Chương 3 ĐƯỜNG BẬC HAI Trong chương trước, chúng ta đã thấy mỗi phương trình bậc nhất hai biến x và y là phương trình của một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu c.
Chương ĐƯỜNG BẬC HAI Trong chương trước, thấy phương trình bậc hai biến x y phương trình đường thẳng mặt phẳng Oxy Trong chương này, nghiên cứu đường bậc hai mặt phẳng, tức đường xác định phương trình bậc hai hai biến x y mặt phẳng Oxy Bên cạnh đó, nghiên cứu số chủ đề liên quan đến chúng tâm, phương tiệm cận, đường tiệm cận, Đặc biệt, dấu hiệu bất biến để nhận biết đường bậc hai với phương trình tổng quát trình bày chi tiết Trong phần 3.1 vấn đề xét mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn 3.1 3.1.1 Ba đường conic Đường tròn ellipse Đường tròn Ta biết phương trình đường trịn tâm I(a, b), bán kính R (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Phương trình (3.1) viết x2 + y − 2ax − 2by + m = 0, m = a2 + b2 − R2 , xem Hình 3.1 Hình 3.1: Đường trịn (3.1) Chương ĐƯỜNG BẬC HAI 84 Như vậy, phương trình đường trịn phương trình bậc hai với hai biến x, y thỏa mãn hai điều kiện sau • Các hệ số x2 y nhau; • Khơng có số hạng chứa tích xy Bây ta xét xem phương trình bậc hai với hai biến x, y thỏa mãn hai điều kiện nói phương trình đường trịn Cho phương trình Ax2 + Ay + Bx + Cy + D = 0, (3.2) A = Chia hai vế (3.2) cho A, ta phương trình tương đương với (3.2) B C D x2 + y + x + y + = (3.3) A A A Phương trình (3.3) viết x2 + B B2 C C2 D B2 C2 x+ + y + y + + − − =0 2A 4A2 A 4A2 A 4A2 4A2 hay Ç B x+ 2A å2 C + y+ 2A Ç å2 B + C − 4AD = 4A2 (3.4) Đặt B C = −a, = −b 2A 2A Có thể xảy ba trường hợp sau B + C − 4AD (1) = R2 > Phương trình (3.4) có dạng 4A (x − a)2 + (y − b)2 = R2 , nghĩa phương trình (3.2) phương trình đường trịn tâm (a, b), bán kính R B + C − 4AD (2) = Phương trình (3.4) trở thành 4A2 (x − a)2 + (y − b)2 = Đây phương trình đường trịn tâm (a, b), bán kính mà người ta gọi đường tròn điểm B + C − 4AD (3) = −R2 < Phương trình (3.4) trở thành 4A2 (x − a)2 + (y − b)2 = −R2 Phương trình khơng xác định điểm thực1 Người ta nói phương trình xác định đường trịn ảo Ví dụ 3.1.1 Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn x2 + y − 8x + 6y + 16 = Giải Phương trình cho viết dạng: (x − 4)2 + (y + 3)2 = 32 Đây phương trình đường trịn có tâm I(4, −3) bán kính R = Điểm thực điểm có tọa độ số thực 3.1 Ba đường conic 85 Ellipse Định nghĩa 3.1.2 Ellipse quỹ tích điểm mặt phẳng cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai điểm cố định cho trước số không đổi lớn khoảng cách hai điểm Hai điểm cố định gọi tiêu điểm Khoảng cách hai tiêu điểm gọi tiêu cự Giả sử F1 F2 hai tiêu điểm ellipse với F1 F2 = 2c tiêu cự Điểm M nằm ellipse F1 M + F2 M = 2a, a > c Từ định nghĩa ta thấy ellipse nhận đường thẳng F1 F2 đường trung trực đoạn F1 F2 làm trục đối xứng Để cho phương trình ellipse đơn giản, ta chọn trục đối xứng ellipse làm trục tọa độ: trục hoành trục qua F1 , F2 , gốc tọa độ O trung điểm đoạn F1 F2 Như vậy, tiêu điểm F1 có tọa độ (−c, 0), tiêu điểm F2 có tọa độ (c, 0) xem Hình 3.2 Hình 3.2: Ellipse Giả sử điểm M (x, y) điểm ellipse Ta có F1 M = » (x + c)2 + y , F2 M = » (x − c)2 + y Từ định nghĩa ellipse, ta có » » (x + c)2 + y + (x − c)2 + y = 2a (3.5) Đó phương trình ellipse hệ tọa độ vừa chọn Muốn đưa phương trình dạng đơn giản hơn, trước hết ta đưa thức thứ sang vế phải bình phương hai vế ta » a (x + c)2 + y = cx + a2 Bình phương hai vế lần nữa, ta có (a2 − c2 )x2 + a2 y = a2 (a2 − c2 ) Chương ĐƯỜNG BẬC HAI 86 Vì a > c nên a2 − c2 > Đặt a2 − c2 = b2 , ta b2 x2 + a2 y = a2 b2 Chia hai vế với a2 b2 , ta x2 y + = (3.6) a2 b2 Ta lưu ý phương trình (3.6) khơng tương đương với phương trình (3.5) trình biến đổi phương trình (3.5) ta bình phương hai vế hai lần Vì vậy, muốn chứng tỏ phương trình (3.6) phương trình ellipse, ta cần chứng minh điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (3.6) nằm ellipse (xem tập) Phương trình x2 y + =1 a2 b2 phương trình ellipse gọi phương trình tắc ellipse Phương trình phương trình bậc hai nên ellipse đường bậc hai Ellipse nhận trục tọa độ làm trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng Trục Ox gọi trục lớn, Oy gọi trục bé ellipse, a gọi bán trục lớn, b gọi bán trục bé 3.1.2 Hyperbol parabol Hyperbol Định nghĩa 3.1.3 Hyperbol quỹ tích điểm mặt phẳng cho giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ điểm đến hai điểm cố định cho trước số không đổi nhỏ khoảng cách hai điểm Hai điểm cố định gọi hai tiêu điểm, kí hiệu F1 , F2 Khoảng cách F1 F2 = 2c gọi tiêu cự Điểm M nằm hyperbol |F1 M − F2 M | = 2a, a < c Nếu chọn hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho F1 (−c, 0), F2 (c, 0) phương trình tắc hyperbol có dạng x2 y − = 1, a2 b b2 = c2 − a2 Hyperbol nhận trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ làm tâm đối xứng Trục Ox cắt hyperbol điểm (−a, 0), (a, 0) nên Ox gọi trục thực, Oy không cắt hyperbol nên gọi trục ảo, xem Hình 3.3 Hyperbol có hai đường tiệm cận b y = ± x a 3.1 Ba đường conic 87 Hình 3.3: Hyperbol Hình 3.4: Parabol Parabol Định nghĩa 3.1.4 Parabol quỹ tích điểm mặt phẳng cho khoảng cách từ đến điểm cố định cho trước (gọi tiêu điểm) khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước (gọi đường chuẩn) không qua điểm cho Nếu tiêu điểm F , đường chuẩn ∆ F , M thuộc parabol F M = d(M, ∆), tức F M = M H, với H hình chiếu M lên ∆ Chọn hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho F (p/2, 0), phương trình đường chuẩn p ∆ x = − phương trình tắc parabol y = 2px, p khoảng cách từ F đến ∆ gọi tham số parabol, xem Hình 3.4 3.1.3 Ba đường conic Các đường ellipse, hyperbol, parabol cịn có tên gọi chung đường conic Nguồn gốc chữ "conic" cắt mặt nón trịn xoay , xem Hình 3.5, mặt phẳng khơng qua đỉnh mặt nón giao tuyến "nón" dịch từ chữ "cone" Chương ĐƯỜNG BẬC HAI 88 • Đường ellipse mặt cắt khơng song song với đường sinh mặt nón (đặc biệt, ellipse đường trịn mặt cắt vng góc với trục mặt nón) • Đường parabol mặt cắt song song với đường sinh mặt nón • Đường hyperbol mặt cắt song song với hai đường sinh mặt nón Hình 3.5: Minh họa cho ba đường conic Nhà toán học Hy Lạp Apollonius, làm việc tai Alecxandri, chứng minh điều (khoảng năm 200 TCN) theo cách lập phương trình mơn Hình học giải tích Ta thấy phương trình tắc ellipse, hyperbol parabol phương trình bậc hai x, y trường hợp riêng phương trình Ax2 + By + 2Cx + D = 0, (3.7) A B không đồng thời (1) Nếu A = 1 , B = , C = 0, D = −1 phương trình (3.7) trở thành a2 b2 x2 y + = Phương trình phương trình ellipse (đường trịn a2 b2 ellipse đặc biệt) (2) Nếu A = 1 , B = − , C = 0, D = −1 phương trình (3.7) trở thành a b x2 y − = Phương trình phương trình hyperbol a2 b (3) Nếu A = 0, B = 1, C = −p, D = phương trình (3.7) trở thành y = 2px Đó phương trình parabol Dựa vào phương trình (3.7) ta nghiên cứu ba đường conic cách thuận lợi 3.1 Ba đường conic 3.1.4 89 Đường kính ba đường conic Trước hết nghiên cứu toán sau đây: Bài toán Cho đường conic họ đường thẳng song song với Tìm quỹ tích trung điểm cặp giao điểm đường conic họ đường thẳng cho Giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy cho phương trình đường conic phương trình tắc, nghĩa có dạng (3.7) Kí hiệu vế trái phương trình (3.7) f (x, y), nghĩa f (x, y) = Ax2 + By + 2Cx + D − Giả sử hệ tọa độ chọn, họ đường thẳng cho nhận vectơ → a = (a1 , a2 ) làm vectơ phương Gọi M (x0 , y0 ) trung điểm dây tùy ý M1 M2 Đường thẳng M1 M2 có phương trình tham số x = x0 + a1 t y = y0 + a2 t (3.8) Thay giá trị x, y (3.8) vào (3.7), ta phương trình bậc hai t có dạng: P t2 + 2Qt + R = 0, (3.9) P = Aa21 + Ba22 , Q = Aa1 x0 + Ba2 y0 + Ca1 , R = x20 + By02 + 2Cx0 + D Nếu gọi fx (x0 , y0 ) đạo hàm riêng f (x, y) x lấy điểm (x0 , y0 )3 , fy (x0 , y0 ) đạo hàm riêng f (x, y) y lấy điểm (x0 , y0 ), ta có 2Q = fx (x0 , y0 )a1 + fy (x0 , y0 )a2 Vì hai đường (3.7) (3.8) cắt nên phương trình (3.9) có hai nghiệm t1 , t2 Ứng với hai giá trị t1 , t2 ấy, ta có hai giao điểm M1 M2 , nghĩa M1 (x0 + a1 t1 , y0 + a2 t1 ), M2 (x0 + a1 t2 , y0 + a2 t2 ) Nhưng đoạn thẳng M1 M2 nhận M (x0 , y0 ) làm trung điểm nên t1 = −t2 , hay t1 + t2 = Theo định lí Viet, ta có Q = hay fx (x0 , y0 )a1 + fy (x0 , y0 )a2 = 0, suy Aa1 x0 + Ba2 y0 + Ca1 = (3.10) Dễ thấy hệ số x0 y0 phương trình (3.10) khơng đồng thời khơng Do đó, phương trình tổng quát đường thẳng Vậy, trung − a = (a1 , a2 ) làm vectơ phương điểm đoạn thẳng M1 M2 nhận vectơ → fx (x0 , y0 ) đạo hàm hàm số biến số f (x, y0 ) điểm x0 , fy (x0 , y0 ) đạo hàm hàm số biến số f (x0 , y) điểm y0 Chương ĐƯỜNG BẬC HAI 90 nằm đường thẳng ∆ có phương (3.10) Đường thẳng ∆ gọi đường kính − đường conic liên hợp với phương → a Tóm lại, phương trình đường kính đường conic f (x, y) = 0, liên hợp − với phương → a = (a1 , a2 ) fx (x0 , y0 )a1 + fy (x0 , y0 )a2 = (3.11) Từ phương trình (3.11) tìm phương trình đường kính ellipse (đường trịn), hyperbol, parabol xác định phương trình tắc chúng Đường kính ellipse x2 y − Đường kính liên hợp với phương → a = (a1 , a2 ) ellipse + = xác định a b phương trình y x a1 + a2 = (3.12) a b Từ (3.12) ta thấy đường kính ellipse qua gốc tọa độ, tức qua tâm đối xứng ellipse, xem Hình 3.6 Hình 3.6: Đường kính ellipse a2 − Nếu giá → a không song song với trục Oy, tức a1 = 0, k = hệ số a1 − góc đường thẳng có phương → a Lúc đó, phương trình đường kính liên hợp với phương k x y + k=0 a2 b2 hay y=− b2 x a2 k Gọi hệ số góc đường kính k k = − b2 kk = − a b2 Từ a2 k (3.13) 3.1 Ba đường conic 91 Hình 3.7: Đường kính hyperbol Trong đẳng thức trên, ta thấy vai trị k k bình đẳng, đường kính liên hợp với phương k có hệ số góc k Hai đường kính có hệ số góc k k liên hệ với cơng thức (3.13) gọi hai đường kính liên hợp Mỗi đường kính hai đường kính liên hợp chia đơi dây song song với đường kính Từ (3.13) ta suy k k khác dấu, nghĩa đường kính nằm góc tọa độ I III đường kính liên hợp với nằm góc tọa độ II IV Giả sử k > k < Nếu k tăng đường kính có hệ số góc k quay ngược chiều kim đồng hồ Lúc đó, k giảm giá trị tuyệt đối; k < nên giá trị tuyệt đối tăng, nghĩa đường kính liên hợp có hệ số góc k quay ngược hướng quay kim đồng hồ Nếu k → |k | → ∞ Lúc đó, hai đường kính liên hợp dần tới hai trục đối xứng ellipse nên vng góc với Cuối cùng, từ (3.13) ta thấy k luôn khác k , kk < Như vậy, hai đường kính liên hợp ellipse không trùng Chú ý hai đường kính liên hợp đường trịn ln ln vng góc với Đường kính hyperbol x2 y2 − Đường kính liên hợp với phương → a = (a1 , a2 ) hyperbol − = xác a b định phương trình x y a1 − a2 = (3.14) a b Từ (3.14) ta thấy đường kính hyperbol qua gốc tọa độ, tức tâm đối xứng hyperbol, xem Hình 3.7 a2 − Nếu giá → a không song song với trục Oy, tức a1 = 0, k = hệ a1 − số góc đường thẳng có phương → a Lúc đó, phương trình đường kính hyperbol liên hợp với phương k x y − k=0 a2 b2 hay b2 y = − x ak 92 Chương ĐƯỜNG BẬC HAI Gọi hệ số góc đường kính k k = b2 Từ a2 k kk = b2 a2 (3.15) Hai đường kính hyperbol có hệ số góc k k liên hệ với công thức (3.15) gọi hai đường kính liên hợp Mỗi đường kính hai đường kính liên hợp chia đơi dây song song với đường kính Từ (3.15) ta suy k k dấu, nghĩa hai đường kính nằm góc tọa độ Nếu k tăng k giảm, nghĩa đường kính quay ngược hướng quay kim đồng hồ đường kính liên hợp quay theo hướng quay kim đồng hồ Nếu k → k → ∞ Lúc đó, hai đường kính liên hợp dần tới hai trục đối xứng hyperbol nên vng góc với Từ (3.15) ta b b thấy k → ± k → ± , nghĩa đường kính hyperbol dần a a tới đường tiệm cận hyperbol đường kính liên hợp quay dần tới đường tiệm cận x2 y + = Tìm phương trình hai đường kính liên hợp có đường qua điểm (4, 2) Giải Vì đường kính ellipse qua tâm, tức gốc tọa độ, nên chúng có dạng y = kx Theo giả thiết, ta có Ví dụ 3.1.5 Cho ellipse = 4k ⇒ k = Hệ số góc đường kính liên hợp xác định điều kiện kk = − b2 Suy a2 k = −1 x Vậy, phương trình hai đường kính liên hợp cần tìm y = y = −x Đường kính parabol − Đường kính liên hợp với phương → a = (a1 , a2 ) parabol y = 2px xác định phương trình ya2 − pa1 = (3.16) a2 − Nếu giá → a không song song với trục Oy, tức a1 = k = hệ a1 − số góc đường thẳng có phương → a Lúc đó, phương trình đường kính parabol liên hợp với phương k p yk − p = hay y = (3.17) k Từ (3.17) ta thấy đường kính parabol song song hay trùng với trục Ox Nếu k → ∞ đường kính liên hợp với phương k dần tới trục Ox Đó đường kính vng góc với dây liên hợp Chú ý Đối với parabol khơng có khái niệm "hai đường kính liên hợp" đối − với ellipse, hyperbol Đường kính liên hợp với phương → a tùy ý song song trùng với trục parabol Chương MẶT BẬC HAI 168 Để cho gọn, ta đặt y z x = X; = Y ; = Z a b c Như l: pX qX − qY + pZ − q = + pY − qZ − p = , l : p q X +qY +pZ −q =0 X − p Y + q Z − p = Từ phương trình đường thẳng l ta suy X = 2pq + (q − p2 )Z Y = p2 − q + 2pqZ Từ phương trình đường thẳng l ta suy X = 2p q + (q − p )Z Y = q − p − 2p q Z Sự giao l l phụ thuộc tương thích hệ phương trình 2pq + (q − p2 )Z = 2p q + (q − p )Z p2 − q + 2pqZ = q − p − 2p q Z hay (q − p2 + p − q )Z = 2(p q − pq) 2(pq + p q )Z = q − p + q − p2 (4.29) Vì p, q p , q không đồng thời không xác định sai khác thừa số khác nên ta chọn chúng cho p2 + q = p + q = Như vậy, định thức q − p2 + p − q 2(p q − pq) 2(pq + p q ) q − p + q − p2 = (q − p2 )2 − (p − q )2 − 4(p q − p2 q ) = D = Điều chứng tỏ hệ (4.29) ln ln có nghiệm, hai đường thẳng l l ln ln cắt (l l song song xem chúng cắt xa vô tận) Ta xét trường hợp riêng: Z → ∞, xảy hai hệ số Z hai phương trình hệ (4.29) triệt tiêu, nghĩa q − p2 + p − q = pq + p q = Lúc l l song song giao điểm chúng với mặt phẳng Oxy : Z = X = 2pq M1 : Y = p − q Z1 = , X1 = 2p q = −X1 M2 : Y1 = q − p = −Y1 Z1 = Rõ ràng M1 M2 hai điểm nằm mặt phẳng Oxy đối xứng với qua gốc tọa độ O 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 169 Định lí 4.6.4 Hai đường sinh thẳng phân biệt hyperboloid tầng thuộc họ luôn chéo Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng phân biệt l1 l2 thuộc họ Å Å Åx Åx zã yã zã yã p + = q1 + + = q2 + p2 a c b a c b , l : l1 : Å Å Å Å x zã yã x zã yã q1 q2 − = p1 − − = p2 − a c b a c b y z x Đặt = X, = Y, = Z, ta có a b c p X − q1 Y + p1 Z − q1 = l1 : q1 X + p1 Y − q1 Z − p1 = , l2 : p − q2 Y + p2 Z − q2 = q2 X + p2 Y − q2 Z − p2 = 2X Xét hai vectơ phương hai đường thẳng −q1 p1 p , p1 −q1 −q1 Ç −q2 p2 p → − a2 = , p2 −q2 −q2 → − a1 = Ç Ä ä p1 p1 −q1 , = q12 − p21 , 2p1 q1 , p21 + q12 , q1 q1 p1 å ä Ä p2 p2 −q2 , = q22 − p22 , 2p2 q2 , p22 + q22 q2 q2 p2 å Ta chọn p1 , q1 p2 , q2 cho p21 + q12 = p22 + q22 = Như vậy, a1 = (q12 − p21 , 2p1 q1 , 1); a2 = (q22 − p22 , 2p2 q2 , 1) Gọi điểm M1 M2 giao điểm mặt phẳng Oxy với đường thẳng l1 l2 Dễ thấy M1 (2p1 q1 , p21 − q12 , 0); M2 (2p2 q2 , p22 − q22 , 0) −−−−→ Ta có M2 M1 = (2(p1 q1 − p2 q2 ), p21 − q12 − p22 + q22 , 0) Xét định thức D sau q12 − p21 2p1 q1 2 q2 − p2 2p2 q2 D = 2 2 2(p1 q1 − p2 q2 ) p1 − q1 − p2 + q2 = (p21 − q12 − p22 + q22 )2 + 4(p1 q1 − p2 q2 )2 Ta cần chứng minh D = Thật vậy, giả sử D = Ta suy p p2 2 − q1 − p2 + q2 = p1 q1 − p2 q2 = q = q22 ⇒ p1 q1 − p2 q2 = + q12 − 2q12 − p22 − q22 + 2q22 = ⇒ p1 q1 − p2 q2 = q ⇒ = ±q2 q1 (p1 ± p2 ) = Có hai trường hợp (1) q1 = 0: ta suy q2 = Lúc đó, l1 ≡ l2 trái với giả thiết (2) p1 = ±p2 : ta suy q1 = ±q2 Lúc đó, l1 ≡ l2 trái với giả thiết Như vậy, D = định lí chứng minh Chương MẶT BẬC HAI 170 4.6.3 Đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic Cho paraboloid hyperbolic, xem Hình 4.21, có phương trình y2 z2 − = 2x a2 b2 Phương trình (4.30) viết dạng Å y z ã Åy z ã + − = 2x a b a b Mặt có hai họ đường sinh thẳng xác định Åy Åy zã p p + = qx + a b a l: Å , l : Å y zã y q q − = 2p − a b a với p2 + q = p + q = (4.30) zã = 2q b zã =px b Hình 4.21: Paraboloid hyperbolic Ví dụ 4.6.5 Tìm đường sinh thẳng mặt yên ngựa x2 y − = 2z 16 qua điểm A(3, −4, 0) Giải Dễ thấy điểm A nằm mặt yên ngựa cho Phương trình mặt cho viết Å x y ã Åx y ã + − = 2z 4 Phương trình hai họ đường sinh thẳng Åx Åx yã yã p + = 2q p + =qz 4 l: Å , l : Å x yã x yã q − = pz q − = 2p 4 Đường sinh thẳng họ thứ qua điểm A ứng với giá trị q = p tùy ý Đường sinh thẳng họ thứ hai qua điểm A ứng với giá trị p q Để cho phương trình đường sinh thẳng gọn, ta chọn p = q = 12 Vậy, phương trình hai đường sinh thẳng qua điểm A z =0 lA : 4x + 3y = , lA : 4x − 3y 4x + 3y − 24 = − 12z = 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 171 Dưới số tính chất đường sinh thẳng paraboloid hyperbolid (mặt yên ngựa) Để tiện cho việc trình bày, chứng minh trình bày cho paraboloid hyperbolic có phương trình y2 z2 P : − = 2x a b Định lí 4.6.6 Hai đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc hai họ khác cắt Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng l l thuộc hai họ khác P có phương trình Åy Åy zã zã + = qx + = 2q p p a b a b l: Å l : Å ã y z y zã q q − = 2p − = p x a b a b y z Đặt x = X, = Y, = Z, ta có a b qX − pY − pZ = l: qY − qZ − 2p = l : p Y + p Z − 2q = p X − q Y + q Z = Từ phương trình đường thẳng l, suy X p p2 =2 Z +2 q q Y p =Z +2 q Từ phương trình đường thẳng l , suy X q q2 = −2 Z + 2 p p Y q = −Z + p Hai đường thẳng l l cắt hệ phương trình sau có nghiệm p qZ Z +2 p2 q q2 = −2 Z + q2 p p2 p q + = −Z + q p Hệ tương đương Z p q + q p Z= q p2 − p q2 q p − p q Rõ ràng hệ ln có nghiệm, l l ln cắt = Chương MẶT BẬC HAI 172 Định lí 4.6.7 Hai đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc họ luôn chéo Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng l l thuộc hai họ khác P có phương trình Åy p1 a l1 : zã + = q1 x b Å y q Đặt x = X, zã − = 2p1 a b Åy p2 a l2 : zã + = q2 x b Å y q zã − = 2p2 a b y z = X, = Z, ta có a b q X − p1 Y − p1 Z = l1 : q1 Y − q1 Z − 2p1 = q l2 : − p2 Y − p2 Z = q2 Y − q2 Z − 2p2 = 2X Xét hai vectơ phương hai đường thẳng −p1 q1 Ç −p2 → − a2 = q2 → − a1 = Ç −p1 −p1 , −q1 −q1 −p2 −p2 , −q2 −q2 q1 q1 −p1 , = (2p1 q1 , q12 , q12 ), 0 q1 å q2 q2 −p2 , = (2p2 q2 , q22 , q22 ) 0 q2 å Gọi M1 M2 giao điểm mặt phẳng Oxz đường sinh thẳng l1 l2 , ta có −2p1 −2p22 −2p2 −2p21 , 0, M2 , 0, M1 2 q1 q1 q2 q2 Suy −−−−→ p2 p2 p1 p2 M2 M1 = −2 21 − 22 , 0, −2 − q1 q2 q1 q2 Ç å − − Muốn chứng tỏ l1 l2 chéo nhau, ta phải xét tích hỗn hợp ba vectơ → a1 , → a2 −−−−→ M2 M1 Nhưng đơn giản hơn, ta xét tích hỗn hợp ba vectơ cộng tuyến với chúng sau D= 2p1 q1 1 2p2 q2 p1 p2 − 1 =2 q1 q2 Ç å p1 p2 + q1 q2 Rõ ràng D = ngược lại l1 ≡ l2 , trái giả thiết Vậy, l1 l2 chéo Định lí 4.6.8 Tất đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc họ song song với mặt phẳng 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 173 Chứng minh Lấy đường sinh thẳng l tùy ý (thuộc họ) paraboloid hyperbolic có phương trình Åy p a l: zã + = qx b zã − = 2p a b Å y q 2p − Dễ thấy vectơ → a = , 1, vectơ phương đường thẳng l Rõ ràng q − vectơ → a song song với mặt phẳng y − z = 0, tức l song song với mặt phẳng Vì l tùy ý nên ta kết luận đường sinh thẳng, thuộc họ xét, song song với mặt phẳng y − z = (cố định) Định lí chứng minh Ç å Chương MẶT BẬC HAI 174 4.7 BÀI TẬP Các tập không gian với hệ tọa độ trực chuẩn 4.1 Xác định tâm bán kính đường trịn x2 + y + z − 12x + 4y − 6z + 24 = 0, 2x + 2y + z + = 4.2 Lập phương trình mặt cầu qua hai đường tròn x2 + y = 9, z = x2 + y = 25, z = 4.3 Viết phương trình mặt tròn xoay đường thẳng x = + 2t y = −3 + 3t z=t quay vòng xung quanh trục Oz tạo nên 4.4 Lập phương trình mặt trụ trịn xoay biết trục có phương trình x = t y = + 2t z = −3 − 2t điểm M (1, −2, 1) nằm mặt trụ 4.5 Lập phương trình mặt trụ biết tất đường sinh thẳng tiếp xúc với mặt cầu x2 + y + z = làm với trục tọa độ góc 4.6 Lập phương trình mặt nón ngoại tiếp mặt cầu x2 − y + z = biết đỉnh mặt nón S(5, 0, 0) 4.7 Lập phương trình mặt nón trịn xoay trục Oz, có đỉnh S(0, 0, h) thiết diện tạo mặt nón mặt phẳng Oxy đường trịn bán kính √ r 4.8 Lập phương trình ellipsoid biết qua điểm M (1, 2, 23) cắt mặt phẳng tọa độ Oxy theo ellipse x + z=0 y2 =1 16 4.9 Tìm góc hai đường sinh thẳng hyperboloid tầng x2 + y − z = qua điểm tùy ý 4.10 Tìm đường sinh thẳng mặt x2 + y = 2(z + 1) qua điểm (1, 1, 0) 4.7 BÀI TẬP 175 4.11 Chứng minh đường thẳng chiếu vng góc đường sinh thẳng mặt yên ngựa x2 y − = 2z a2 b mặt phẳng Oxz tiếp xúc với parabol x2 = 2a2 z, y = 4.12 Tìm quỹ tích giao điểm cặp đường sinh thẳng vng góc (a) mặt n ngựa x2 − y = 2z x2 y (b) mặt yên ngựa − = 2z(a = b) a b 4.13 Tìm quỹ tích điểm cách hai đường thẳng chéo vng góc với x2 y z 4.14 Cho ellipsoid + + = a b c (a) Chứng minh a ≥ b ≥ c > với điểm M thuộc ellipsoid ta có c ≤ OM ≤ a (b) Chứng minh a > b > c > ln có hai mặt phẳng qua tâm O cắt theo giao tuyến đường trịn 4.15 Chứng minh giao tuyến mặt cầu x2 + y + z − 50z = y2 x2 + = 2z hai đường trịn Tìm tâm bán kính paraboloid elliptic 25 16 chúng 4.16 Chứng minh mặt phẳng Oxy cắt paraboloid x2 − y = 2pz theo hai đường thẳng hai trục đối xứng 4.17 Cho hai mặt trụ parabolic y = x z = − x Chứng minh giao tuyến chúng nằm mặt trụ tròn xoay 4.18 Một mặt phẳng song song với mặt phẳng x−y+z = cắt mặt x2 +y −z = theo hai đường sinh thẳng Tìm giao điểm hai đường sinh thẳng góc tạo chúng 4.19 Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai x2 + y − z = a2 x2 − y = 2az 4.20 Có thể cắt mặt trụ elliptic mặt nón elliptic mặt phẳng để có giao tuyến đường trịn hay khơng? 4.21 (a) Chứng tỏ mặt phẳng có điểm chung với ellipsoid cắt ellipsoid theo đường ellipse (b) Chứng minh a > b giao tuyến hai ellipsoid E1 : x2 y z x2 y z + + = E : + + =1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 hai đường ellipse 4.22 Mặt phẳng x = a cắt hyperboloid tầng H : x2 y z2 + − = theo a2 b2 c2 đường gì? x2 y z + − = 1, a > b, cắt a2 b2 c2 mặt cầu S : x2 + y + z = a2 theo hai đường trịn có bán kính R = a z2 4.24 Cho ellipsoid E : x2 + y = mặt phẳng P : 2x + 2y + z − = Mặt phẳng P có cắt E hay khơng? Nếu có, tìm phương trình hình chiếu giao tuyến mặt phẳng Oxy 4.23 Chứng minh hyperboloid tầng H : Chương MẶT BẬC HAI 176 4.25 Cho ellipsoid E : x2 y z + + = điểm I(x0 , y0 , z0 ) nằm E, tức a2 b2 c x20 y02 z02 + + < Ba đường thẳng thay đổi l1 , l2 l3 đôi vuông góc với a2 b c qua điểm I cắt E cặp điểm (A1 , B1 ), (A2 , B2 ) (A3 , B3 ) Chứng minh 1 + + IA1 IB1 IA2 IB2 IA3 IB3 có giá trị không đổi x2 y z 4.26 Cho ba điểm A, B C thay đổi ellipsoid E : + + = cho a b c OA, OB, OC đôi vuông góc với Chứng minh mặt phẳng (ABC) ln tiếp xúc với mặt cầu cố định x2 y z 4.27 Cho mặt nón C : + − = với a = b Hãy tìm mặt phẳng a b c cắt C theo đường tròn x2 y z 4.28 Giao tuyến mặt phẳng x = hyperboloid H : + + = đường gì? 4.29 Viết phương trình mặt phẳng qua trục Oy cắt hyperboloid x2 y z tầng H : + − = theo cặp đường thẳng a b c 4.30 Viết phương trình paraboloid trịn xoay P biết đỉnh A(1, 1, 2) cắt mặt phẳng Oyz theo đường trịn có bán kính x2 y z + − = điểm A(2, −3, 0) 4.31 Cho hyperboloid tầng H : 25 (a) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H qua A (b) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H song song với đường sinh thẳng H câu (a) x2 y z 4.32 Cho hyperboloid tầng H : − + = điểm A(3, −2, 5) 25 (a) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H qua A (b) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H song song với đường sinh thẳng H câu (a) x2 y z 4.33 Cho hyperboloid tầng H : − + + = điểm A(5, 3, −2) 25 (a) Hãy viết phương trình đường thẳng qua A nằm H (b) Hãy viết phương trình đường thẳng nằm H song song với đường thẳng câu (a) 4.34 Đưa phương trình mặt bậc hai sau dạng tắc (a) x21 + 5x22 + x23 + 2x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 − 2x1 + 6x2 + 2x3 = 0; (b) x2 x3 + x1 x3 + x1 x2 + 2(x1 + x2 + x3 ) + = 4.35 Nhận dạng mặt bậc hai sau (a) 2x21 − 2x1 x3 + 2x22 − 2x2 x3 + 3x23 = 16; (b) xy + yz + zx − 3x − 3y − 2z = 4.7 BÀI TẬP 177 Các tập không gian với mục tiêu affine 4.36 Tìm tâm mặt bậc hai sau (a) x2 + y − z + 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y − 3z − 2xy + 2yz + 4zx + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 3x2 − 2y − z + 4xy − 2yz + 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) x2 − y − z − 2xy − 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2x2 + y − 2z − 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 4.37 Hãy xác định giao điểm đường thẳng l : x−1 y z+1 = = với −1 mặt bậc hai sau (a) x2 − z + 2xy + 4zx + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y − 2xy + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 4xy − 2yz + 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) y − z − 2xy − 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2z − 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 4.38 Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng l : x−1 y z+1 = = với −1 mặt bậc hai sau (a) x2 + 2xy + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 4xy − 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) y + 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = − 4.39 Hãy chứng tỏ vectơ → u không phương tiệm cận mặt bậc hai S tương ứng sau Khi đó, viết phương trình mặt kính S liên hợp với − phương → u − (a) S : x2 − y + 2xy + 2x − 2y + = 0, → u = (1, 1, −1); − 2 (b) S : x − y + 4xy − 3yz + 4x − 2y − 6z = 0, → u = (1, 0, −2); − (b) S : x2 + y + 4xy − 2zx + 2x − 2y + = 0, → u = (1, −1, 0); − (d) S : y − 4z + 2yz + 4zx − 2y + = 0, → u = (0, −1, 2); − (e) S : x2 + y − 2z − 2xy + 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 0, → u = (1, 2, −3) Tài liệu tham khảo [1] K Q Anh - N A Kiệt - T Mân - N D Tuấn 2004 Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [2] L K Bảo 1982 Hình học Giải tích NXB GD [3] V N Cương (Chủ biên) - H T Thái 2004 Hình học giải tích NXB ĐHSP [4] Ng M Hy 2007 Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ NXB GD [5] N V Mậu - Đ H Ruận - N T Thanh - N M Tuấn 2004 Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [6] Đ Quỳnh (Chủ biên) - K Q Anh - N A Kiệt - T Mân - N D Tuấn 2007 Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [7] Jean-Marie Monier 2006 Giáo trình Tốn - Tập Hình học Giáo trình 400 tập có lời giải NXB GD Danh mục từ khóa Chùm đường thẳng, 52 có tâm, 52 song song, 52 Các bất biến đa thức bậc hai, 113 nửa bất biến, 118 ứng với phép dời, 118 ứng với phép quay, 117 ứng với phép tịnh tiến, 118 Cặp mặt phẳng song song, 135 Cặp mặt phẳng trùng nhau, 135 hệ tọa độ affine khơng gian, 26 Hệ tọa độ Descartes vng góc không gian, 30 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian, 30 đổi hệ tọa độ, 30 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng, 21 Descartes vng góc, 21 phép quay, 25 Dạng toàn phương n biến, 114 biệt số, 114 Dạng tuyến tính n biến, 114 Khoảng cách, 54 hai đường thẳng chéo nhau, 70 điểm đến mặt phẳng, 63 điểm đến đường thẳng không gian, 68 điểm đến đường thẳng mặt phẳng, 54 Ellipse, 83 bán trục bé, 84 bán trục lớn, 84 phương trình tắc, 84 tiêu cự, 83 tiêu điểm, 83 trục bé, 84 trục lớn, 84 Ellipsoid, 136 phương trình tắc, 136 Ellipsoid tròn xoay, 130 Mặt bậc hai với hệ tọa độ trực chuẩn, 155 Mặt bậc hai với mục tiêu affine, 141 cặp mặt phẳng thực cắt nhau, 146 cặp mặt phẳng thực song song, 146 cặp mặt phẳng trùng nhau, 146 cặp mặt phẳng ảo cắt nhau, 146 cặp mặt phẳng ảo song song, 146 Góc hai đường thẳng không ellipsoid thực, 146 gian, 68 ellipsoid ảo, 146 Góc đường thẳng mặt phẳng, 68 hyperboloid hai tầng, 146 Góc hợp hai vectơ, 12 hyperboloid tầng, 146 mặt kính liên hợp, 152 Hyperbol, 84 mặt nón thực, 146 tiêu cự, 84 mặt nón ảo, 146 tiêu điểm, 84 mặt trụ elliptic, 146 trục thực, 84 mặt trụ elliptic ảo, 146 trục ảo, 84 mặt trụ hyperbolic, 146 đường tiệm cận, 84 mặt trụ parabolic, 146 Hyperboloid, 136 paraboloid elliptic, 146 hai tầng, 136 paraboloid hyperbolic, 146 tầng, 136 phương tiệm cận, 152 Hyperboloid trịn xoay, 131 phương trình tắc, 145 hai tầng, 132 tâm, 150 tầng, 132 Hệ tọa độ affine, 15 Mặt kẻ, 160 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mặt nón elliptic, 138 Mặt nón trịn xoay, 133 Mặt phẳng, 56 hệ tọa độ trực chuẩn, 62 góc, 64 vectơ pháp tuyến, 62 mục tiêu affine chùm, 60 chùm giao nhau, 60 chùm song song, 60 phương trình tham số, 56 phương trình theo đoạn chắn, 58 phương trình tổng qt, 57 Mặt khơng gian, 38 phương trình, 38 tham số, 40 tọa độ cầu, 41 tọa độ trụ, 41 tổng quát, 38 Mặt tròn xoay, 127 đường sinh, 127 Mặt tròn xoay bậc hai, 129 Mặt trụ elliptic, 138 đường chuẩn, 139 đường sinh thẳng, 139 Mặt trụ hyperbolic, 139 Mặt trụ parabolic, 139 Mặt trụ tròn xoay, 135 Mặt yên ngựa, 138 Mục tiêu affine không gian, 26 hướng, 28 sở vectơ, 26 gốc mục tiêu, 26 gốc tọa độ, 26 không gian định hướng, 28 nghịch, 28 ngược hướng, 28 thuận, 28 trục tọa độ, 26 tọa độ, 26 vectơ, 26 điểm, 26 Mục tiêu affine mặt phẳng, 15 trục tọa độ, 15 hướng, 17 sở vectơ, 15 gốc tọa độ, 15 mặt phẳng định hướng, 17 nghịch, 17 ngược hướng, 17 phép tịnh tiến, 20 thuận, 17 181 trục hoành, 15 trục tung, 15 tọa độ, 15 vectơ, 15 điểm, 16 đổi mục tiêu, 16 công thức, 17 ma trận, 17 Nửa không gian, 61 Nửa mặt phẳng, 53 Parabol, 84 tiêu điểm, 84 đường chuẩn, 84 Paraboloid elliptic, 137 Paraboloid hyperbolic, 138 Paraboloid trịn xoay, 133 Phép co, 136 Phương trình tắc đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, 111 Phương trình đường mặt phẳng, 37 tham số, 37 hệ tọa độ cực, 38 tổng quát, 37 Trục, 12 hướng trục, 12 Trực giao, 12 Tâm tỉ cự, 20 trung điểm, 20 trọng tâm, 20 Tích có hướng, 34 biểu thức tọa độ, 35 Tích hỗn hợp, 36 biểu thức tọa độ, 36 Tích vơ hướng, 13 biểu thức tọa độ không gian, 34 biểu thức tọa độ mặt phẳng, 22 Tỉ số đơn, 21 điểm chia ngoài, 21 điểm chia trong, 21 Tọa độ cầu, 41 Tọa độ cực, 38 Tọa độ trụ, 41 Vectơ, vectơ đối, nhau, 182 phương, cộng tính, giá, hiệu, module, ngược hướng, nhân số với vectơ, phụ thuộc tuyến tính, tổ hợp tuyến tính, tổng, vectơ-khơng, điểm cuối, điểm đầu, độ dài, độc lập tuyến tính, Vectơ chiếu, 12 Đoạn thẳng có hướng, Đường bậc hai, 95 cặp đường thẳng thực cắt nhau, 98 cặp đường thẳng thực song song, 98 cặp đường thẳng thực trùng nhau, 98 cặp đường thẳng ảo cắt nhau, 98 cặp đường thẳng ảo song song, 98 ellipse, 98 ellipse ảo, 98 hyperbol, 98 parabol, 98 phương chính, 109 phương tiệm cận, 105 phương trình tắc, 98 phương trình đặc trưng, 108 tiếp tuyến, 103 tâm, 101 đường kính liên hợp, 106 đường tiệm cận, 105 Đường conic, 85 tiếp tuyến, 91 tâm sai, 94 đường chuẩn, 94 Đường kính, 87 ellipse, 87 hyperbol, 89 parabol, 90 Đường sinh thẳng, 160 hyperboloid tầng, 160 paraboloid hyperbolic, 165 Đường thẳng khơng gian, 64 phương trình, 64 tắc, 65 tham số, 64 tổng quát, 65 Danh mục từ khóa Đường thẳng mặt phẳng, 49 với hệ tọa độ trực chuẩn, 54 góc hai đường thẳng, 55 phương trình pháp dạng, 54 vectơ pháp tuyến, 54 với mục tiêu affine, 49 phương trình tắc, 49 phương trình tham số, 49 phương trình tổng quát, 51 phương trình đoạn chắn, 50 vectơ phương, 49 Đường khơng gian, 41 phương trình tham số, 42 phương trình tổng quát, 41 Đổi mục tiêu affine không gian, 27 công thức, 27 ma trận, 28 Độ dài đại số, 12 ... −1 Vậy, (C) có tâm (−1, −1) 3. 2.5 Tiếp tuyến đường bậc hai Định nghĩa 3. 2.11 Tiếp tuyến đường bậc hai đường thẳng cắt đường bậc hai hai điểm trùng nhau, nằm đường bậc hai Khi đó, điểm chung chúng... = (3. 33) Phương trình (3. 33) gọi phương trình đặc trưng đường bậc hai (C) Đây phương trình bậc hai với ẩn s Phương trình ln có nghiệm ∆ = (a11 − a22 )2 + 4a212 ≥ Ta xét hai trường hợp: 3. 3 Đường. .. + a22 cos2 u = a1 cos u + a2 sin u = −a1 sin u + a2 cos u = a0 (3. 31a) (3. 31b) (3. 31c) (3. 31d) (3. 31e) (3. 31f) Phương trình (3. 30) không chứa số hạng chữ nhật x y a12 = 0, tức a12 = −a11 sin