézout, 1730-1783, nhà toán học Pháp) Chứng minh : Gọi g(x) đa thức thương r số Étienne Bézout dư thì: f(x) =(x - a).g(x) + r f(a) = (a - a).g(a) + r = r (đpcm) Hệ quả: Đa thức f(x) chia hết cho x – a f(a) = (hay a nghiệm đa thức f(x)) Ứng dụng: - Định lý Bezuot giúp tính số dư phép chia đa thức f(x) cho x – a mà không cần thực phép chia đa thức - Hệ định lý Bezuot giúp phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử: Nếu f(a) = f(x) phải chứa nhân tử (x – a) Dạng 1: Tìm dư phép chia đa thức Bài Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + )( x + )( x + )( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10x + 21 Lời giải Ta có: P ( x ) = ( x + )( x + )( x + )( x + ) + 2008 ( ) = x + 10x + 16 ( x + 10x + 24 ) + 2008 Đặt t =x + 10x + 21 , Biểu thức P ( x ) viết lại P ( x ) = ( x − )(t + ) + 2008 = t − 2t + 1993 Vậy số dư phếp chia 1993 Bài Tìm dư chia x + x + x + cho x − Lời giải Cách 1: (tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia ) Ta biết x n − chia hết cho x − với số tự nhiên n nên x 2n − chia hết cho x − Do x − , x − ,… chia hết cho x − Ta có: x + x + x + = x − x + x − x + x − x + 3x + = x x − + x x − + x x − + ( 3x + ) ( ) ( ) ( ) Dư chia x + x + x + cho x − 3x + Cách 2: (xét giá trị riêng) Gọi thương Q ( x ) , dư ax + b Ta có: x7 +x5 +x3 + = ( x − )( x + ) Q ( x ) + ax + b với x Đẳng thức với x nên với x = ta 4= a + b (1), với x = ta = b (2) a 3,= b Từ (1) (2), suy ra= ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Dư phải tìm 3x + Chú ý: Để tách đa thức chia hết cho x − x + , cần nhớ lại đẳng thức 9: a n − b n chia hết cho a − b (a ≠ b ) ; Bài Tìm đa thức dư chia đa thức x 100 − 2x 51 + cho x2 −1 Lời giải x 100 − 2x 51 + 1= (x ) − H ( x ) + ax + b ( 1) dư 7, f ( x ) chia cho x − dư 5, f ( x ) chia cho Thay x = vào (1) ta có: = a + b (2) ( x − )( x − ) thương 3x Thay x = -1 vào (1) ta có: = a – b (3) Từ suy a = 2, b = -2 Vậy số dư 2x – ( 2x + Tìm phần dư chia f(x) cho ( x + ) x + ) Lời giải Theo định lí Bezout ta có: f(x) chia x + dư => f(-1) = ( Do bậc đa thức chia ( x + ) x + ) nên đa thức dư có dạng ax + bx + c Gọi thương q(x).Theo định nghĩa phép chia cịn dư, ta có: f ( x ) = ( x + ) ( x + ) q ( x ) + ax + bx + c = dư Lời giải Bài Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x2 + dư = cịn dư nên dư có dạng bậc ax + b, thế: f(x) = (x – 3) (x + 2)(x2 + 4) + ax + b Theo định lí Bezuot, dư phép chia f(x) biết chia x + f(-2) = -4; dư chia cho x – f(3) = 21 nên: −2a + b = −4 a = ⇔ 3a + b 21 = = b Đa thức cần tìm là: (x – 3) (x + 2)(x2 + 4) + 5x + hay x4 – x3 – 2x2 + x - 18 Bài Tìm đa thứcf ( x ) , biết f ( x ) chia cho x − Gọi đa thức dư phép chia ax + b Khi ta có: Đa thức f(x) chia cho x2 – x – thương x2 + ( x + ) ( x + ) q ( x ) + a ( x + ) + bx + c − a ( x + ) q ( x ) + a ( x + ) + bx + c − a 2 b= (1) Mà f(x) chia cho x + dư 2x + ⇒ c − a = Mặt khác f(-1) = ⇒ a – b + c = (2) Do ta có : = = b b c − a = ⇔ c − a = ⇔ a = , b = 2, c = 2 a − b= a= +c +c Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: x + 2x + 2 Trước hết ta tìm dư chia f(x) cho ( x − )( x − ) Xét f ( x ) = ( x − ) A ( x ) + 7, (1) f ( x ) = ( x − ) B ( x ) + 5, (2) Cách Xét f ( x=) 3x ( x − )( x − ) + ax + b (3) x 2,= x ta Từ ( ), (2), (3), cách cho= = a 2,= b Dư phép chia f(x) cho tìm ( x − )( x − ) 2x + Do f ( x=) 3x ( x − )( x − ) + 2x + 1= 3x − 15x + 20x + Cách Từ (1) suy ( x − ) f ( x ) =( x − )( x − ) A ( x ) + ( x − ) (4) Từ (2) suy ( x − ) f ( x ) =( x − )( x − ) B ( x ) + ( x − ) (5) Lấy (4) trừ (5) f ( x ) = ( x − )( x − ) A ( x ) − B ( x ) + 2x + Dư chia f(x) cho ( x − )( x − ) 2x + Giải Dạng 2: Tìm đa thức f(x) tiếp cách Bài Tìm đa thức f(x) biết chia cho x + dư -4; chia cho x – dư 21; chia cho x2 – x – thương x2 + số dư Bài Xác định số hữu tỉ a b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 +x - Ta có x2 – x – = (x – 3)( x + 2) Cách Đặt tính chia ta được: Lời giải Lời giải: ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Để chia hết đa thức dư phải với giá trị x nên a + =0 a =−3 ⇔ −2 = b= b Lời giải: ( ) cho x − x + lần Gọi thương phép chia F x ( ) Vậy với a = x − ax + b chia hết cho −3; b = x3 x2 +x −2 x3 Cách (Phương pháp hệ số bất định) Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc x3 : x2 = x x + ax + b= (x (1) (2) Thay x = vào (1) ta có + 2a + b = 12 ⇔ 2a + b = ⇔ 6a + 3b = 12 Thay x = −1 vào (2) ta có −1 − a + b =−6 −a + b =−5 ⇔ −5a + 5b =25 Gọi thương x + c , ta có ( ) + ax + b = ( x − ) P ( x ) + 12 ( 1) + ax + b = ( x + )Q ( x ) − ( ) lượt P x Q x Suy ) + x − (x + c ) Vậy B= (6x + 3b – 11)(26 -5a + 5b) = 1.1 = Bài Đa thức f(x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x – 2; x + Tính 2a – 3b nên x + ax + b = x + (c + ) x + (c − ) x − 2c Hai đa thức nên c + =0 c =−1 c − =a ⇔ a =−3 = b −2c b = Vậy với a = −3; b = x − ax + b chia hết cho x + x − , thương x − Cách (Phương pháp xét giá trị riêng) Gọi thương chia x − ax + b cho x + x − Q ( x ) , ta có x + ax + b = ( x − )( x + )Q ( x ) Vì đẳng thức với x nên cho x = 1, x = −2 , ta 1 + a + b =0 a + b =−1 a =−3 ⇔ ⇔ b −2a += b = −8 − 2a += b Lời giải Đa thức f(x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x – 2; x + nên: f(2) = suy 32 + 2a + b = (1) f(-1) = suy – – a + b = (2) Từ ( 1) ( ) ta tìm a = -12, b = -8 Vậy 2a – 3b = Bài 10 Đa thức P ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = Hãy tính giá trị biểu thức Q = P(-2) + 7P(6) Lời giải Ta có: P ( x ) ( x − ) , ( x − ) , ( x − ) Nên P ( x ) có dạng P (x ) = ( x − )( x − )( x − )( x + a ) Khi đó: Vậy với a = x − ax + b chia hết cho −3; b = Q = P(-2) + 7P(6) x2 +x −2 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Bài Cho đa thức F(x) = x3 + ax + b (với a , b ∈ R ) Biết = -105(-2 + a) + 105.(6 + a) = 105(2 – a + + a) = 840 Dạng 4: Chứng minh đa thức F(x) chia cho x - dư 12, F(x)chia cho x + dư -6 Tính giá trị biểu thức: B= (6x + 3b – 11)(26 -5a + 5b) =(-3).(-5).(-7).(-2 + a) + 7.5.3.1.(6 + a) Bài 11 Cho f ( x )= (x +x −1 ) + (x 10 −x +1 ) 10 −2 Chứng minh f ( x ) chia hết cho x − x Lời giải Đa thức chia có hai nghiệm= x 0,= x Ta chứng tỏ rằng= x 0,= x nghiệm đa thức bị chia ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Ta cóf ( ) = + − = nên f ( x ) chia hết cho x Ta lại có f ( ) = + − = nên f ( x ) chia hết cho x − Các nhân tử x Bài 1: Tìm số dư phép chia biểu thức: x − không chứa nhân tử chung ( x + )( x + )( x + )( x + 8) + 2012 cho đa thức Do f ( x ) chia hết cho x ( x − ) Bài 12 Chứng minh x +x 8n + chia 4n hết cho x + x + với số tự nhiên n 2n n Lời giải Ta có: x 8n + x 4n + ( = x 4n +x )( +1 x 2n −x 4n 2n ) +1 Bài 4: Cho hai đa thức P ( x) = x − x + x + 1, = (x 2n nghiệm P ( x ) Tính giá trị )( + x n + x 2n − x n + Q ( x1 ) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) ) Vậy x + x + chia hết cho x + x + 8n 4n 2n n Bài 13 Cho f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c số thỏa mãn 13a + b + 2c = Chứng tỏ f(-2).f(3) ≤ Lời giải Ta có: f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = nên: Hoặc: f (-2) = f(3) = ( 1) ⇒ f ( −2 ) f ( ) = Hoặc : f ( −2 ) f ( ) hai số đối ⇒ f ( −2 ) f ( ) < Q ( x )= x + x − Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 = x 4n + 2x n + − x n x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + 1cho x − Bài 3: Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho cho x − thương −5x dư x 4n + x n + ( x 2n + ) − ( x n ) Bài Tìm dư chia x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia Tiếp tục phân tích : = x + 10 x + 21 (2) Từ (1) (2) f(-2).f(3) ≤ Bài 5: Chứng minh rằng: f ( x) =( x + x + 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 − chia hết cho g ( x= ) x2 − x Bài 6: Chứng minh rằng: a) Đa thức M = x + x + x + + x + x + 95 94 93 chia hết cho đa thức N = x31 + x30 + x 29 + + x + x + b) Đa thức P ( x ) = 1985 x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 7: Tìm đa thức bậc ba P ( x ) , biết chia P ( x ) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) dư P ( −1) = −18 Bài 8: Xác định hệ số hữu tỉ a b cho f ( x ) =x + ax + b chia hết cho g ( x ) = x − x + Bài 9: Cho đa thức P ( x ) = ax + bx + c Biết P ( x ) chia cho x + dư 3, P ( x ) chia cho x dư P ( x ) chia cho x − dư Tìm hệ số a, b, c Bài 10: Xác định hệ số a b để đa thức A = x4 − 2x3 + 3x2 + ax + b bình phương đa thức ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Đặt P ( x) = ( x + )( x + )( x + )( x + 8) + 2012 = ( x + 10 x + 16 )( x + 10 x + 24 ) + 2012 Đặt x + 10 x + 21 = t Ta có: P ( x ) = ( t − )( t + 3) + 2012 = t − 2t + 1997 Vậy số dư phép chia 1997 Bài Đặt f ( x= ) x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + Gọi thương chia f ( x ) cho x − Q ( x), dư ax + b Ta có: f ( x ) = (x − 1) Q( x) + ax + b Đẳng thức với x nên Với x = ta f (1) = a + b ⇔ a + b = (1) Với x = −1 ta được: f ( −1) =− a + b ⇔ − a + b =0 a Từ (1) (2) suy = (2) 1,= b 1, Dư phải tìm x + Bài 3: Giả sử f ( x ) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi f ( x) = (x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: f ( ) = 26 2a + b 26 = = a ⇔ ⇔ a + b 10 = 10 −2= b 18 f ( −2 ) = Do f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Vậy đa thức f ( x ) cần tìm f ( x) = (x − ) ( −5 x ) + x + 18 Bài 4: Ta có : P ( x ) =− x 5 x + x + =− ( x x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) ( x − x5 ) Q ( x= ) − x ( −1 − x ) 2 Do Q ( x1 ) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) = 25 − x1 − x2 − x3 − x4 − x × ( −1 − x1 )( −1 − x2 )( −1 − x3 )( −1 − x4 )( −1 − x5 ) 1 = 32.P P= + 1) 77 ( −1) 32 − + + 1 ( −1 + − 4= 2 32 Bài 5: Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm x = 0; x = Ta có f (0) =( −1) 2018 + 12018 − =0 nghiệm f(x) Suy f ( x) chứa thừa số x ( ) Ta có : f (1) = 12 + − 2018 + (12 − + 1) 2018 − = ⇒ x = nghiệm f(x) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ f(x) chứa thừa số x – mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung f(x) chia hết cho ( ) x( x – 1).Vậy f ( x) = x + x + 2018 + ( x − x + 1) 2018 − chia hết cho g ( x= ) x2 − x Bài 6: a) Ta có: M = x95 + x94 + x93 + + x + x + = x 64 ( x31 + x30 + + x + x + 1) + x32 ( x31 + x30 + + x + x + 1) + ( x31 + x30 + + x + x + 1) = (x 31 + x30 + + x + x + 1)( x 64 + x32 + 1) ( x31 + x30 + + x + x + 1) Vậy, M N (đpcm) x3 x2 x + 1979 + ( x − 1) x ( x + 1) + 3x.x ( x + 1) = ( 661x + 989 x + x ) + Với x ∈ Z 661x + 989 x + x ∈ Z , ( x − 1) x ( x + 1) + x ( x + 1) số nguyên chia hết cho b)Ta có: P ( x ) = 1985 ( ) Từ suy P ( x ) có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 7: Từ đề suy P ( x ) − chia hết cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) Do đó, P ( x ) − chia hết cho ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Đặt P ( x ) −= m ( x − 1)( x − )( x − 3) với m ∈ Q ( P ( x ) có bậc ba ) Suy P ( x ) = + m ( x − 1)( x − )( x − 3) với m ∈ Q Theo giả thiết P ( −1) = −18 , −18 = + ( −2 )( −3)( −4 ) m ⇒ m = Vậy, P ( x ) =6 + ( x − 1)( x − )( x − 3) Bài 8: Phép chia hết f ( x ) =x + ax + b cho g ( x ) = x − x + có đa thức thương dạng h ( x ) = x + cx + b Ta viết x + ax + b= ( )( (x − x + 1)( x + cx + b ) với x ) Ta có: x − x + x + cx + b = x + c x + bx − x − cx − bx + x + cx + b = x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b Suy x + ax + b= x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b với x Đồng thức hai vế, ta được: c − = 0, b − c + = a, − b + c = Suy a= b= c= Vậy, a= b= Bài 9: Cách P(x) chia cho x dư ⇒ c = ⇒ P(x) = ax + bx + ( ) () = 3; P= Theo định lý Bézout: P − ⇒ a ( −1) + b ( −1) + = ⇒ a − b = (1) a.12 + b.1 + = ⇒ a + b = (2) Từ (1) (2) ta có a =3; b = Kết luận a = 3; b = ; c = Do P(x) = a(x + 1)x - 2x + Chọn x = - 1, ta P(- 1) = - m + ⇒ - m + = ⇒ m = - Do P(x) = a(x + 1)x - 2x + Chọn x = 1, ta P(1) = 2a - ⇒ 2a - = ⇒ a = Kết luận a = 3; b = ; c = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Cách Viết đa thức P(x) dạng: P(x) = a(x + 1)x + mx + n Chọn x = 0, ta P(0) = n ⇒ n = Do P(x) = a(x + 1)x + mx + Chọn x = - 1, ta P(- 1) = - m + ⇒ - m + = ⇒ m = - Do P(x) = a(x + 1)x - 2x + Chọn x = 1, ta P(1) = 2a - ⇒ 2a - = ⇒ a = Kết luận a = 3; b = ; c = Bài 10: Ta có A bình phương đa thức thì: ( A = x + cx + d ) ( ) = x + 2cx3 + c + 2d x + 2cdx + d 2c = −2 a = −2 2d = c += b ⇔ ⇒a= −2; b = Mà A = x − 2x + 3x + ax + b Suy c d a c = = − d = b d = Vậy A = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... ) − B ( x ) + 2x + Dư chia f(x) cho ( x − )( x − ) 2x + Giải Dạng 2: Tìm đa thức f(x) tiếp cách Bài Tìm đa thức f(x) biết chia cho x + dư -4; chia cho x – dư 21; chia cho x2 – x – thương... − x + lần Gọi thương phép chia F x ( ) Vậy với a = x − ax + b chia hết cho −3; b = x3 x2 +x −2 x3 Cách (Phương pháp hệ số bất định) Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai nên thương... Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho cho x − thương −5x dư x 4n + x n + ( x 2n + ) − ( x n ) Bài Tìm dư chia x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia Tiếp tục phân tích : = x +