Slide 1 Chương 3 Tính sai phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Slide 1 Chương 3 Tính sai phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí IUH – 2022 ThS Hồ Thị Bạch Phương  Làm thế nào chúng ta ước tính đạo hàm của 1 hàm từ bảng giá trị  Làm thế.

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí Chương 3: Tính sai phân số ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH – 2022 Lý dùng sai phân số: Ước tính đạo hàm hàm cách dùng giá trị hàm từ tập hợp điểm rời rạc Phương trình vi phân thường (ODE) Phương trình đạo hàm riêng (PDE)  Làm ước tính đạo hàm hàm từ bảng giá trị  Làm xác định vận tốc gia tốc từ bảng giá trị đo dịch chuyển Nhắc lại: df f (x  h)  f (x)  lim dx h0 h Thời gian (Giây) Chuyển vị (m) 30.1 48.2 10 50.0 15 40.2 h: độ dài bước Lý thuyết Taylor f (2) (x)h f (3) (x)h f (x  h)  f (x)  f '(x)h    O(h ) 2! 3! E  O(h n ) Tồn số thực C, cho |E|≤ C|hn| E theo bậc hn → E tiến đến zero tỉ lệ tương tự hn Nếu h nhỏ dẫn đến sai số nhỏ Các điểm phân bố dọc trục x x  h xi-3 xi-2 xi-1 xi xi+1 xi+2 xi+3 Khoảng cách điểm gần giống h = Δx Các điểm phân bố không dọc trục x x1 x2 x3 TS Lê T P Nam Sai phân thuận df (x) f (x  h)  f (x)  f '(x)  dx h Đạo hàm bậc f (x i1 )  f (x i ) yi1  yi f (x)   x i1  x i x i1  x i Sai phân ngược df (x) f (x)  f (x  h)  f '(x)  dx h Đạo hàm bậc f (x i )  f (x i1 ) yi  yi1 f (x)   x i  x i1 x i  x i1 TS Lê T P Nam Sai phân trung tâm df (x) f (x  h)  f (x  h)  f '(x)  dx 2h Đạo hàm bậc f (x i1 )  f (x i1 ) yi1  yi1 f (x)   x i1  x i1 x i1  x i1 Sai phân số • Cả hai sai phân thuận ngược có sai số tỉ lệ tới bậc h Điều nghĩa sai số giảm tuyến tính giảm h • Sai phân trung tâm có sai số tỉ lệ với bậc h2, nghĩa sai số giảm bậc với giảm h Cơng thức sai phân có độ xác cao  Cơng thức sai phân xác cao thiết lập thêm số hạng từ khai triển chuỗi Taylor Các công thức sai phân thuận ngược so sánh xác Cơng thức sai phân trung tâm mong đợi ước tính tốt Tất cơng thức sai phân trước tính điểm liền Công thức sai phân độ xác cao cho f’(x): Được tính cho điểm Khai triển chuỗi Taylor f xi  f xi 1   f xi   f xi h  h  2! Giải cho f’(x) f xi 1   f xi  f xi  f xi    h  O h2 h 2!   f  x i2   2f  x i1   f  x i  f   x i    O h   h2 Công thức sai phân với điểm cho f’(x) Thay vào công thức sai phân thuận cho xấp xỉ f”(x)  f xi    f xi 1   f xi  f xi    O h2 2h   Sai phân thuận : Tính với điểm f (x)  f (x i2 )  4f (x i1 )  3f (x i ) f (x i2 )  4f (x i1 )  3f (x i )  x i2  x i 2h Sai phân ngược: Tính với điểm f (x)  3f (x i )  4f (x i1 )  f (x i2 ) 3f (x i )  4f (x i1 )  f (x i2 )  x i  x i 2 2h Sai phân trung tâm : tính với điểm  f ( xi )  f ( xi1 )  f ( xi1 )  f ( xi ) f ( xi )  12h / Công thức sai phân số trung tâm tính cho đạo hàm bậc f  x  h   2f  x   f  x  h  f   x   h2 Hoặc f  x i1   2f  x i   f  x i1  f   x i   h2 Ví dụ 1: Dùng cơng thức sai phân tính với điểm (h = 0.25) để tính đạo hàm bậc nhất, tai x = 0.5 từ bảng liệu xi-2= 0.0 f(0.0) = 1.2 xi-1= 0.25 f(0.25) = 1.103516 xi = 0.5 f(0.5) = 0.925 xi+1 = 0.75 f(0.75) = 0.63633 xi+2 = 1.0 f(1.0) = 0.2 10 Giải Sai phân thuận  f xi    f xi 1   f xi  f xi   2h  0.2  4(0.6363281)  3(0.925) f 0.5   0.8594 2(0.25) Sai phân ngược 3(0.925)  4(1.035156)  1.2 f 0.5   0.8781 2(0.25) Sai phân trung tâm 0.2  8(0.636328)  8(1.035156)  1.2 f   0.5    0.9125 12(0.25) 11 Ví dụ 2: Dùng cơng thức sai phân thuận, ngược trung tâm để ước lượng đạo hàm bậc hàm: f(x) = – 0.1x4 – 0.15x3 – 0.5x2 – 0.25x + 1.2 x = 0.5 dùng độ dài bước h = 0.5 h = 0.25 Giải: Chú ý đạo hàm tính trực tiếp: f’(x) = – 0.4x3 – 0.45x2 – 1.0x – 0.25 Giá trị thực: f’(0.5) = -0.9125 Trong ví dụ này, hàm đạo hàm biết Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, có bảng liệu cho trước 12 Giải với độ dài bước h = 0.5 f(0.5) = 0.925, f(0) = 1.2, f(1.0) = 0.2  Sai phân thuận: f’(0.5)  (0.2 – 0.925)/0.5 = -1.45 |t| = |(-0.9125+1.45)/-0.9125| = 58.9%  Sai phận ngược: f’(0.5)  (0.925 – 1.2)/0.5 = -0.55 |t| = |(-0.9125+0.55)/-0.9125| = 39.7%  Sai phân trung tâm: f’(0.5)  (0.2 – 1.2)/1.0 = -1.0 |t| = |(-0.9125+1.0)/-0.9125| = 9.6% 13 Giải với độ dài bước h = 0.25 f(0.5) = 0.925, f(0.25) =1.1035, f(0.75) = 0.6363 Sai phân thuận: f’(0.5)  (0.6363 – 0.925)/0.25 = -1.155 |t| = |(-0.9125+1.155)/-0.9125| = 26.5% Sai phân ngược: f’(0.5)  (0.925 – 1.1035)/0.25 = -0.714 |t| = |(-0.9125+0.714)/-0.9125| = 21.7% Sai phân trung tâm: f’(0.5)  (0.6363 – 1.1035)/0.5 = -0.934 |t| = |(-0.9125+0.934)/-0.9125| = 2.4% 14 Ví dụ 3: Dùng công thức sai phân thuận ngược điểm để tính đạo hàm bậc f ( x )  0.1 x  0.15 x  0.5 x  0.25 x  1.2 x = 0.5 (các điểm phân bố dọc trục x) với h = 0.25 (giải xác = -0.9125)  Sai phân thuận f ( 0.5 )   Giải:  f ( )  f ( 0.75 )  f ( 0.5 ) 2( 0.25 )  0.2  4( 0.6363281)  3( 0.925 )  0.859375,  t  5.82% 0.5  Sai phân ngược f ( 0.5 )   15 f ( 0.5 )  f ( 0.25 )  f ( ) 2( 0.25 ) 3( 0.925 )  4( 1.035156 )  1.2  0.878125,  t  3.77% 0.5 Ví dụ 4: Khoảng cách x đo từ điểm cố định với khoảng thời gian 0.5s Dùng công thức sai phân trung tâm để tính gia tốc thời điểm t = 1.5s Giải: Tính gia tốc nghĩa hướng đến tính x”(t) f  x i1   2f  x i   f  x i1  f   x i   h Dấu trừ chuyển động chậm dần 16 Ví dụ 5: Dùng cơng thức sai phân thuận tính đạo hàm cos(x) x =π/3 với độ dài bước h khác h = 0.1, 0.01 Giải Tính xác đạo hàm f(x) = - sinx = -sin(60o) = -0.86602 Sai phân thuận f (x  h)  f (x) f '(x)  h cos(( /  0.1) * (180 /  ))  cos(60o ) 0.41099  0.5 h  0.1;   0.89010 0.1 0.1 cos(( /  0.01) * (180 /  ))  cos(60o ) 0.49131  0.5 h  0.01;   0.86900 0.01 0.01 17 Phương pháp MATLAB  p = polyfit(x, y, n) – hệ số đa thức Pn(x)  polyfit(p, x) – Ươc tính Pn(x)  polyder(p) – Sai phân x   x(1), x(2), , x(n)  diff (x)   x(2)  x(1), x(3)  x(2), dy/dx dy  diff(y)./diff(x)   dy/dx 18 , x(n)  x(n  1)  xi ↔ Sai phân thuận xi+1 ↔ Sai phân nghich Tính chuyển vị dầm chịu uốn cong x y Độ võng y(x) = KK’ Phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = -Mx/EJx M: mô men E: hệ số mơ đun đàn hồi J: mơ men qn tính 19 Độ võng y dầm dọc theo chiều dọc dầm x thể bảng Mô men uốn điểm dầm tính theo M(x) = 1.05y”(x) Tính mơ men uốn x = 0.4 0.6 Vị trí x 0.2 0.4 0.6 0.8 Độ võng y -0.15 -0.20 -0.20 -0.15 Giải : Cơng thức sai phân trung tâm tính đạo hàm bậc f  x i1   2f  x i   f  x i1  f   x i   h2 y’’(0.6) = f(0.8) – 2f(0.6)+f(0.4) = (-0.15-2*(-0.2)+(-0.2))/0.04 = 1.25 M(x=0.6) = 1.05*y’’(0.6) = 1.05*(1.255) = 1.3125 20 y’’(0.4) = f(0.6) – 2f(0.4)+f(0.2) = (-0.2-2*(-0.2)+(-0.15))/0.04 = 1.25 M(x=0.4) = 1.05*y’’(0.4) = 1.05*(1.25) = 1.3125 Bài tập Dùng công thức sai phân trung tâm điểm để tính đạo hàm bậc đạo hàm bậc cho hàm y = ex x = với h = 0.1 Đáp án: 7.389031439 Các liệu quãng đường theo thời gian tên lửa thể bảng dưới: t, s 25 50 75 100 125 y, km 32 58 78 92 100 Dùng sai phân số điểm (thuận ngược) để ước tính vận tốc gia tốc tên lửa thời điểm Đáp án: 21 Tính đạo hàm bậc hai hàm f(x) = e-xsin(x/2) x = 1.4 dùng công thức sai phân trung tâm điểm (h = 0.2) tính sai số Tính đạo hàm bậc theo công thức trung tâm điểm cho hàm y sau: a) y = x2cosx với x = 0.4, h = 0.1 b) y = tan(x/3) với x = 3, h = 0.5 c) y = x3 + 4x – 15 với x = 0, h = 0.25 22 ... (0.925 – 1. 1 035 )/0.25 = -0. 714 |t| = |(-0. 912 5+0. 714 )/-0. 912 5| = 21. 7% Sai phân trung tâm: f’(0.5)  (0. 636 3 – 1. 1 035 )/0.5 = -0. 934 |t| = |(-0. 912 5+0. 934 )/-0. 912 5| = 2.4% 14 Ví dụ 3: Dùng cơng... 9.6% 13 Giải với độ dài bước h = 0.25 f(0.5) = 0.925, f(0.25) =1. 1 035 , f(0.75) = 0. 636 3 Sai phân thuận: f’(0.5)  (0. 636 3 – 0.925)/0.25 = -1. 155 |t| = |(-0. 912 5 +1. 155)/-0. 912 5| = 26.5% Sai phân. .. h cos(( /  0 .1) * (18 0 /  ))  cos(60o ) 0. 410 99  0.5 h  0 .1;   0.89 010 0 .1 0 .1 cos(( /  0. 01) * (18 0 /  ))  cos(60o ) 0.4 9 13 1  0.5 h  0. 01;   0.86900 0. 01 0. 01 17 Phương pháp